5. Виведення рівняння поперечних коливань струни.

Будемо розглядати рівняння

, (5.1)

де - невідома функція, яка залежить від , просторових координат і часу ;

- коефіцієнти, які визначаються властивостями середовища, де відбувається коливальний процес;

- вільний доданок, висловлює інтенсивність зовнішнього збурення.

Рівняння (5.1) відповідно з визначенням операторів div і grad:

можна записати

. (5.2)

Розберемо виведення рівняння (5.1) на прикладі малих поперечних коливань струни. Струною називається натягнута нитка, яка не чинить опір згину.

Нехай в площині струна виконує коливання біля свого положення рівноваги, яка співпадає з віссю . Величину відхилення струни від положення рівноваги в точці у час позначимо через , так що - є рівняння струни у час . Обмежуючись розглядом лише малих коливань струни, будемо нехтувати величинами порядку мализни в порівнянні з

.

Оскільки струна не чинить опору згину, то її натяг в точці у час направлений по дотичній до струни у точці (мал.5.1).

 

0

Мал. 5.1.

Будь яка ділянка струни після відхилення від положення рівноваги у рамках даного приближення не змінює своєї довжини, тобто

Таким чином, відповідно закону Гука, величина натягу буде залишатися постійною, яка не залежить від і , . Позначимо через щільність зовнішніх сил, які діють на струну у точці , а в час направлені перпендикулярно вісі у площині . Нехай позначає лінійну щільність струни в точці , так що приблизно - маса елемента струни .

Складемо рівняння руху струни. На її елемент діє сила натягу , і зовнішня сила, сума яких, згідно законам Ньютона, повинна дорівнювати добутку маси цього елемента на його прискорення. Проектуючи цю векторну рівність на вісі, на основі вище сказаного, будемо мати

(5.3)

Але в рамках нашого наближення

,

тому з (5.3) маємо

,

відкіля при виходить рівність

. (5.4)

Це й є рівняння поперечних коливань струни. При коливання струни називаються вимушеними, а при - вільними.

Якщо щільність стала, , то рівняння коливань струни приймає вигляд

, (5.5)

де - сталі.

Рівняння (5.5) будемо також називати одномірним хвильовим рівнянням.