Лекция № 7

Лекция № 7

Общая топология

Непрерывные отображения компактных пространств, в частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств.

Теорема 1. Непрерывный образ компактного топологического пространства есть компактное топологическое пространство.

Доказательство. Пусть – компактное пространство и – его непрерывное отображение в топологическое пространство . Рассмотрим какое-то покрытие образа открытыми в множествами. Положим . Множества открыты (как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образуют покрытие пространства . Из этого покрытия можно выбрать, в силу компактности , конечное подпокрытие . Тогда соответствующие , где , покрывает весь образ пространства . Теорема доказана.

Теорема 2. Взаимно однозначное и непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм.

Доказательство. Нужно показать, что из условий теоремы вытекает непрерывность обратного отображения . Пусть – замкнутое множество в , и – его образ в . В силу теоремы 1 – компактно, т. е. компакт ( – хаусдорфово!); следовательно (см. теорему 6, лекция № 6) замкнуто в . Таким образом, прообраз при отображении всякого замкнутого множества замкнут. А это и означает непрерывность . Теорема доказана.

Выше шла речь о непрерывных отображениях компакта в хаусдорфово топологическое пространство. Частным случаем таких отображений являются отображения компактов в числовую прямую.

Числовые функции на компактах. Для таких функций сохраняются основные свойства, известные из математического анализа.

Теорема 3. Пусть – компактное пространство, и – непрерывная на нем функция. Тогда ограничена на и достигает на верхней и нижней граней.

Доказательство. Непрерывная функция есть непрерывное отображение в числовую прямую . Образ в в силу общей теоремы 1 компактен. Но, как известно из курса математического анализа, компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено, и потому не только имеет верхнюю и нижнюю грани, но и содержит эти грани. Теорема доказана.

Счетная компактность.

Определение 1. Топологическое пространство называется счетно-компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.

Ранее была доказана теорема: если – компактное топологическое пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку (см. теорему 4, лекция № 6). Отсюда вывод, что всякое компактное пространство счетно-компактно. Но обратное, вообще говоря, не верно.

Теорема 4. Для того, чтобы топологическое пространство было счетно-компактным, необходимо и достаточно выполнение любого из следующих двух условий:

1) Каждое счетное открытое покрытие пространства содержит конечное подпокрытие.

2) Каждая счетная центрированная система замкнутых множеств в имеет непустое пересечение.

Доказательство. Необходимость. Пусть пространство счетно-компактно и – счетная центрированная система замкнутых в множеств. Покажем, что . Пусть . Ясно, что все замкнуты, непусты (в силу центрированности системы множеств ) и образуют невозрастающую систему

.

Ясно также, что . Возможны два случая.

1) Начиная с некоторого номера . Тогда, очевидно, что .

2) Среди имеется бесконечно много попарно различных. При этом достаточно рассмотреть случай, когда все различны между собой. Пусть . Последовательность представляет собой бесконечное множество различных точек из , и (по определению счетной компактности) должна иметь хотя бы одну предельную точку, скажем . Так как содержит все точки , то – предельная точка для множества , и в силу замкнутости . Следовательно

, т. е. .

Так как , т. е. счетная центрированная система замкнутых множеств в счетно-компактном пространстве имеет непустое пересечение. Необходимость условия 2) теоремы доказана.

Достаточность. Пусть теперь справедливо условие 2) теоремы. Покажем, что тогда – счетно-компактно в смысле определения 1. Если это не так, т. е. если содержит бесконечное подмножество , не имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное подмножество , также не имеющее ни одной предельной точки. Но тогда множества образуют, во-первых, центрированную систему, и во-вторых, замкнуты, так как если точка прикосновения множества не принадлежит , то она есть предельная точка, а в каждом нет предельных точек (по предположению!). Но поскольку , мы пришли к противоречию. Достаточность условия 2) для счетной компактности установлена.

Замечание 1. Если множество не имеет предельных точек, то любое подмножество множества также не имеет предельных точек.

Теперь осталось доказать эквивалентность условий 1) и 2). Это выводится непосредственно из соотношений двойственности (см. лекцию № 1, Теория множеств).

Действительно, пусть выполнено условие 1) теоремы: из любого
счетного открытого покрытия пространства можно выделить конечное подпокрытие, и пусть – счетная центрированная система замкнутых в множеств. Множества открыты. Так как – центрирована, то отсюда следует, что никакая конечная система множеств не покрывает всё :

и не пусто.

Но тогда и все не образует покрытия , откуда и следует, что не пусто.

Теперь пусть выполнено условие 2) теоремы: каждая счетная центрированная система замкнутых множеств в имеет непустое пересечение. Докажем тогда, что выполнено условие 1). Действительно, пусть – счетное открытое покрытие пространства . Положив , получим, что , откуда следует, что система замкнутых множеств не центрирована, т. е. существуют такие , что . Но тогда соответствующие открытые множества образуют конечное подпокрытие покрытия . Теорема полностью доказана.

Таким образом, и компактные и счетно-компактные топологические пространства характеризуются «поведением» своих открытых покрытий: и в том и в другом случае из открытого покрытия можно выбрать конечное, но в первом случае речь идет о любых покрытиях, а во втором – только о счетных.

В общем случае из счетной компактности компактность не вытекает, но имеет место

Теорема 5. Для топологических пространств со счетной базой понятие компактности и счетной компактности совпадают.

Доказательство. Действительно, из любого открытого покрытия пространства , имеющего счетную базу, можно выбрать счетное подпокрытие. Если к тому же счетно-компактно, то из этого следует, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, т. е. компактно. Утверждение доказано.

Предкомпактные множества. Множество называется предкомпактным, если его замыкание в компактно.

Компактность в метрических пространствах. Поскольку метрические пространства – частный случай топологических пространств, то все определения и факты, изложенные выше применительно к топологическим пространствам, остаются в силе.

В метрических пространствах компактность тесно связана с понятием полной ограниченности.

Определение 2. Пусть – некоторое множество в метрическом пространстве и – некоторое положительное число. Множество из называется – сетью для , если для любой точки найдется хотя бы одна точка такая, что

.

Множество не обязано содержаться в и может даже не иметь с ни одной общей точки. Однако, имея для некоторую – сеть , можно построить – сеть (т. е. – сеть, состоящую из точек множества ).

Пример 1. Точки с целочисленными координатами образуют на плоскости – сеть.

Пример 2. Точки с рациональными координатами образуют на плоскости – сеть при любом .

Определение 3. Множество из метрического пространства называется вполне ограниченным, если для него при любом существует конечная – сеть (т. е. – сеть, состоящая из конечного числа точек).

Ясно, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено как объединение конечного числа ограниченных множеств. Обратное, вообще говоря, не верно, как показывает пример 4 (см. ниже).

Задача 1. Доказать, что если множество из метрического пространства вполне ограничено, то и его замыкание также вполне ограничено.

Из определения полной ограниченности сразу же следует, что если само метрическое пространство вполне ограничено, то оно сепарабельно. Действительно, построим для каждого натурального в конечную – сеть. Объединение их по всем представляет собой счетное всюду плотное в множество.

Поскольку сепарабельное метрическое пространство имеет счетную базу, то мы получаем, что всякое вполне ограниченное метрическое пространство имеет счетную базу.

Пример 3. В – мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, т. е. с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если разбить этот куб на кубики с ребром , то вершины этих кубиков образуют – сеть в исходном кубе, а значит и в исходном множестве.

Пример 4. Единичная сфера в пространстве дает пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Действительно, рассмотрим в точки

Расстояние между любыми двумя точками и , если , равно . Отсюда видно, что в не может быть конечной – сети ни при каком .

Пример 5. Рассмотрим в пространстве множество

.

Это множество называется основным параллелепипедом («гильбертовым кирпичом») пространства . Множество служит примером бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства этого утверждения поступим следующим образом.

Пусть задано. Выберем так, чтобы . Каждой точке

(1)

из сопоставим точку

(2)

из того же множества . При этом имеем:

Множество точек вида (2) из вполне ограничено как ограниченное множество в – мерном пространстве. Выберем в конечную – сеть. Тогда эта сеть будет – сетью во всем .

Компактность и полная ограниченность.

Теорема 6. Если метрическое пространство счетно-компактно, то оно вполне ограничено.

Доказательство. Предположим, что не вполне ограничено. Это значит, что при некотором в не существует конечной – сети. Возьмем в произвольную точку . Тогда в найдется хотя бы одна точка такая, что , так как в противном случае точка была бы – сетью для . Далее, в найдется такая точка , что и ; иначе пара точек , была бы – сетью. Если точки ,…, уже фиксированы так, что

, если ,

то в найдется точка такая, что

, ,

иначе точки ,…, были бы – сетью в . Продолжая таким образом, мы получим бесконечную последовательность ,…,,…, которая не имеет ни одной предельной точки, поскольку при . Но тогда пространство не счетно-компактно. Теорема доказана.

Итак, для метрических пространств счетная компактность влечет полную ограниченность (т. е. наличие конечной – сети при любом ), а это в свою очередь влечет наличие счетной базы. В силу теоремы 5 отсюда получаем важное

Следствие 1. Всякое счетно-компактное метрическое пространство компактно.

Мы показали, что полная ограниченность есть необходимое условие компактности метрического пространства. Но это условие не достаточно.

Пример 6. Совокупность рациональных точек отрезка [0,1] с обычным определением расстояния между ними есть вполне ограниченное, но не компактное пространство: последовательность точек этого пространства

т. е. последовательность десятичных приближений числа , не имеет в нем предельной точки. Однако имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Для того чтобы метрическое пространство было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было одновременно:

(1)  вполне ограниченным,

(2)  полным.

Доказательство. Необходимость полной ограниченности уже отмечалась. Необходимость полноты очевидна: если – фундаментальная последовательность, не имеющая в предела, то она не имеет в ни одной предельной точки.

Теперь установим достаточность условий (1) и (2) для компактности . В силу следствия 1 теоремы 6 для этого достаточно установить, что – счетно-компактно, т. е. что всякая последовательность точек из имеет хотя бы одну предельную точку.

Построим вокруг каждой из точек, образующих конечную 1 – сеть в , замкнутый шар радиуса 1. Так как эти шары покрывают всё , а число их конечно, то по крайней мере один из них, например , содержит некоторую бесконечную подпоследовательность последовательности . Далее, выберем ½ – сеть в и вокруг каждой из точек этой сети построим замкнутый шар радиуса ½. По крайней мере один из этих шаров, например , содержит бесконечную подпоследовательность последовательности . Продолжая таким образом, найдем замкнутый шар с центром в радиуса ¼, содержащий бесконечную подпоследовательность последовательности , и т. д. Рассмотрим теперь наряду с шарами замкнутые шары с теми же центрами, но в два раза большими радиусами соответственно. Легко убедиться в том, что шары вложены друг в друга, и их радиусы стремятся к нулю при . В силу полноты пространства пересечение их непусто и состоит из одной точки . Эта точка – предельная для исходной последовательности , так как каждая ее окрестность содержит некоторый шар , а значит и бесконечную подпоследовательность последовательности . Теорема доказана.

Предкомпактность в метрических пространствах. Понятие предкомпактности, введенное для подмножеств топологического пространства, применимо, в частности, к подмножествам метрического пространства. При этом очевидно, понятие счетной предкомпактности совпадает здесь с понятием предкомпактности.

Теорема 8. Для того чтобы множество , лежащее в полном метрическом пространстве , было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

Доказательство сразу же следует из теоремы 7 и того очевидного факта, что замкнутое подмножество полного метрического пространства само полно.

Теорема Арцела. Для множеств в конкретных пространствах полезно иметь специальные критерии компактности. В конечномерных пространствах предкомпактность множеств равносильна их ограниченности. Однако для более общих метрических пространств это уже неверно.

Одним из важнейших в функциональном анализе метрических пространств является пространство непрерывных на отрезке функций. Для его подмножеств важный и часто используемый критерий предкомпактности – это теорема Арцела. Необходимо ввести некоторые понятия.

Определение 4. Семейство функций , определенных на некотором отрезке , называется равномерно ограниченным, если существует такое число , что

для всех и всех .

Определение 5. Семейство функций , определенных на некотором отрезке , называется равностепенно непрерывным, если для каждого найдется такое , что

для всех таких, что

и для всех .

Теорема 9 (Арцела). Для того чтобы семейство непрерывных на отрезке функций было предкомпактно в метрическом пространстве , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство. Необходимость. Пусть семейство предкомпактно в . Тогда по теореме 8 для каждого в семействе существует конечная – сеть . Каждая из функций , как непрерывная на отрезке функция, ограничена:

,

Положим . По определению – сети, имеем, что хотя бы для одного

.

Следовательно,

.

Итак, равномерно ограничено.

Далее, так как каждая из функций , образующих конечную – сеть для , непрерывна, а следовательно и равномерно непрерывна на , то для данного существует такое, что

, если .

Положим . Для произвольной функции выберем так, чтобы ; тогда при будем иметь:

Равностепенная непрерывность также доказана.

Достаточность. Пусть – равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций. Согласно теореме 8 мы установим его предкомпактность в , если покажем, что при любом для него в существует конечная – сеть. Пусть

для всех и пусть выбрано так, что

при для всех .

Разобьем отрезок на оси точками на интервалы длины меньше и проведем через эти точки вертикальные прямые. Отрезок на оси разобьем точками на промежутки длины меньше и проведем через точки деления горизонтальные прямые. Таким образом, прямоугольник , разобьется на ячейки с горизонтальной стороной меньше и вертикальной стороной меньше . Сопоставим теперь каждой функции ломаную с вершинами в точках (т. е. в узлах построенной сетки), уклоняющуюся в точках от функции меньше чем на . Существование такой ломаной очевидно.

Поскольку по построению

то

.

Так как между точками и функция линейна, то

для всех .

Пусть теперь – произвольная точка отрезка и – ближайшая к слева из выбранных нами точек деления. Тогда

Следовательно, ломаные по отношению к образуют – сеть. Число их очевидно, конечно. Таким образом, вполне ограничено, а следовательно предкомпактно. Теорема доказана.