Лабораторная работа «Кривые второго порядка»
Пусть кривая второго порядка задана уравнением
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению.
Возможны следующие случаи:
1. АС -
> 0 – эллиптический тип.
Канонические уравнения фигур эллиптического типа:
- эллипс,
- точка,
- пустое множество точек (мнимый эллипс).
2. АС - < 0 – гиперболический тип.
Канонические уравнения фигур гиперболического типа:
- гиперболы,
- пара пересекающихся прямых.
3. АС -= 0 - параболический тип.
Канонические уравнения фигур параболического типа:
у2 = 2рх (х2 = 2ру) (р 
0) – парабола;
у2 = а2 (х2 = а2) (а 0) – пара параллельных прямых;
у2 = 0 (х2 = 0) – пара совпадающих прямых;
у2 = - а2 (х2 = - а2) (а 0) – пустое множество точек.
Применив преобразование поворота осей координат с использованием формул
x = x΄cosα – y΄sinα
y = x΄sinα + y΄cosα,
следует при надлежащем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Дальнейшие преобразования рассмотрим для каждого типа кривых.
1. Эллиптический тип.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)
Дополним до полного квадрата члены, содержащие х2 и х, а также y2 и y. После этого уравнение можно будет записать в виде
A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = F1 (2)
Если F1 > 0, то уравнение (2) приводится к виду
,
где 
, 
, это уравнение определяет эллипс.
Если F1 > 0, то уравнению (2) соответствует пустое множество.
Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид
A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0
и определяет точку М(х0, у0).
При А = С эллипс превращается в окружность: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, где 
.
2. Гиперболический тип.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)
Как и в первом случае, уравнение (1) можно привести к виду (2).
Если F1 > 0, то уравнение (2) можно записать в виде
.
Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Оу.
Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид
A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0
Ему соответствует пара пересекающихся прямых. Докажем.
Введем обозначения: A = m2, C = -n2 и запишем уравнение в виде:
m2(x – x0)2 - n2(y – y0)2 = 0 или
(m(x – x0) - n(y – y0))(m(x – x0) + n(y – y0)) = 0.
Это уравнение равносильно следующим двум:
m(x – x0) - n(y – y0) = 0,
m(x – x0) + n(y – y0) = 0,
каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х0, у0).
3. Параболический тип.
Ax2 + Dx + Ey + F = 0.
Можно считать, что A > 0.
Дополнив члены, содержащие x2 и х, до полного квадрата, получим
A(x – x0)2 + Ey = F1.
Если E ≠ 0, то уравнение можно записать в виде y – y0 = a(x – x0)2. Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу.
Если Е = 0 и F1 > 0, то уравнение A(x – x0)2 = =F1 равносильно уравнениям
,
,
которые определяют пару параллельных прямых.
Если Е = 0 и F1 < 0, то получим также уравнение A(x – x0)2 = F1, которому соответствует пустое множество.
Если Е = 0 и F1 = 0, то A(x – x0)2 = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых
x – x0 = 0.
Если предположить, что С ≠ 0, А = 0, то уравнение (1) будет иметь вид:
Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Аналогично предыдущему можно показать, что при D 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох, и может быть приведено к виду
x – x0 = а(y – y0)2.
Если D = 0, то уравнение определяет пару параллельных прямых или пустое множество.
При переходе основной системы координат хОу к новой х΄О1у΄ направление осей координат остается прежним, за новое начало координат принимается точка О1(a; b). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки плоскости определяется следующими формулами:
x = x΄ + a, y = y΄ + b;
x΄ = x – a, y΄ = y – b.
Пример: х2 – 2ху + у2 – 10х – 6у + 25 = 0.
1) Определим тип кривой: А =1, В/2 = -1, С = 1, АС – (В/2)2 = 0 – кривая параболического типа.
2) Приведем уравнение кривой к каноническому уравнению.
Освободимся от слагаемого содержащего ху. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей координат:
(x΄cosα – y΄sinα)2 – 2(x΄cosα – y΄sinα)(x΄sinα + y΄cosα) + (x΄sinα + y΄cosα)2 – 10(x΄cosα – y΄sinα) – 6(x΄sinα + +y΄cosα) + 25 = 0, раскроим скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными
(cos2α – 2cosαsinα + sin2α)x΄2 + (sin2α + 2sinαcosα + +cos2α)y΄2 + 2(-cos2α + sin2α –
- cosαsinα +cosαsinα)x΄y΄ – (10cosα + 6sinα)x΄ + (10sinα -6cosα)y΄ + 25 = 0.
Множитель при слагаемом содержащем приравняем к нулю:
sin2α - cos2α = 0,
sin2α = cos2α,
tg2α = 1,
tgα1 = 1, tgα2 = -1. Возьмем tgα1 = 1; α = 
.
sinα = ; cosα = .
Подставим найденные значения sinα и cosα :
y΄2 - x΄ + y΄ + 25 = 0,
2 y΄2 - 8 x΄ + 2 y΄ + 25 = 0.
Выделим полный квадрат:
2(y΄2 + y΄) - 8 x΄ + 25 = 0,
2(y΄ + 
)2 = 8 x΄ + 24.
Получим уравнение
(y΄ + )2 =4
( x΄ - 
).
Перейдем к новой системе координат. За новое начало координат возьмем точку О΄
, новые координаты выразим через старые :
y΄ + = y΄΄; y΄ = y΄΄ - .
х΄ - = х΄΄; х΄ = х΄΄ + .
y΄΄2 = 4 х΄΄ - уравнение параболы в новой системе координат.
3) Определим параметры параболы:
; 
- уравнение директрисы; F(;0) – фокус.
4) Построим параболу.
В прямоугольной системе координат 
выполним поворот осей координат на угол α = . Получим систему координат 
и построим в ней точку О΄ . Осуществим параллельный перенос осей координат 
и 
в новый центр О΄, получили систему координат 
, строим в ней параболу y΄΄2 = 4 х΄΄, директрису , фокус F(;0).
Набор заданий
Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому, найти параметры и построить кривую
1. 9х2+9у2+42х-54у-95=0
2. 3х2+3у2+6х-4у-2=0
3. 4х2+3у2-8х+12у-32=0
4. 2х2+у-8х+5=0
5. 4х2-у+8х+7=0
6. 5у2-10у-х+6=0
7. х2-4х-у+5=0
8. 5х2+у2-20х+2у-4=0
9. 108х2+72у2-108х-48у-397=0
х2+49у2+56х-98у-143=0
11. 9х2+10у2-54х+60у+81=0
12. 4х2+16у2+4х+64у+1=0
х2+16у2-72х-128у+121=0
14. у2-6х-2у-2=0
15. 3х2-2у2 -6х-8у-17=0
16. 25х2-9у2 +50х+18у+241=0
17. 4х2-2у2 -4х-12у-25=0
18. х2-6у2 +2х+72у-209=0
19. 5х2-2у2 +40х+4у+28=0
20. 49х2-196у2 +56у+780=0
21. 11х2-4у2 +44х=0
22. 9х2-8у2 -6х-16у+65=0
23. 4х2+8х+у=0
24. 4х2-4х-32у-63=0
25. 4у2+32у+х+60=0
26. 81х2+64у2-162х+128у-5039=0
х2+64у2-512х+16у+1=0
28. 4х2+4у2-32х+4у-35=0
29. 2x2-3y2+8x-6y+3=0
x2+25y2-32x+100y-316=0
31. 4х2+у2-8х+4у=0
32. 2х2+3у2+12х-6у+21=0
33. 4х2-у2+8х-2у+3=0
34. 9х2+16у2+36х-64у-44=0
35. 5х2+3у2+-10х+12у+17=0
