Тема 12. Тождественные преобразования логарифмических выражений
Для произвольных положительных чисел 
можно показать существование единственного числа 
такого, что 
. Это число называют логарифмом числа 
при основании 
и пишут 
.
Основные свойства логарифмов
Пусть 
, тогда
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
(
), отсюда 
6) 
7) 
8) 
9) Если 
, то 
при 
и 
при 
.
Итак, выражение 
имеет смысл при 
.
Выражение 
имеет смысл при 
, при этом 
если 
, и 
, если 
.
Выражение 
имеет смысл при всех 
, при этом 
, если , и 
, если 
.
Справедливы следующие равенства:
, т. е.
(
);
при ;
, т. е.
(
);
, .
При нахождении допустимых значений переменных, стоящих под знаком логарифма часто имеют дело с системами неравенств. Напомним, что решением системы неравенств называется всякое число, являющееся решением каждого неравенства, входящего в данную систему. Решить систему неравенств – значит найти все решения этой системы. Таким образом, множество всех решений системы равно пересечению множеств решений неравенств, составляющих данную систему. Для системы неравенств употребляют обозначение 
. Например, система двух уравнений 
запишется в виде 
.
Выясним, при каких значениях переменной х имеет смысл выражение 
.
Это выражение имеет смысл при всех значениях переменной х, при которых имеет решение следующая система:
.
Задания для аудиторного занятия
1. Найдите х, если
а) 
; б) 
; в) 
.
2. Вычислите
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. Найдите значения выражений
1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;7) 
;
8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
;
12) 
; 13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
; 17) 
;
18) 
;
19) 
;
20) 
.
4. При каких значениях переменной х имеют смысл равенства:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
5. Вычислите 
, если 
.
6. Выразите 
через а, если 
.
7. Выразите 
через а, если 
.
8. Зная, что 
, найдите 
.
9. Зная, что 
, найдите 
.
10. Упростите:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
.
11. При каких значениях переменной х имеют смысл выражения:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
;
12) 
; 13) 
;
14) 
; 15) 
;
16) 
; 17) 
; 18) 
;
19) 
; 20) 
21) 
;
22) 
.;
23) 
;
24) 
;
25) 
.
12. Что больше а или b, если:
1) 
; 2) 
;
3) 
?
13. Докажите тождество 
.
14. Докажите, что для любых допустимых положительных чисел а и N имеет место равенство:
.
15. Докажите, что
.
