Троичная система счисления

Троичная система счисления

Троичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 3. Троичная система счисления существует в двух вариантах: несимметричная (цифры 0, 1, 2) и симметричная (уравновешенная) (цифры -1, 0, 1).

Позиционная симметричная (уравновешенная) троичная система счисления была предложена математиком Леонардо Пизано Фибоначчи (1170 – 1228) для решения «задачи о гирях».

В задаче шла речь о бедном торговце, который с помощью четырех камней на рычажных чашечных весах совершенно правильно взвешивал предметы массой 1, 2, …, 40 кг. Для этого он использовал камни весом 1, 3, 9 и 27 кг.

Пусть груз, который надо взвесить, весит А кг. Это число можно представить в троичной системе:

— где коэффициенты a0, a1, …, an могут принимать значения 0, 1 или 2.

Очевидно, что .

Введем «отрицательную цифру «-1» и обозначим ее . Тогда последнее равенство можно записать: .

Следовательно, любое целое число можно записать в троичной уравновешенной системе счисления с помощью цифр 0, 1 и , заменив в многочленной форме представления числа цифру 2 на соответствующую разность.

где b0, b1, …, bn могут принимать значения 0, 1 или .

Например, представим число 100 в несимметричной и симметричной системе счисления:

Итак, чтобы уравновесить груз в кг на чашечных весах, нужно положить его на первую чашу весов, а гирю в 1 кг поставить:

- на вторую чашу, если ,

- или на первую чашу весов, если ,

- или не использовать эту гирю, если .

Далее, гиря весом в 3 кг ставится:

- на вторую чашу, если ,

- или на первую чашу весов, если ,

- или не использовать эту гирю, если .

И так далее. Расставив гирю по такому принципу, можно уравновесить любой груз. Если величина груза не была известна, то мы подбирает такое расположение гирь на весах, которое уравновешивает этот груз, и тем самым определяем и массу груза.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости вводить дополнительный код для выполнения арифметических операций (см. лекцию о машинном представлении числовых данных). Знак числа в троичной уравновешенной системе счисления определяется знаком старшей цифры числа: если она положительная, то и число положительно; если отрицательная, то и число отрицательно. Например,

– число положительное.

– число отрицательное.

Очевидно, что для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код). Например:

Можно сделать вывод, что при вычислениях на основе троичной уравновешенной системы отпадает необходимость в операции «вычитания».

Операция сложения всякой цифры в этой системе с нулем дает в результате эту же цифру. Сложение 1 с дает ноль. И только сумма двух единиц или двух формируется путем переноса в следующий разряд цифры того же знака, что и слагаемые, и установки в текущем разряде цифры противоположного знака. Пример:

Приведем пример сложения чисел с разными знаками:

Перевод целых десятичных чисел в троичную уравновешенную систему счисления

Для перевода из десятичной системы в троичную уравновешенную, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

выполняем деление в десятичной системе исходное число на 3; если остаток от деления равен 2, записываем его как , а к результату от деления добавляем 1; если результат меньше 2, начинаем записывать результат перевода, п.5; делим результат на 3, затем и повторяем действия описанные в п.2; переписываем полученные значения остатков (снизу-вверх), начиная с последнего результата деления.

Пример.

Переведем по предложенному правилу число в троичную симметричную систему счисления.

Частное	Остаток	Цифра	Измененное частное
	2		52+1=53
	2		17+1=18
	0	0
	0	0
	2		0+1=1
	1	1

Итак,

Троичная уравновешенная система счисления применялась в ЭВМ «Сетунь», разработанной в 1958 году в Московском государственном университете им. под руководством Николая Петровича Брусенцова.

В основе так называемого троичного принципа Брусенцова были положены три идеи:

Троичная логика, Троичная симметричная система счисления, Троичный элемент памяти (троичный триггер).

Троичная цифровая техника базируется на трехзначных сигналах и трехстабильных элементах памяти (тритах). Объекты, принимающие более чем три значения, реализуются в ней как совокупности тритов. Операции над этими объектами осуществляются как последовательности операций трехзначной логики. Аналогом байта служит шестерка тритов - трайт. Двузначные объекты и операции над ними содержатся в троичной технике как вырождения тритов и операций трехзначной логики.