Применение MATLAB для решения уравнений в частных производных

Для своего варианта функционала выведите дифференциальное уравнение Эйлера-Остроградского и решите его c помощью PDE Toolbox MATLAB.

Примечание: Если на рисунке указано “r = ” – то это часть окружности, если символа “r ” нет – то часть эллипса.

Вариант 27. Начало координат − в левом нижнем углу. Граничные условия: на верхней дуге u = 10−3(y−0.15), на остальных сторонах u = 0.

Приложить файл для программы PDE Toolbox MATLAB.
Ниже указан пример готового решения задачи

Применение MATLAB для решения уравнений в частных производных

Рассмотрим графические возможности МАТЛАБ на примере вывода решения дифференциального уравнения в частных производных Эйлера-Остроградского.

Пример 1. Найти экстремаль функционала:

в прямоугольной области xÎ[0,a]; yÎ [0,b], показанной на рис.3.

Рис.3. Область решения примера 1

Граничные условия: на правой стороне x = a:

на остальных сторонах z = 0.

Выведем вначале уравнение Эйлера-Остроградского вида:

Получим:

,

или, после сокращения на 2:

. (8)

Граничные условия по переменной y однородные, поэтому будем искать решение в виде ряда Фурье по собственным функциям Yn(y), которые равны:

.

Ищем решение в виде ряда:

. (9)

Это решение удовлетворяет граничным условиям на нижней и верхней сторонах: при y=0 и y=b.

Для нахождения функций Xn(x) подставим решение (9) в уравнение (8):

.

Левая часть данного уравнения является разложением в ряд Фурье по Yn(y). Разложим в такой же ряд правую часть этого уравнения. Собственно, она уже разложена: в этом ряду присутствует только первый член (n=1), а коэффициенты при остальных гармониках равны нулю. Известно, что два ряда Фурье тождественны друг другу тогда и только тогда, когда равны все их коэффициенты. Поэтому из полученного уравнения можно получить бесконечную систему дифференциальных уравнений для функций Xn(x):

(10)

Граничные условия для данного уравнения можно получить, раскладывая граничные условия на левой и правой сторонах в ряд Фурье по Yn(y). На левой стороне x=0 имеем z=0, и, следовательно, коэффициенты разложения данной функции нулевые:

. (11)

На правой стороне x=a имеем граничное условие:

Подставим в него решение (9):

Это возможно тогда и только тогда, когда:

(12)

Решаем систему дифференциальных уравнений (10) при граничных условиях (11) и (12). При n>1 имеем:

;

. (13)

Подставляем граничные условия:

Во втором уравнении второй множитель (гиперболический синус) не равен нулю, поэтому C2=0. Следовательно, .

Далее найдем X1(x). Дифференциальное уравнение для него – это 1-е уравнение системы (10). Для решения такого уравнения следует взять сумму общего решения соответствующего однородного уравнения вида (13) и частного решения неоднородного уравнения. В результате получим:

Значения произвольных постоянных С1 и С2 найдем из граничных условий (11) и (12):

Отсюда находим:

.

Решением рассматриваемой задачи является первая гармоника ряда:

Таким образом:

График (рис.4) этой функции при a = 1 и b = 2 выглядит следующим образом:

clear all % очистили память

a=1; % задали размеры

b=2;

x=linspace(0,a,40);

y=linspace(0,b,80);

[X, Y]=meshgrid(x, y); % сетка

U=((pi^2+b^2*a)/(pi^2*sinh(pi*a/b))*sinh(pi*X/b)-...

b^2*X/pi^2).*sin(pi*Y/b); % вычисляем функцию

surf(X, Y,U) % рисуем поверхность

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

da=daspect; % текущие масштабы осей

da(1:2)=min(da(1:2)); % одинаковые масштабы

daspect(da); % установили одинаковые масштабы

title('\bf Пример 1')

xlabel('\itx') % ось OX

ylabel('\ity') % ось OY

zlabel('\itu\rm(\itx\rm,\ity\rm)') % ось OZ

Рис.4. Решение примера 1