Методические рекомендации и указания

Титульный лист методических Форма

рекомендаций и указаний

Ф СО ПГУ 7.18.3/40

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Кафедра Математики

Методические РЕКОМЕНДАЦИИ и указания

дисциплина Алгебра 2

для студентов

специальности 5В060100 Математика

Павлодар

Лист утверждения Форма

к рекомендациям и указаниям Ф СО ПГУ 7.18.3/41

УТВЕРЖДАЮ

Декан ФФМиИТ

___________.

«___»__________20__г.

Составитель: д. п.н., профессор ПГУ им. С. Торайгырова .

Кафедра Математики

Методические указания

к практическим занятиям

дисциплины Алгебра

для студентов специальности «5В060100» Математика

Рекомендовано на заседании кафедры

«____»_____________200_г., протокол №__

Заведующий кафедрой _____________

Одобрено УМС факультета физики, математики и информационных технологий

«____»_____________200_г., протокол №__

Председатель УМС ______________ .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ТЕМАМ:

Тема №1: Алгебра множеств. Группы, кольца, поля.

Процесс пропедевтического ознакомления студентов с понятием «алгебраическая система» и с освоением научно-методических подходов к решению проблемы изучения алгебраических систем с точностью до изоморфизма, в своей основе, осуществлялся (в предшествующих главах) в два этапа:

1. формирование первичных представлений методологического характера, посредством адаптации понятий, технологий и конструкций, связанных с указанной проблематикой, к простейшему случаю «чистых» множеств, как алгебраических систем с пустыми совокупностями операций и отношений;

2. выявление и использование схемы описания фактор-множеств с точностью до биективности;

3. нахождений сомножителей композиционного представления отображений (в виде произведения сюръекции, биекции и инъекции).

При практической отработке отмеченных этапов рассматривались примеры отношений эквивалентности на множествах различной природы, при этом, как правило, выбирались примеры таких отношений эквивалентности, которые становились конгруэнциями при введении на соответствующих множествах структуры алгебраической системы, тем самым обеспечивалась возможность дальнейшего использования этих примеров и той интуиции, которая формируется при их рассмотрении. Наиболее показательны в этом отношении примеры, приводящие к построению фактор-групп. В качестве таких примеров, можно указать следующие:

1. Пусть С – множество точек плоскости с заданной на ней декартовой системой координат, точка О - начало координат. Положим для любых точек . Ясно, что ~ - отношение эквивалентности. При этом, класс эквивалентности - представляет собой множество точек, лежащих на окружности с центром в начале координат, радиуса . Фактор-множество представляет множество всех концентрических окружностей с центром в начале координат. Простая графическая иллюстрация (смотри рисунок 3.а) параграфа 4.8) наглядно демонстрирует существование биективного соответствия между множеством неотрицательных действительных чисел и фактор-множеством .

2. Пусть множество всех обратимых матриц размерности над полем действительных чисел R. Положим для любых матриц , где - определитель матрицы А. Ясно, что ~ отношение эквивалентности, при этом класс состоит из всех матриц, имеющих один и тот же определитель, равный , а фактор-множество находится в биективном соответствии с множеством всех действительных чисел, отличных от нуля.

3. Пусть - множество всех подстановок п ой степени. Положим для любых подстановок . Функция определяется по правилу:

Очевидно, что ~ - отношение эквивалентности. Фактор-множество состоит из двух классов (классы чётных и нечетных подстановок) и находится в биективном соответствии с множеством .

Список этих примеров, конечно, можно продолжить. Следующим этапом в формировании практических навыков построения фактор-групп является овладение методикой описания правых (левых) смежных классов конкретных групп по конкретным подгруппам. Основополагающая, в этом плане роль принадлежит здесь отношениям - правой ( -левой) смежности группы G по подгруппе Н. Отношение , в случае мультипликативной записи группы G задаётся так:

.

Аналогично задаётся и отношение . Легко проверяется, с использованием определения группы, что , являются отношениями эквивалентности на G.

Покажем, к примеру, что отношение «» - транзитивно. Напомним, что это отношение задаётся по правилу:

(9)

Итак, пусть и ; . Тогда, согласно (9), получим: и . Так как Н – основное множество подгруппы, то оно замкнуто относительно операции « × », следовательно

.

Но , т. е.

(11)

Из (10) и (11) получаем: . Это и означает, в связи с правилом (9), что .

Таким образом, предполагая, что и , получаем, что .

В связи с тем, что () являются эквивалентностями на множестве G уместна постановка следующей проблемной ситуации: каким образом описывается класс () левой (правой) смежности группы G по подгруппе Н в терминах операций группы и самой подгруппы Н (т. е. студентам, фактически, предлагается доказать равенства: и )?

Далее, преломляя общую схему описания фактор-множеств с точностью «до биективности» к специфике определения фактор-группы, отметим, что для описания правых смежных классов группы G по подгруппе Н прежде всего необходимо выявить характерный признак принадлежности двух элементов одному и тому же классу. Исходить здесь нужно из определения . В конкретных группах условие может быть выражено в терминах свойств, присущих основным операциям этих групп и их подгрупп, что в дальнейшем позволяет сделать разумные предположения о структуре фактор-множества . Продолжим наши примеры 1-3 в этом плане, при этом целесообразно не сразу указывать подгруппу Н группы G, а, указав соответствующее подмножество Н из G, убедиться в его замкнутости относительно основных операций группы G, т. е. установить, что алгебра является подгруппой группы G. Это позволяет с одной стороны закрепить понятие подгруппы и попутно напомнить ряд результатов, характеризующих свойства операций – с другой.

1/. Интерпретируя этот пример на комплексной плоскости, рассмотрим - мультипликативную группу комплексных чисел. Пусть , где - модуль числа . Нетрудно убедиться, что Н замкнуто относительно основных операций. В частности, если , то из , следует, что ,. Попутно напоминается, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел. Пусть теперь . Тогда и лежат в одном правом смежном классе

Таким образом, два комплексных числа и лежат в одном смежном классе тогда и только тогда, когда точки, изображающие эти числа на комплексной плоскости, лежат на одинаковом расстоянии от начала координат. Вспоминая пример 1, сразу же получаем наглядное представление о структуре смежных классов группы по подгруппе Н.

2/. Пусть . Замкнутость Н относительно операций мультипликативной группы проверяется очевидным образом, т. е. - подгруппа. В частности, по ходу этих рассуждений напоминаются такие результаты из теории матриц, как и

Выявим условие принадлежности двух матриц А и В одному смежному классу. Пусть , тогда А и В лежат в одном правом смежном классе группы по подгруппе Н

.

Таким образом, две матрицы А и В лежат в одном классе тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же определитель, т. е. мы опять возвратились к примеру 2.

3/. Пусть . Легко проверяется, что подгруппа группы .В процессе проверки напоминается результат о мультипликативности функции на . Далее подстановки и лежат в одном классе

, т. е. мы вновь находимся в условиях примера 3.

Следующий этап – непосредственный переход к построению фактор-групп. В качестве рабочего, легко проверяемого условия, выделяющего из множества всех подгрупп группы G нормальные подгруппы, удобно взять следующее: подгруппа Н – нормальна в . На этом этапе полезно устанавливать существование биективного соответствия между совокупностью всех нормальных делителей группы G и совокупностью всех её гомоморфных образов. Развивая примеры 1/ - 3/ в этом направлении, получаем:

1//. Так как - абелева, то Н нормальная подгруппа G. Тогда из предыдущих рассуждений легко вытекает, что , где - мультипликативная подгруппа положительных действительных чисел. Изоморфизм задаётся отображением , что легко проверяется, исходя из определения изоморфизма.

2//. Так как для любых и , то Н нормальная подгруппа группы и , где - мультипликативная группа действительных чисел. Изоморфизм задаётся по правилу: . Здесь необходимо проверить сюъективность отображения . Студенты должны проделать это самостоятельно.

3//. Аналогичным путём, получаем изоморфизм задаётся по правилу для любой подстановки .

На заключительном этапе, после получения необходимого опыта построения фактор-групп в три этапа по пути, аналогичному , можно переходить к описанию фактор групп с использованием теоремы о гомоморфизмах (т. е. о композиционном строении гомоморфизма). Теорему о гомоморфизмах желательно охарактеризовать, как естественное обобщение теоремы о композиционном строении отображений «чистых» абстрактных множеств до композиционного строения таких отображений множеств с операциями и отношениями, которые сохраняют эти операции и отношения. На этом этапе устанавливается биективное соответствие между совокупностью всех нормальных делителей группы G и множеством всех её гомоморфных образов. Теорема о гомоморфизмах групп, с целью непосредственного получения и описания фактор-групп, используется так: для того, чтобы показать, что фактор-группа изоморфна группе нужно построить такой гомоморфизм группы на группу , чтобы ядро этого гомоморфизма совпало с . В частности, в наших примерах роль такого гомоморфизма играют отображения , , соответственно.

Продемонстрируем еще раз непосредственное применение теоремы о гомоморфизмах к описанию фактор-групп на следующем примере:

Доказать, что фактор-группа мультипликативной группы по подгруппе Н матриц с положительным определителем изоморфна мультипликативной группе .

Известно, что - циклическая группа 2-го порядка, т. е. группа с точностью до изоморфизма. Построим отображение из на множество по правилу:, где - определитель и - модуль определителя матрицы А. Нетрудно проверить, что гомоморфизм. Заметим, что из определения легко следует равносильность: . Отсюда непосредственно следует, что , т. е. . Далее, по теореме о гомоморфизмах получаем .