10.2.3. Способы составления характеристического уравнения

Отметим возможность составления характеристического уравнения без предварительного вывода дифференциального, которая может быть строго обоснована после изучения операторного метода расчета переходных процессов. Существуют три способа составления характеристического уравнения по операторной схеме замещения послекоммутационной цепи без источников. Для получения последней нужно в схеме, получившейся после коммутации, замкнуть накоротко источники ЭДС, отключить источники тока, заменить индуктивность L сопротивлением Lp, емкость С – сопротивлением 1/(Cp).

Пример 10.2

Поясним способы составления характеристического уравнения на примере операторной схемы без источников, которая соответствует исходной схеме рис. 10.2.

10.2.3.1. Метод алгебраизации

Для операторной схемы замещения (рис. 10.6) записать любую систему уравнений, описывающих ее состояние (по законам Кирхгофа, по методу контурных токов и т. д.), после чего приравнять ее главный определитель нулю – это и будет характеристическое уравнение:

D(p) =

В рассматриваемом примере по методу контурных токов имеем:

Тогда .

10.2.3.2. Метод операторного сопротивления

Разомкнуть любую ветвь операторной схемы, найти относительно образовавшихся зажимов эквивалентное сопротивление и приравнять его нулю – это тоже характеристическое уравнение:

(10.12)

Если в рассматриваемой схеме разомкнуть ветвь с конденсатором (рис. 10.7), то эквивалентное сопротивление относительно образовавшихся зажимов bc будет равно:

.

10.2.3.3. Метод операторной проводимости

Записать для той же схемы выражение эквивалентной проводимости относительно любой пары узлов, приравнять его нулю – тогда тоже получится характеристическое уравнение:

. (10.13)

В рассматриваемой схеме всего два узла а и b (рис. 10.8), поэтому собственная узловая проводимость равна сумме проводимостей ветвей:

Во всех трех случаях после приведения к общему знаменателю получается одно и то же уравнение:

(10.14)