Задачи для контрольных работ

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1-10. Найти обратную матрицу А-1 . Проверить результат, вычислив произведение матриц А и А-1.

		1.		æ	-4	-5	-16	ö
			А=	ç	-2	-1	0	÷
				è	-4	-5	-3	ø

11-20. Решить систему линейных уравнений тремя методами:

a) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

	11.	ì	–4	x1	–5	x2	-16	x3=	15
		í	–2	x1	–	x2		= =	11
		î	–	x1	–3	x2	+4	x3=	17

21-30. Исследовать (по теореме Кронекера-Капелли) совместность

и решить систему линейных уравнений.

21.

ì

x1

+

x2

-3

x3=

1

í½

2

x1

+

x2

–2

x3=

1

ïô÷ôêêïî

x1

+

x2

+

x3=

3

î

x1

+2

x2

–3

x3=

1

31-40. При каких А и В система имеет бесчисленное множество решений? Найти эти решения.

	31.	ì	3	x	+7	y	+A	z=	6
		íî	6	x	+8	y	–4	z=	B
		î	12	x	+6	y	–8	z=	13

41. Используя матричные операции, выразить z1, z2, z3 через x1, x2, x3, x4.

ì

y1=

–7

z1

–2

z2

–5

z3

ì

y1=

x1

–

x3

+6

x4

í

y2=

–4

z1

–

z2

–3

z3

í

y2=

–

x2

+5

x4

î

y3=

3

z1

+2

z2

+2

z3

î

y3=

–2

x1

–3

x2

+3

x3

+3

x4

71-80. Даны 4 вектора`a,`b,`c,`d. Вычислить:

1) координаты вектора`d в базисе a,`b,`c;

2) `a.`b ;

3) `с .`d ;

4) (2`a + 3`b ) . (5`c – 4`d);

5) `a ´`b ;

6) `с ´`d ;

7) (`a ´`с ) .`d .

71. `a(4, 5, 2); `b(3, 0, 1); `c(-1, 4, 2); `d(5, 7, 8);

81-90. Даны вершины треугольника ABC. Найти:

1) длину стороны AB;

2) уравнения стороны AB;

3) длину медианы AM;

4) уравнение медианы AM;

5) уравнение высоты BH;

6) длину высоты BH;

7) площадь треугольника;

8) угол BAC (в градусах);

9) уравнения прямой параллельной стороне ВС и проходящей через точку А.

В ответах надо приводить уравнения прямых в виде y = kx+b. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

81. A(1, 1); B(4, 3); C(-4, 2).

91-100. Даны вершины пирамиды SPMN. Найти:

1) длину ребра SN;

2) уравнение ребра SN;

3) уравнение грани SPN;

4) площадь грани SPN;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;

6) длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;

7) угол между ребрами SP и SN (в градусах);

8) угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах);

9) объем пирамиды.

В ответах надо приводить уравнения плоскостей и прямых в виде Аx + Вy + Cz + D = 0 и . Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

91. S(1, 0, 0); P(0, 1, 0); M(0, 0, 2); N(0, 4,-1).

111-120. Найти производные функций.

121-130. Найти производные функций.

131-140. Найти пределы функций.

131.

д) l i m (x2 ln3x) .

x® 0

141-150. Определить количество действительных корней уравнения , и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью до 0,001.

141. a = 1; b = – 4 .

151–160. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций.

151. а) , б) .