При решении примеров будем руководствоваться следующими свойствами чисел:

1)  если последняя цифра числа 0, 1, 5 или 6, то при возведении его в любую натуральную степень последняя цифра не изменится;

2)  заметим также, что 24 = 16, 34 = 81, 74 = 2301.

Рассмотрим решение некоторых примеров рабочей тетради, сюжет №8.

Найдите последнюю цифру выражений:

1) 22002 + 32002 + 72002;

2) 215 ∙ 751;

3) ( 399 + 7199) ∙∙  810;

4) 32003 – 72003;

5) 777777;

Решение.

Преобразуем выражения, выделив в них степени: 24, 34или 74 в зависимости от условия.

1) 2002 = 4  ∙ 500 + 2.

22002 = ( 24)500  ∙ 22

24 оканчивается на 6;

(24)500 оканчивается на 6;

22 = 4;

Выражение22002 = ( 24)500  ∙ 22 оканчивается на 4.

Аналогично, 32002 = (34)500 ∙  32 = (81)500 ∙  9 оканчивается на 9, так как (81)500 оканчивается на 1.

72002 = (74)500 ∙  72  оканчивается на 9, так как (74)500 оканчивается на 1, а 72 = 49.

Последняя цифра выражения равна последней цифре суммы 4 + 9 +9 = 22.

Ответ. Последняя цифра выражения равна 2.

2) 215 ∙  751 = (24)3 ∙  23  ∙ (74)12 ∙  73;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(24)3 оканчивается на 6:

23 = 8;

(74)500 оканчивается на 1;

73оканчивается на 3.

Последняя цифра выражения равна последней цифре произведения 6∙8∙1∙3.

Ответ. Последняя цифра выражения равна 4.

3) ( 399 + 7199)  ∙ 810 = ( (34)24  ∙ 33 + (74)49  ∙ 43)  ∙ (23)10 .

(34)24  оканчивается на 1;

(34)24  ∙ 33 оканчивается на 7;

(74)49 оканчивается на 1;

43 оканчивается на 4;

(74)49  ∙ 43 оканчивается на 4;

Последняя цифра выражения ( (34)24  ∙ 33 + (74)49  ∙ 43) равна последней цифре суммы 7 + 4, то есть равна 1.

(23)10 = (24)7 ∙ 22 оканчивается на 4, так как (24)7 оканчивается на 6, 22 = 4.

Последняя цифра данного выражения равна 1∙ 4 = 4.

Ответ: 4.

4) 32003 – 72003 = (34)500 ∙  33 – (74)500 ∙  73;

34 оканчивается на 1;

(34)500 оканчивается на 1;

33 = 27;

(34)500 ∙  33 оканчивается на 7.

74 оканчивается на 1;

(74)500 оканчивается на 1;

73 оканчивается на 3;

(74)500 ∙  73 оканчивается на 3

Последняя цифра данного выражения равна 7 – 3 = 4.

Ответ: 4.

5) 777777 = (7774)194  ∙ 777;

(7774) оканчивается на 1;

(7774)194  оканчивается на1;

Последняя цифра выражения равна 1∙ 7 = 7. 

Ответ: 7.