Модель открытой экономики Рамсея. Централизованный вариант.

Мир: много стран, каждая из которых организована одинаково; «наша страна»- малая, окружена «остальным миром» - большим.

Товары и капиталы могут свободно перемещаться между странами: процентная ставка одинакова повсюду.

* - единая мировая процентная ставка, постоянная и экзогенно заданная.

§ 1. Постановка задачи.

, (1.1)

- (1.2)

(1.3)

- (1.4)

- заданы, .

Замечания относительно функции затрат на освоение инвестиций .

1. Зачем нужна функция затрат? В ее отсутствие динамика модели не имеет интуитивного объяснения. А именно, начиная с любого уровня , страна мгновенно переходит в стационарное состояние, определяемое параметрами стационарного состояния модели Рамсея для закрытой экономики, в которой в качестве экономической системы рассматривается вся мировая экономика.

2. Свойства функции затрат :

1) (1.5)

2) (1.6)

3) – представляет собой затраты на освоение инвестиций на единицу капитала. Они положительны и увеличиваются по модулю по мере роста , то есть – выпуклая функция, то есть

(1.7)

Обычно предполагают следующий вид :

Замечание: соотвествие обозначений модели основным понятиям национальных счетов

§ 2. Условия оптимальности

Система необходимых и достаточных условий оптимальности траектории

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

, (2.5)

- (1.2)

(1.3)

§ 3. Анализ решения модели

! , то есть .

- теневая цена капитала в терминах цены потребительского товара.

Оптимальная траектория экономики в пространстве (,):

, ,

,

- задано.

Оптимальные траектории капитала и, соответственно, инвестиций, не зависят от вида функции полезности и объема начального заимствования , и определяются, главным образом, производственными технологиями.

Отступление

,

, - задано.

Решение может быть записано следующим образом:

.

Применяя это для уравнения для получаем формулу Тобина

Предельный продукт капитала в непосредственном производстве
 

Предельный продукт капитала в освоении инвестиций в объеме .
 
 

Экономический смысл формулы: теневая стоимость капитала сегодня равна дисконтированному будущему предельному продукту капитала.

не зависит от и .

не зависит от и функции полезности.

, то есть траектория потребления не зависит от вида функции полезности .

- средневзвешенный чистый выпуск,

§ 4. Стационарный режим

, (4.1)

, , (4.2)

(4.3)

.

§ 5. Динамика в окрестности стационарного состояния

Фазовая диаграмма в пространстве .

(5.1)

(5.2)

Обозначим

. (5.3)

В силу того, что функция - убывающая, можем сделать вывод, что убывет в окрестности .

(5.5)