Функции от матрицы

21. Функции от матрицы.

Задача о вычислении функций от матриц. Если функция достаточно гладкая, т. е. она имеет достаточно много производных, то ее выписать ее формулу Тейлора, которая будет иметь достаточно много членов . Т. е. функцию можно представить в виде многочлена. Если матрица - жорданова клетка , то , т. е. значение функции определяется только значением функции и ее производных в точке . Мы можем взять формулу Тейлора для этой функции, обрубить ее на производной, мы получим многочлен , причем , а вычислять значение многочлена от матрицы мы умеем.

Если матрица произвольна, то ее нужно привести к жордановой форме , где - жордановые клетки. Т. к. и , то формулу Тейлора нам достаточно обрубить на производной, где - максимальный размер жордановой клетки в жордановой форме матрицы , тогда мы получим многочлен , т. ч. .

Лемма. Пусть - аннулирующий многочлен для оператора и его можно разложить в произведение двух взаимнопростых многочленов , то пространство является прямой суммой некоторых двух подпространств , причем каждое из них инвариантно и аннулирует сужение на , т. е. .

Доказательство.

Возьмем и .

То, что инвариантны и из прямая сумма равна является следствием теоремы из прошлой лекции о том, что пространство является прямой суммой всех его корневых подпространств. Докажем, что . Возьмем произвольный вектор , тогда , тогда , т. к. аннулирует . Аналогично доказывается, что .