Задача № 1

Задача № 1.

В сферу радиуса вписана пирамида , основанием которой служит прямоугольник , а высота пирамиды совпадает с боковым ребром . Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом , а плоскость, проходящая через и параллельная диагонали основания , образует с высотой пирамиды угол . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания ?

Решение.

1. Пусть т. – центр сферы (Т. равноудалена от вершин пирамиды), т. е.

.

2. - угол между и .

3. Построим плоскость, проходящую через и параллельную диагонали основания : в плоскости

. Плоскость .

4. линейный угол двугранного угла , т. к.

содержит проекцию на плоскость - угол, образованный

плоскостью и высотой пирамиды .

5. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания,

вершина которого лежит на ребре . Площадь этого треугольника тем меньше, чем меньше

его высота.

6. ; ;

7. подобен по двум углам, т. к. как вертикальные

. Т. о. .

8. :

).

Т. о. .

Рассмотрим функцию ,

, (0).

+

| | |

0

В точке функция достигает своего наименьшего значения

.

(как диагонали прямоугольника).

Ответ: .

Замечание:

Возможен другой способ решения задачи, если замети, что высота треугольника будет

наименьшей, если расстояние от т. до ); – общий

перпендикуляр между скрещивающимися прямыми .