УДК 371.335.5:51+904
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ СОСУДОВ
Центр международного образования МГУ
имени , г. Москва
Аннотация. Настоящей статьей продолжается цикл работ по выявлению межпредметных связей археологии с математикой и информатикой, начатому в работах [2]–[5] на материале [1]. Исследуется процесс аппроксимации сложных сосудов «элементарными» формами, сравниваются различные способы их расчета.
Ключевые слова: межпредметные связи, математика, информатика, археология, сосуды, форма, объем, приближенные вычисления.
Если функция непрерывна в некотором интервале, то ее
с любой степенью точности можно аппроксимировать
полиномом достаточно высокого порядка.
Вейерштрасс, терема об аппроксимации
Важность качества разбиения при приближении сложных геометрических тел «элементарными» нельзя умалять, поскольку часто именно оно имеет решающее значение. Чтобы убедиться в этом, в задаче п. 1 [2] возьмем другое разбиение формы блюда, выбрав в качестве внутренних опорных точек не три точки, как мы это делали на рис. 4 в п. 4 [4], а одну — на высоте 1,5 см от дна. Тогда форма блюда разбивается не на четыре слоя, а на два (см. рис. 1). Напомним, что при этом исходные данные блюда будут следующие: r1 = 8,5 см; r2 = 12,5 см; r3= 12,6 см; h1 = 1,50 см; h2 = 2,5 см.
|
|
Рис. 1 | Рис. 2 |
Воспользовавшись приближением усеченными конусами, т. е. методикой п. 4 [2] и Программой 2 вычисления объема усеченного конуса (см. п. 2 там же), придем к следующему результату:
V1 = 525.5575 куб. см V2 = 1236.401 куб. см
Следовательно, V = 1761,9585 см3 ≈ 1,8 л, что уже не совпадает с результатом, полученным в п. 4 [4] (1,9 л), и тем более, с результатом п. 1 [2] (2 л).
1. А теперь для последнего разбиения вычислим искомый объем с помощью квадратичного приближения. Для этого конкретного случая достаточно воспользоваться Программой 1.1 п. 4 [5], добавив в нее две строки:
93 DEF FNP(X)=X
(A^2X^4/5+ABX^3/2+(B^2+2AC)X^2/3+BCX+C^2)
96 PRINT «V=»;3.14(FNP(XK)-FNP(XH))
и введя соответствующие значения исходных данных (см. рис. 2):
XH = 0, YH = 8.5, XC = 1.5, YC = 12.5, XK = 4, YK = 12.6.
На экране дисплея увидим следующий результат:
V = 1925.843 куб. см
После округления получаем результат первого квадратичного приближения [4]. Таким образом, изменение разбиения на результате квадратичного приближения, точнее, на числовом значении объема рассматриваемого блюда, в противоположность приближению конусами, не отразилось. А это подтверждает то, что квадратичное приближение, если оно возможно, – самое точное из всех рассматриваемых нами в настоящем исследовании приближений.
Предлагаем читателю аналогично исследовать и другие примеры из настоящего цикла работ, сравнивая результаты различных приближений при различных разбиениях.
2. Для того чтобы иметь возможность сравнения приближений (квадратичного и усеченными конусами) при одном и том же разбиении, внесем некоторые изменения в Программу 2 п. 6 [5] (отделим вычисление объема первого слоя от вычисления объема второго слоя) и добавим в нее несколько строк, в которых параллельно объемам слоев, образованных вращением квадратичных трапеций, будут вычисляться и выдаваться на экран дисплея объемы соответствующих приближающих конусов. Новый вариант назовем
ПРОГРАММА ОПТИМИЗАЦИИ
103 REM ВЫЧ. ОБЪЕМА 1-ГО СЛОЯ
104 XK=XC:YK=YC
105 GOSUB 290:V=W:PRINT «V(0-1)=»;W;«куб. см»;
106 VK=WK:PRINT «VK(0-1)=»;WK;«куб. см»;
107 AP=ABS(W-WK):OP=AP/W100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»
108 REM ВЫЧ. ОБЪЕМА 2-ГО СЛОЯ
109 XH=XC:YH=YC:XK=X(2):YK=Y(2)
110 GOSUB 290:PRINT «V(1-2)=»;W;«куб. см»;
112 PRINT «VK(1-2)=»;WK;«куб. см»;
113 AP=ABS(W-WK):OP=AP/W100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»
115 REM ВЫЧ. СУММЫ ОБЪЕМОВ 1-2 СЛОЕВ
120 V=V+W:PRINT «V(0-2)=»;V; «куб. см»;
122 VK=VK+WK:PRINT «VK(0-2)=»;VK;«куб. см»;
123 AP=ABS(V-VK):OP=AP/V100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»
172 PRINT «VK(»;I+1;«-»;I+2;«)=»;WK;«куб. см»;
173 AP=ABS(W-WK):OP=AP/W100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»
182 VK=VK+WK:PRINT «VK(0 - »;I+2;«)=»;VK;«куб. см»;
183 AP=ABS(V-VK):OP=AP/V100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»
202 PRINT «ОБЪЕМ СОСУДА VK=»;VK; «куб. см»
203 AP=ABS(V-VK):OP=AP/V100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»
312 WК=3.14(XK - XH)(YK^2 + YKYH + YH^2)/3
Здесь строки 103, 108 и 115 введены специально для удобства чтения результатов - для отделения этапов вычисления объемов отдельных слоев, а затем их суммы, друг от друга. Строки 107, 123, 173, 183, 203 введены для отслеживания степени приближения по абсолютной и относительной погрешностям. Это может существенно помочь при уточнении разбиения и, конечно, при выборе оптимального разбиения. Кроме того, с целью компактности записи добавлена точка с запятой в конце каждой из строк 110, 170, 180 и 200, предваряющих вновь введенные строки с выводом объемов конусов и значений соответствующих погрешностей.
В качестве конкретного примера рассмотрим использование этой новой программы — Программы оптимизации — для кувшина рис. 1 [5] с разбиением п. 8 [5] (взяв за опорные точки А, А2, А4, А6, А8, А10, А12, В) — см. рис. 3.
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5 Рис. 6
Введем соответствующие исходные данные: количество слоев N = 7 и массивы
X = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 30},
Y = {4; 9; 11,9; 12; 7,8; 5; 4,9; 7,8},
В результате на экране дисплея получим табл. 1:
Таблица 1
I=0 XH=0 XC=4 XK=8 A= -6.562501E-02 B=1.5125 C=4
V(0-1)=585.8623 куб. см VK(0-1)=556.8267 куб. см AP=29.03564 куб. см OP=4.956053 %
V(1-2)=1426.786 куб. см VK(1-2)=1380.386 куб. см AP=46.39978 куб. см OP=3.25205 %
V(0-2)=2012.648 куб. см VK(0-2)=1937.213 куб. см AP=75.43542 куб. см OP=3.748069 %
I=1 XH=4 XC=8 XK=12 A= -8.749998у-02 B=1.775 C= 3.300001
V(2-3)=1864.473 куб. см VK(2-3)=1793.61 куб. см AP=70.86328 куб. см OP=3.800714 %
V(0-3)=3877.121 куб. см VK(0-3)=3730.822 куб. см AP=146.2988 куб. см OP=3.773388 %
I=2 XH=8 XC=12 XK=16 A= -.134375 B=2.7125 C= -1.200002
V(3-4)=1340.517 куб. см VK(3-4)=1249.469 куб. см AP=91.04822 куб. см OP=6.792022 %
V(0-4)=5217.638 куб. см VK(0-4)=4980.291 куб. см AP=237.3472 куб. см OP=4.548939 %
I=3 XH=12 XC=16 XK=20 A=4.374999E-02 B= -2.275 C=33
V(4-5)=504.1126 куб. см VK(4-5)=522.6635 куб. см AP=18.5509 куб. см OP=3.679913 %
V(0-5)=5721.751 куб. см VK(0-5)=5502.955 куб. см AP=218.7964 куб. см OP=3.823941 %
I=4 XH=16 XC=20 XK=24 A=8.437501E-02 B= -3.7375 C=46
V(5-6)=280.5486 куб. см VK(5-6)=307.7619 куб. см AP=27.21329 куб. см OP=9.700027 %
V(0-6)=6002.3 куб. см VK(0-6)=5810.716 куб. см AP=191.5835 куб. см OP=3.191835 %
I=5 XH=20 XC=24 XK=30 A=5.083333E-02 B= -2.261667 C=29.9
V(6-7)=702.0062 куб. см VK(6-7)=772.8796 куб. см AP=70.87341 куб. см OP=10.09584 %
V(0-7)=6704.306 куб. см VK(0-7)=6583.596 куб. см AP=120.7104 куб. см OP=1.800491 %
ОБЪЕМ СОСУДА V(0-8)=6704.306 куб. см VK(0-8)=6583.596 куб. см
Сравнение двух полученных значений объема кувшина мы провели подробно в п. 8 [5]. Исследуем теперь сам процесс приведенного в табл. 1 послойного вычисления. Мы видим, что как абсолютная погрешность AP, так и относительная погрешность OP, для отдельных слоев больше, чем окончательная. Почему? Если Вы еще не догадались, обратите внимание на то, что cначала (по I=2) V > VK, а потом для всех остальных слоев V < VK, из чего мы можем сделать вывод о том, что при общем суммировании объемов всех слоев происходит взаимная компенсация. Чтобы ответить на поставленный вопрос, вернемся к рис. 3, переведем его на кальку и сделаем приближение профиля кувшина ломаными линиями (что соответствует приближению конусами, см. рис. 4). После этого увидим, что, так как в начале построения (считая от дна кувшина) кривая АВ профиля выпуклая, а в конце – вогнутая, то первые приближающие отрезки (АА2, А2А4, А4А6, А6А8) находятся «внутри» кувшина, а последние (А8А10, А10А12, А12В) – «вне» него. Точка перегиба по счастливой случайности практически совпала с точкой А8.
3. Теперь можно сказать, что с предыдущим примером нам повезло – новый выбор более «редкого» разбиения не отразился на значении объема, по крайней мере, полученного с помощью квадратичного приближения. Однако надо помнить, что не всегда получается так. Чтобы убедиться в этом, достаточно еще раз уменьшить количество опорных точек, например, взять в качестве опорных всего пять точек, которые определяют разбиение кувшина на четыре слоя — пусть это будут точки А, А5, А9, А12, В (см. рис. 5).
Пересняв на кальку рис. 5 и сделав соответствующие построения, видим, что приближение конусами в этом случае (см. рис. 6) значительно более «грубое» по сравнению с предыдущим (рис. 4) и, тем более, с первоначальным приближением.
Что касается квадратичного приближения, то здесь мы совсем не можем сказать ничего определенного, так как «вручную» построить соответствующие участки парабол-приближений — дело сложное и трудоемкое, тем более что наверняка эти приближения будут не очень точными – вспомним хотя бы наши не очень-то удачные попытки в этом направлении, описанные в п. 5 [5]. Чтобы все-таки оценить приближения объемов с помощью рассматриваемого разбиения, опять обратимся к Программе оптимизации. Запустив ее для данного случая, получаем табл. 2:
Таблица 2
I=0 XH=0 XC=10 XH=18 A= -.09 B=1.72 C=4
V(0-1)=3083.898 куб. см VK(0-1)=2236.099 куб. см AP=847.7998 куб. см OP=27.49117 %
V(1-2)=2582.317 куб. см VK(1-2)=2120.463 куб. см AP=461.8542 куб. см OP=17.88527 %
V(0-2)=5666.216 куб. см VK(0-2)=4356.562 куб. см AP=1309.654 куб. см OP=23.11339 %
I=1 XH=10 XC=18 XK=24 A=4.642857E-02 B= -2.1 C=28.55714
V(2-3)=486.1174 куб. см VK(2-3)=540.5197 куб. см AP=54.40225 куб. см OP=11.19118 %
V(0-3)=6152.333 куб. см VK(0-3)=4897.081 куб. см AP=1255.252 куб. см OP=20.40286 %
I=2 XH=18 XC=24 XK=30 A=5.277778E-02 B= -2.366667 C=31.3
V(3-4)=699.3783 куб. см VK(3-4)=772.8796 куб. см AP=73.50134 куб. см OP=10.50953 %
V(0-4)=6851.711 куб. см VK(0-4)=5669.961 куб. см AP=1181.75 куб. см OP=17.24752 %
ОБЪЕМ СОСУДА V(0-4)=6851.711 куб. см
ОБЪЕМ СОСУДА VK(0-4)=5669.961 куб. см
Исследовав эту таблицу аналогично тому, как мы делали это с табл. 1, отмечаем те же особенности обоих приближений. Далее, округлив полученные значения объемов:
V(0-4) ≈ 6900 см3 = 6,9 л, VK(0-4) ≈ 5700 см3 = 5,7 л,
и сравнив их с ранее полученными, убеждаемся в том, что последнее разбиение — неудачное, поскольку его результаты значительно отличаются от них. Найдем относительные погрешности этих значений, взяв за истинное значение наиболее точное ранее найденное приближенное значение 6,7 л:
Отсюда видно, что квадратичное приближение имеет вполне приемлемую относительную погрешность, всего на полпроцента отличающуюся от наибольшей относительной погрешности измерения (см. п. 8 [5]). Однако приближение усеченными конусами имеет совершенно неподходящую относительную погрешность, в несколько раз превышающую погрешность измерения исходных данных (в 6 раз). Опять квадратичное приближение оказалось «лучше» приближения конусами.
4. Возникает вопрос, спровоцированный выше сделанным замечанием: всегда ли, для любой ли формы сосуда возможно квадратичное приближение? Для ответа на этот вопрос выйдем из области археологии или гончарного дела (назовите, как хотите, а скорее, и так, и так) в «чистую» математику и, находясь уже среди абстрактных объектов — точек, прямых, кривых, осей, координат, функций и, возможно, т. п., переформулируем наш вопрос на сугубо абстрактном математическом языке:
Задача. Можно ли и всегда ли через любые три точки (xн; yн), (xc; yc), (xк; yк), заданные в некоторой системе координат xOy и имеющие различные абсциссы, удовлетворяющие условию xн < xc < xк (см. (3) в [5]), провести параболу?
Р е ш е н и е. Вспомним выражения (5) из [5], из которых видно, что парабола существует (т. е. можно вычислить коэффициенты a, b, c для ее уравнения), если D ≠ 0. Воспользуемся в своих дальнейших рассуждениях методом от противного: предположим, что D = 0. Тогда должно выполняться следующее равенство:
xнxс(xн – xс) + xсxк(xс – xк) + xнxк(xн – xк) = 0.
Сделав замену xн – xк = xн – xс + xс - xк в последнем слагаемом, приходим к равенству
(xн – xс)(xк - xс)(xк - xн) = 0,
откуда видно, что хотя бы две абсциссы рассматриваемых точек должны равняться между собой. А это противоречит условию нашей задачи. Следовательно, наше предположение о том, что D = 0, неверно. Итак, D ≠ 0 и, следовательно, всегда существуют числа a, b, c, вычисляемые по формулам (5) [5], при которых график функции (2) [5] – искомая парабола. Задача решена.
Таким образом, квадратичное приближение в рассматриваемых нами задачах возможно всегда. Предлагаем читателям исследовать «вырожденный» случай – когда вместо параболы получается прямая (а = 0).
***
В заключение отметим, что предлагаемый подход активно использует координатный метод. При этом интересно то, что расположение осей координат — нетрадиционно, т. е. отличается от обычного, характерного для учебников по математике, где обычно ось абсцисс направлена вправо, а ось ординат — вверх. Здесь же ось абсцисс направляется вверх, а ось ординат — в одном случае влево (рис. 2), в остальных — вправо (рис. 3–6). Несомненно, этот факт расширяет кругозор учащихся.
Достоинством исследования, проведенного в настоящей статье, является использование метода от противного, причем, не при доказательстве геометрической теоремы, что достаточно обычно для школьной математики, а при решении алгебраической задачи, что является большой редкостью для школьного курса алгебры.
Вообще, настоящий цикл работ, в которых все время говорится о приближении рассматриваемых сосудов «элементарными» формами, есть не что иное, как полноценное исследование, посвященное, говоря языком высшей математики, аппроксимации, т. е. замене одних математических объектов другими — их моделями, которые, с одной стороны, в том или ином смысле близки исходным формам, с другой стороны, гораздо более легкие, а часто, единственно возможные для их приближенных расчетов.
Литература
1. Древности Евразии: сб. статей. Научное издание / отв. ред. , . — М.: ГИМ — МГУ им. , 1997.
2. Межпредметные связи математики, черчения и информатики с историей // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр. / под ред. . — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. — Вып. 13. — С. 82–92.
3. Межпредметные связи математики, черчения и информатики с археологией // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр. / под ред. . — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2009. — Вып. 14. — С. 74–84.
4. Межпредметные связи математики и информатики с археологией (расчет сложных сосудов) // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр. / под ред. . — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2010. — Вып. 15. — С. 41–52.
5. Межпредметные связи математики и информатики с археологией (расчет «грушевидных» сосудов) // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр. / под ред. . — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2011. — Вып. 16. — С. 00–00.
OPTIMIZATION OF CALCULATION OF DIFFICULT VESSELS
T. Kuznetsova
Annotation. The cycle of works on identification of intersubject communications of archeology with mathematics and the informatics, begun in works [2] – [5] comes to the end with the present article. Process of approximation of difficult vessels by "elementary" forms is investigated, various ways of their calculation are compared.
Key words: intersubject communications, mathematics, computer science, archeology, vessels, the form, volume, approximate calculations.
