Лекция №1

Основные уравнения теории упругости.

1.1 Напряжения на наклонных площадках.

Рассмотрим произвольное тело с наложенными на него опорными связями, которое находится под действием поверхностных (Н/м2) и объемных нагрузок (Н/м3) (рис.1.1,а). Объемные нагрузки: собственный вес, инерционные силы, силы электромагнитного происхождения.

Рис. 1.1 Напряжения на наклонной грани

Сосредоточенные внешние силы, приложенные в точках поверхности тела, будем рассматривать как предельный случай поверхостых нагрузок, распределенных на малой поверхности тела.

Прекции интенсивности поверхостной нагрузки на координатные оси будем обозначать: ,,, проекции интенсивности массовой нагрузки -,,.

Выделим в окрестности точки элементарный тетраэдр, три грани которого совпадают с координатными плоскостями, четвертая образована секущей произвольно наклонной плоскостью (рис. 1.1,а, б). Ее положение в пространстве определяется внешней нормалью , которая задается направляющими косинусами:

, , , .

(1.1)

Проекции полного напряжения на наклонной грани обозначим через ,, (рис. 1.2). Площадь наклонной грани обозначим , других граней ,,(индекс указывает направление нормали к площадке).

Рис. 1.2 К составлению уравнений равновесия

Для площадей граней можно записать следующие соотношения:

, ,

(1.2)

Уравнение равновесия тетраэдра в проекции на ось имеет вид

(1.3)

При записи уравнений (1.3) удерживались только члены второго порядка малости (). Поэтому горизонтальная составляющая массовой силы не учитывается, так как она является величиной третьего порядка малости (). Таким образом, из (1.3) получим

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

(1.4)

Далее из уравнений равновесия в проекциях на оси ,нетрудно получить аналогичные выражения для ,. Окончательно получаем систему уравнений

.

(1.5)

Матрица системы уравнений является симметричной, так как для касательных напряжений справедлив закон парности.

1.2 Условия на поверхности.

Если мы выделим элементарный тетраэдр у поверхности тела, сечениями, параллельными координатным плоскостям, и плоскостью, касательной к поверхности (рис.1.3), а через ,,обозначим направляющие косинусы внешней нормали к поверхности , то

Рис. 1.3 К условиям на поверхности

по аналогии с (1.5) условия на поверхности можно записать в виде

(1.6)

Условия (1.6) являются граничными условиями для дифференциальных уравнений равновесия.

Заметим, что в уравнениях (1.5), (1.6) каждое последующее уравнение может быть получено из предыдущего в результате круговой подстановки индексов (рис. 1.4)

Рис. 1.4 Круговая подстановка индексов

1.3 Уравнения равновесия.

Классические уравнения деформирования среды получим в предположении, что среда эта – сплошная, однородная и изотропная, т. е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Считается, что для материала среды справедлив закон Гука, а перемещения достаточно малы.

Выделим в окрестности точки деформируемого тела элементарный параллелепипед со сторонами длиной ,,(рис. 1.5).

В курсе сопротивления материалов считалось, что во всем объеме напряжения остаются неизменными (однородное напряженное состояние) и поэтому на параллельных гранях предполагаются равные, но противоположно направленные напряжения.

В сплошной среде все компоненты тензора напряжений непрерывно изменяются от точки к точке, т. е. они являются непрерывными функциями координат

Более компактная форма записи через тензор напряжений имеет вид

. (1.7)

Функции (1.7) определяют непрерывное поле напряжений в объеме тела.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять функции (1.7), чтобы каждый элемент тела в своем взаимодействии с соседними элементами был в равновесии.

Рис. 1.5 Равновесие элементарного параллелепипеда.

Сумма проекций всех сил на ось

Раскрываем скобки, приводим подобные члены, делим на , получаем

.

Аналогично записываем уравнения сумма проекций всех сил на ось и , в результате получаем систему дифференциальных уравнений равновесия элементарного параллелепипеда

.

(1.8)

Заметим, что каждое последующее уравнение системы (1.8) может быть получено из предыдущего в результате круговой подстановки индексов (рис. 1.4).

Запишем уравнение равновесия, приравняв нулю сумму моментов всех сил, относительно оси, проходящий через цент грани 4-5-6-7 параллельно оси (рис.1.5). На рис 1.6 показана проекция параллелепипеда на плоскость x – y. В результате получим

Рис. 1.6 К выводу закона парности

В уравнении сразу учтены два слагаемых, отвечающих , действующих понизу и поверху грани, аналогично для .Отбросим два последних слагаемых, как величины более высокого порядка малости и разделим на , в результате получи . Таким образом, в дополнение к (1.8) можно записать равенства выражающие известный закон парности касательных напряжений:

,,.

(1.9)

1.4 Геометрические уравнения.

Под действием внешних сил тело деформируется, т. е. изменяет свои размеры и форму (рис.1.7). Некоторая произвольная точка M переходит в новое положение M1. Полное перемещение MM1 будем разлагать на компоненты , , , параллельные осям координат.

Рис 1.7 Полное перемещение точки и его компоненты.

Пусть точка M имела в исходном недеформированном состоянии координаты , ,. После деформации точка заняла положение M1 и ее координаты стали равны:

,, .

Перемещения , , являются функциями пространственных координат ,,. В силу сплошности тела будем предполагать, что эти функции и их частные производные требуемого порядка по , , непрерывны, кроме, может быть, особых точек, линий или поверхностей.

Но перемещение данной точки еще не характеризует степень деформирования элемента материала у этой точки.

Введем понятие деформаций в точке как количественную меру деформирования материала в её окрестности. Выделим в окрестности т. М элементарный параллелепипед (рис. 1.8). За счет деформации длины его ребер получат удлинение .

Рис 1.8 Линейная и угловая деформации элемента материала.

Линейные относительные деформации в точке определятся так:

(1.10)

Кроме линейных деформаций возникают угловые деформации или углы сдвига, представляющие малые изменения первоначально прямых углов параллелепипеда (например, в плоскости xy это будет ). Углы сдвига весьма малы и имеют порядок .

Введенные относительные деформации в точке сведем в матрицу

. (1.11)

Величины (1.11) количественно определяют деформацию материала в окрестности точки и составляют тензор деформаций.

Геометрические уравнения устанавливают зависимости между перемещениями и деформациями. Для их вывода будем считать функции , , заданными, а через них выразим деформации.

Также будем считать деформации и перемещения малыми (). В этом предположении продольные деформации и деформации сдвига найдем без учета их взаимного влияния.

Для малых перемещений и деформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение , а его малый наклон, вызываемый перемещениями и , не изменяют его длины.

Рис. 1.9 Деформации элемента вызываются приращениями перемещений и угловых точек элемента

Найдем продольные деформации (рис. 1.9, а)

, аналогично , .

Считая , получим (рис. 1.9, б)

.

Аналогично , .

Окончательно геометрические уравнения (уравнения Коши) примут вид

,,;

,,.

(1.12)

1.5 Физические уравнения (уравнения закона Гука)

,

,

,

,,,.

(1.13)