Контрольная работа №1

Контрольная работа №1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Вариант №1

Решить системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

№1

Решение:

Составим расширенную матрицу системы:

.

С помощью элементарных алгебраических преобразований приведем её к ступенчатому виду:

Четвертой строке последней матрицы соответствует уравнение (значение неизвестной ). Подставим это значение в первые три уравнения системы, после чего переменная исчезнет, т. е. получим нули в четвертом столбце в первой, второй и третьей строках:

Получаем , подставляем это значение в первые две строки:

,

отсюда , подставляем это значение в первую строку.

,

.

Записав последнюю матрицу в виде уравнений, получим: , , , . Система имеет единственное решение: .

Ответ: единственное решение: .

№2

Решение:

Составим расширенную матрицу системы:

.

Поменяем местами первую и вторую строки:

С помощью элементарных алгебраических преобразований приведем полученную матрицу к ступенчатому виду:

.

Третьей строке последней матрицы соответствует уравнению: , которое не имеет решения. Значит и система не имеет решения.

Ответ: система не имеет решения.

№3

Решение:

Составим расширенную матрицу системы:

.

С помощью элементарных алгебраических преобразований приведем её к ступенчатому виду:

.

В последней матрице имеются три одинаковые строки, удалим две из них:

.

Запишем систему, соответствующую последней матрице:

Последняя система описывает общее решение исходной системы. В этом решении неизвестные и могут принимать любые значения, поэтому система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений. Если придать и конкретные значения, то получится частное решение, например, , , тогда , .

Ответ: бесконечное множество решений, общее решение