УДК 519.7
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЫБОРА КРЕДИТНОЙ ПОЛИТИКИ БАНКА
Вычислительный центр им. РАН
Россия, Москва, ул. Вавилова, 40
E-mail: *****@***ru
Ключевые слова: динамические системы, коалиция заемщиков, ставки, депозит, кредит, самофинансирование, общий старт, очередь, неопределенные процентные ставки и цены, сценарии, модели Банка.
Аннотация: В данном материале приводятся результаты анализа поведения активных агентов (Банк, инвесторы и заёмщики) для нескольких схем кредитования проектов. Основными показателями выступают конечные выигрыши участников операции, ставки самофинансирования для заёмщиков и начальный капитал Банка, обеспечивающий неотрицательность кассы Банка в ипотечном проекте. Отмечается, что Проект Коалиции заемщиков, как проект банка, может быть принят за основу масштабного эксперимента по внедрению программы ипотечного кредитования выгодной как для населения, так и для кредитных организаций
1. Введение
В работах Отдела ИВС ВЦ РАН по анализу проблем ипотечного кредитования, представленных на серии Конференций ИПУ РАН (Масштаб, ТАС, ВСПУ), ИО, Экомод рассматривались задачи разработки инструментария для принятия решений о выборе рациональных схем кредитной политики банков. Хотя предметом исследований являлись ипотечные контракты, выводы имеют общий характер.
Ипотека – это ссуда, обеспеченная реальной собственностью, такой как недвижимость и земля. На рынке жилищных ипотек заемщик вступает в контакт с ипотечным кредитором, чтобы получить ссуду. Если стороны приходят к соглашению, то подписывается документ, согласно которому кредитор осуществляет финансирование потребностей заемщика (средств на покупку или строительства жилья), а заёмщик обязуется возвратить ссуду вместе с процентами в соответствии с некоторым графиком платежей, отвечая по обязательствам заложенным имуществом. Этот документ и учреждает ипотеку [1, стр. 443]. Берущий ссуду называется заемщиком в ипотечном кредите, а дающий – кредитором в ипотечном кредите.
Коалиции инвесторов. (Банковская ипотека)
Следуя [1, 420 стр.], дадим краткое описание опыта США по объединению ресурсов кредиторов.
Ипотечный рынок – это яркий пример финансовой инженерии в действии. В течение многих десятилетий по установившейся практике держателями ипотечных долговых обязательств до истечения их срока были те учреждения, которые их выпускали. Ипотечное кредитование было просто рутинной процедурой. Используя депозиты клиентов в качестве главного источника финансирования, банки и сберегательные учреждения предоставляли ипотечные кредиты, которые затем размещали в своих портфелях. Эти ипотеки обслуживались учреждением, предоставившим ипотечный кредит, и это учреждение владело ипотеками до окончания их срока. Так как финансы этого учреждения были связаны уже существующими ипотечными кредитами, оно не могло предоставить дополнительные ипотечные кредиты до тех пор, пока либо не соберет достаточные возвратные платежи от существующих заемщиков, либо не привлечет дополнительные депозиты.
Однако в течение последних десятилетий обычной практикой стало объединение ипотечных долговых обязательств в пул и выпуск ценных бумаг. Пытаясь обеспечить дополнительную ликвидность вторичному ипотечному рынку, Конгресс спонсировал создание нескольких организаций, последней из которых была Правительственная национальная ипотечная организация (Government National Mortgage Association (GNMA)). С 1970 г. GNMA обеспечивает механизм объединения ипотек в пулы и гарантии ипотечных кредитов.
Процесс объединения в пулы и создание переходных сертификатов вывели институт ипотеки на новый уровень. Они способствовали трансформации вялого ипотечного рынка обслуживания ипотечных кредитов в активного конкурента на рынке капиталов. Сейчас установился порядок, когда банки и сберегательные учреждения предоставляют ипотечные кредиты, объединяют их в пулы и распродают эти пулы (либо сохраняя права на сервисное обслуживание за собой, либо продавая их другому учреждению). Хотя сами по себе пулы могут быть очень большими, переходные сертификаты могут продаваться в мелких деноминациях. Поэтому они рассчитаны на частных инвесторов.
Изначально держатели переходных сертификатов столкнулись с серьезной проблемой риска досрочной оплаты. Эти досрочные платежи затем доходят до владельцев переходных сертификатов, которые вынуждены реинвестировать средства. Кроме того, инвесторы в ипотечные пулы подвергаются повышенному риску реинвестирования по сравнению с держателями купонных облигаций, поскольку выплаты, которые они получают по сертификатам, включают в себя как проценты по кредитам, так и амортизацию их основной суммы, и поэтому, больше купонных выплат. В 1983 г., пытаясь справиться с этими проблемами, инвестиционные банки во главе с First Boston Corporation и Solomon Brothers разработали облигации, обеспеченные пулом ипотек, "Collateralized mortgage obligations" (СМО). Их технология такова. Инвестиционный банк покупает переходные сертификаты (или целую «ипотеку»), а затем выпускает специальные облигации, которые обеспечены ипотеками. Эти облигации подразделяются на определенные группы, называемые траншами. Денежные потоки от ипотек распределяются по траншам таким образом, чтобы сформировать первый транш с достаточно коротким сроком до погашения, второй – немного большим, третий – ещё большим и т. д. НТаким образом, долгосрочный инструмент – ипотека или переходной сертификат – используется для создания серии отдельных инструментов, траншей, которые имеют короткие, средние и долгие сроки до погашения. Инвестор может выбрать транши со сроками погашения, наиболее точно отражающими его интересы.
Это теоретико-игровая модель или модель теории активных систем.
Securitisation model Модель секьюритизации
Monthly Payments, Monthly Payments, Cash, Securities, Monthly Payments Ежемесячный платёж, Денежные средства, Ценные бумаги Servicer, Investor Обслуживающий институт, Инвестор | Securitisation model Модель секьюритизации Mortgage Broker, Credit Rating Agencies Ипотечный брокер, Кредитные рейтинговые агентства Borrower, Loan, Lender, Loan Contract, Cash, Investment Bank Заёмщик, Ссуда (заем, кредит), Кредитор, Кредитный договор, Денежные средства, Инвестиционный Банк |
Коалиции заемщиков (небанковская ипотека).
Коль скоро возникают коалиции инвесторов, естественно формирование коалиций заёмщиков. Такая форма пулов имеет в своей истории широкое распространение в Англии в форме строительных обществ и в Германии в форме ссудно-сберегательных касс.
В работе [2, стр.86] принципы организации небанковской ипотеки иллюстрируются на двух примерах.
В первом примере (его можно назвать «общий старт») рассматривается случай, когда 10 человек хотят приобрести жилье в собственность и объединяются в общество. Каждый из них может в год откладывать по 100 условных денежных единиц на покупку квартиры, которая стоит 1000. Таким образом, каждый в отдельности должен копить на квартиру в течение 10 лет. Если же участники объединяются, то, начиная с первого года, можно ежегодно покупать по квартире. Среднее время ожидания покупки уменьшается с 10 до 5.5 лет. «Справедливая» очередность может быть установлена, например, с помощью жребия. Схема несколько напоминает популярные в СССР кассы взаимопомощи на предприятиях и организациях. Однако она обладает заметным недостатком: условия приобретения жилья участниками, так или иначе, оказываются существенно неравными: если некоторый, оказавшийся первым участник может получить квартиру через год, то последнему приходится ждать 10 лет; если первый может получить ссуду в 900 единиц накопив всего 100, то девятый должен накапливать 900, чтобы получить в кредит недостающие 100 единиц.
Второй пример с "перманентной" схемой взаимного кредитования, в какой-то мере этот недостаток, устраняет. В этом примере число участников не ограничено, ежегодно к первым 10 участникам добавляется 10 новых, время существования общества также не ограничено. Жилье для участников приобретается в порядке очередности вступления. Полностью выплатив его стоимость, участник выходит из коалиции. Функционирование общества протекает в два этапа. Первые 10 лет существования общества его члены находятся в неравных условиях. Первый участник получает ссуду на приобретение жилья через год в размере 90% от его стоимости. Десятому участнику квартира приобретается через 4 года, и размер его ссуды составляет 60% от её стоимости (за 4 года участник накапливает 400 денежных единиц, что составляет 40% от стоимости жилья). Начиная с 11-го года существования общества, условия для участников выравниваются. Общее число его членов перестает увеличиваться, поскольку ежегодно туда вступает, и одновременно выходят из него 10 участников, полностью выплативших стоимость своего жилья. Число членов общества, для которых недвижимость ещё не приобретена (45 человек), становится после 10-го года величиной постоянной и определяет одинаковый для всех новых участников срок ожидания (ежегодные поступления, начиная с 10-го года, составляют 10 000 денежных единиц, что соответствует приобретению ежегодно 10-ти единиц жилья; таким образом, для 55 участников оно будет приобретено за 5 лет, но с учетом того, что платежи в рассматриваемом примере вносятся до конца календарного года, – за 6 лет). Размер ссуды, получаемой участниками, составит 40% от стоимости жилья (за 6 лет они накапливают по 600 денежных единиц).
Данная схема, как и первая, предполагает наличие двух периодов членства в обществе: накопления и кредитования. В течение периода накопления участник регулярно делает в кассу общества равные денежные взносы; затем ему предоставляется ссуда на оставшуюся до стоимости жилья сумму, которую он выплачивает такими же по величине взносами. Однако и данная схема имеет ряд слабых мест: неодинаковость периодов ожидания и затрат на приобретение жилья для первых участников; случайность выбора, кто получает ссуду первым; необходимость постоянно привлекать в систему новых участников. Предлагаются некоторые приемы для преодоления этих недостатков.
Существуют и «смешанные» системы кредитования, как модификации «чистых» схем банковской и небанковской ипотеки. На практике используются различные варианты симбиоза, что определяется различиями в финансовых секторах отдельных стран, историческими особенностями развития национальных экономик и их структурой.
В рассмотренных весьма упрощенных примерах небанковской ипотеки внутренние процентные ставки можно установить на любом уровне, поскольку система не зависит от внешних к ней рынков капитала. Однако высокая инфляция влияет на системы такого рода в силу удорожание жилья в течение периода накопления (ожидания ссуды).
Особенно наглядно выглядит пример объединения двух участников при наличии третьего инвестора в виде Банка.
Во всем мире технология инвестирования в жилищную сферу строится на трех основных принципах: контрактные сбережения, ипотечное кредитование, государственная поддержка. Конкретные механизмы реализации этих принципов могут весьма отличаться.
2. Моделирование ипотечных механизмов.
Организация коалиции, расчёты
2.1. Основные соотношения модели
Операции участника коалиции
Пусть участник вступает в коалицию в момент времени 
. В моменты времени 
участник 
делает взносы на счета в коалицию в размере 
, которые размещаются на его личном субсчете и на текущую сумму которых 
коалицией начисляются проценты по ставке 
. В момент времени 
вклад 
возвращается участнику . В момент времени участник получает от коалиции кредит в размере 
на срок до момента времени 
, по которому в моменты времени 
производит текущие выплаты в размере 
. В тот же момент времени участник приобретает актив по цене 
, который поступает в его пользование, но остается в залоге у коалиции вплоть до полной выплаты кредита в момент времени . Кредитные выплаты участников 
определяются размерами заимствований и кредитными ставками 
, а также схемой погашения кредита. При этом – это специальная внутренняя ставка, установленная коалицией для его участника согласно условиям договора. Ее размер может определяться либо в момент подписания договора, либо по прописанной в договоре схеме, учитывающей рыночную конъюнктуру в момент получения кредит, например, как функцию от текущей ставки рефинансирования. Невыплаченную сумму кредита участника в произвольный момент 
после получения кредита обозначим 
. Вклады участников на счета коалиции будем называть внутренними депозитами, а выданные коалицией кредиты участникам – внутренними кредитами.
Динамика внутренних депозитов:
, 
, 
, 
,
, 
.
Динамика внутренних кредитов:
, 
, 
, 
,
, 
, 
., 
, 
.
Некоторые частные соотношения для участника коалиции
Данными соотношениями мы будем пользоваться при проведении вычислительных экспериментов.
Депозитный период:
, , , 
,
Накопительный вклад участника состоит из обязательного вклада 
и дополнительного платежа 
, который является выбором участника.
.
В дальнейшем мы будем использовать следующие соотношения:
, 
,
Здесь 
– прогнозная цена актива для участника может, например, рассчитываться как 
, где 
Момент времени получения участником кредита
.
Число накопительных платежей участника можно записать как 
.
Кредитный период:
, 
, 
, ,
Кредитный платеж 
участника состоит из обязательного платежа по погашению кредита 
и дополнительной выплаты 
, размер которой является выбором участника.
, 
, 
, 
– число обязательных кредитных выплат участника.
Момент погашения участником кредита: 
.
Число кредитных выплат участника есть 
. Отметим, что оно не превосходит число обязательных кредитных выплат участника, т. е. 
.
Способы организации коалиции
Организация коалиции по принципу очереди: 
, 
Организация коалиции по принципу общего старта: 
,
Потоки денежных средств от операций участников коалиции
Поток накопительных платежей участника
, , 
, 
, , 
.
Поток изъятий накопленных участником денежных средств
, 
, 
, 
, , 
.
Поток процентов по накоплениям участника
, 
, 
, 
, 
, .
Поток выданных кредитов участнику коалиции
, , 
, , , 
, 
.
Поток платежей участника по погашению кредита
, 
, 
, , , 
.
Поток процентов по кредиту участника 
, ,
, 
, , 
.
Суммарные потоки по операциям участников коалиции
, 
, 
, 
, 
, 
.
Приток и отток денежных средств по операциям коалиции с участниками в момент времени : 
, 
.
Суммарный поток денежных средств 
по операциям коалиции с участниками в момент времени определяется как приток минус отток
.
Внешние депозиты
Пусть 
– объем денежных средств, размещенных на внешнем депозите в момент времени 
. Данное вложение осуществляется на срок 
по ставке 
. Процентная ставка фиксируется на весь срок вложений. В моменты времени 
коалиции возвращаются денежные средства в размере 
.
Внешние вложения в момент времени вместе с начисленными на эти средства процентами к произвольному моменту времени обозначаются 
.
Динамика этой переменной характеризуется следующими соотношениями:
, 
, 
,
, 
,
, 
Поступления с внешнего депозита в момент времени
, 
, 
, 
,
, 
Проценты по внешним вложениям в момент времени
, , 
, ,
, .
Внешние кредиты
Описание внешних кредитов аналогично описанию внешних депозитов.
Размер внешних заимствований в момент времени обозначается 
. Процентная ставка 
фиксируется в момент времени на весь срок заимствований 
. В моменты времени 
коалиция осуществляет возвраты денежных средств в размере 
.
Остаток основной суммы внешнего кредита в произвольный момент времени обозначается как 
. Динамика этой переменной: 
, 
, 
,
, 
,
, 
.
Платежи коалиции по внешнему кредиту в момент времени : 
,
, 
, , 
.
Проценты по внешнему кредиту в момент времени : 
, ,
, 
, , 
.
Суммарные потоки денежных средств по внешним операциям коалиции
Суммарные поступления с внешних депозитов в момент времени :
, 
, 
.
Суммарные платежи коалиции по всем внешним кредитам в момент времени :
, 
, .
Суммарные проценты по внешним вложениям в момент времени :
, 
, .
Суммарные проценты по внешним кредитам в момент времени :
, 
, .
Касса коалиции, активы, обязательства и собственный капитал
Касса коалиции в момент времени характеризуется переменной 
. Предполагается, что начальный капитал коалиции равен нулю. Обозначим через 
момент времени, когда последний участник коалиции полностью погашает кредит, а 
– момент окончания функционирования коалиции
, 
.
Динамика кассы описывается следующими соотношениями:
, 
.,
.
Активы коалиции в момент времени обозначаются через 
. Динамика этой переменной описывается следующими соотношениями:
, ,
.
Обязательства коалиции в момент времени обозначаются через 
.
, ,
.
Собственный капитал коалиции в конце операционного периода обозначается через 
. Динамика собственного капитала
, , 
.
Выбор внешних вложений и заимствований
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
Случай одношаговых внешних вложений и заимствований
, 
, 
, , , ,
, 
,
, , 
, 
, , 
.
, , , ,
, , 
, , , .
, 
, 
, ,
, ,
, 
, , , 
, ,
Касса коалиции
, ,
Активы коалиции
, ,
Обязательства коалиции
,
, .
Собственный капитал коалиции в конце операционного периода обозначается .
Динамика собственного капитала
, , .
Выбор внешних вложений и заимствований.
,
,
, 
,
, 
,
Определим 
– значение кассы до решения о внешних вложениях и заимствованиях
, 
, 
, , где
, 
, 
, если 
и 
, если 
.
2.2 Самофинансирование
Здесь эффект самофинансирования определяется выполнением всех обязательств перед заемщиками и равенством нулю значение кассы Коалиции 
в конечный момент времени.
Характерный вид зависимости 
при увеличении числа заёмщиков - асимптотическое стремление (уменьшение) к некоторому предельному значению
Определение и свойства. 
Свойства: Существование и единственность.
Пусть 
, 
, тогда существует единственное значение , 
. Причем, если 
, то 
. Здесь 
.
Зависимость ставки самофинансирования в процентах (rate self per) коалиции 
от числа участников 
. 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Рис. 1. Зависимость ставки самофинансирования в процентах (rate self per) коалиции от числа участников .
2.3. Масштабирование
Данные исследование явились следствием поиска решения вопроса об оценке необходимого увеличения числа заёмщиков, привлекаемых в ипотечную программу с пониженной ставкой кредитования, для того чтобы восполнить потери Банка от пониженной ставки.
Определение и свойства. Вначале рассмотрим случай, когда происходит увеличение числа участников при объединении 
, 
одинаковых коалиций:
, 
, 
, 
.
Символ 1 указывает на некоторую избранную базовую очередь.
Пусть 
, где 
– значение 
, рассчитанное при 
.
Рассмотрим 
как функцию . Легко видеть, что 
убывает с ростом и стремится к при неограниченном увеличении , 
.
Зависимость пороговой ставки в процентах (rate threshold per) 
от размера масштаба (scale) .
, , 
, , , , , ,
Рис. 2. Зависимость пороговой ставки в процентах (rate threshold per) от размера масштаба (scale) .
Замечание. Зависимость пороговой ставки в процентах (rate threshold per) от числа участников соответствует зависимости от числа участников .
2.4. Полное самофинансирование
Определение и свойства. 
Существование
Если 
, то существует единственное значение 
.
Вычислительные эксперименты
Зависимость процентной ставки полного самофинансирования (rate air per) 
от числа участников
, , , , , , ,
Рис. 3. Зависимость процентной ставки полного самофинансирования (rate air per) от числа участников .
2.5. Достаточный начальный капитал с заимствованиями
,
Значения заданных параметров:
, , 
, , , , ,
Рис. 4. Зависимость достаточного начального капитала (incash self) 
при наличии заимствования от числа участников коалиции
и при разных 
.
2.6. Достаточный начальный капитал (incash air) без займов
,
Значения заданных параметров:
, , 
, , , ,
Зависимость достаточного начального капитала 
от числа участников коалиции в случае отсутствия внешних заимствований
Рис. 5. Зависимость достаточного начального капитала от числа участников коалиции в случае отсутствия внешних заимствований и при разных .
2.6. Внутренняя ставка дохода IRR
Определим внутреннюю ставку дохода в виде:
Приведём результаты вычислительных экспериментов.
Значения заданных параметров:
, , , , , ,
Зависимость IRR в процентах (IRR per) 
от числа участников коалициипри разных 
Рис. 6. Зависимость IRR в процентах (IRR per) от числа участников коалиции и и при разных .
Замечание. Характерно возрастание IRR при росте числа участников коалиции.
3. Заключение
Представленный материал содержит, во-первых, описание модели Банка для нескольких проектов формирования кредитной политики и, во-вторых, некоторые избранные результаты вычислительных экспериментов с принятой моделью. Представляют интерес приведенные особенности поведения показателей, которые могут иметь общий качественный характер для произвольных кредитных политик, при рассмотрении возможных путей перехода от отдельных числовых примеров к общим теоретическим утверждениям.
Список литературы
1. , Ерешко ипотечных механизмов с самофинансированием // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2007. 60с.
2. , Сытов задача выбора кредитной политики банка. // Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD’2012): Труды Шестой международной конференции (ежегодный сборник) (1-3 октября 2012 г., Москва, Россия). Том I. М.: Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. РАН, 2012. С. 141-151.
3. Сытов эксперименты с общей финансовой моделью жилищной коалиции Вторая международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". MLSD’2008. Доклады. ИПУ РАН, 1-3 октября 2008г. т.1 С.136-138.
4. Ерешко Арт. Ф. О проблеме генерации сценариев при выборе стратегий в задаче организации коалиции заемщиков // Материалы Третьей международной конференции “Управление развитием крупномасштабных систем”. М.: ИПУ РАН, 2009.
5. , , Сытов реализации программы ипотечного кредитования. Четвёртая международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". Доклады. ИПУ РАН, 2-4 октября 2010г. т.1
6. , Сытов анализ банковских технологий в проектах ипотеки. // Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD’2011): Программа и пленарные доклады Пятой международной конференции (3-5 октября 2011 г., Москва, Россия). М.: Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. РАН, 2011. С. 162-171.
