3.5. Вычислительная схема фильтра Калмана
Итак, рассматривается динамический объект, состояние которого описывается стохастическим линейным разностным уравнением (3.13):
. (3.13.1)
В дискретные моменты времени производятся измерения (3.17)
. (3.17.1)
Эти измерения обрабатываются следующим образом. На момент времени 
(
) вычисляется экстраполированная оценка по формуле (3.15):
и ковариационная матрица погрешности этой оценки по формуле (3.16):
.
Обработка первого наблюдения 
позволяет уточнить оценку вектора состояния объекта и ковариационную матрицу её погрешности:
,
,
где
.
Затем эта оценка и ковариационная матрица экстраполируются на момент фиксации следующего измерения.
Пусть после обработки первых 
измерений получены оценка вектора состояния объекта и её ковариационная матрица: 
, 
. Сначала проводится экстраполяция на момент времени получения очередного наблюдения:
,
, (3.22)
а затем – уточнение их с помощью очередного измерения 
:
,
=
, (3.23)
.
Нетрудно заметить, что от измерений зависят только оценки 
и как следствие, 
, 
. Это обстоятельство позволяет заранее вычислить матрицы 
, 
и 
. Иначе говоря, имеется возможность предварительно вычислить и запомнить точностные характеристики оценок вектора состояния объекта, а сами оценки вычислять по мере поступления измерений.
В случае, когда динамика объекта отсутствует, то есть в уравнении динамики (3.14) 
, 
, вектор состояния объекта не меняется со временем, уравнения фильтра Калмана сводятся к уравнениям рекуррентного метода наименьших квадратов (2.30) – (2.32).
3.6.Линеаризованный фильтр Калмана.
(Экало, Вальковский)
Ранее была рассмотрена фильтрация в случае, когда уравнение динамики объекта и уравнение измерения являются линейными. Однако на практике чаще всего динамика объекта и (или) уравнение наблюдения являются нелинейными. В этом случае выход из положения видится в линеаризации уравнений в окрестностях оценок вектора состояния.
Пусть уравнение динамики объекта и (или) процесс измерений описываются следующими нелинейными уравнениями:
, 
. (7.1)
Уравнение измерений также нелинейно:
, 
.
Пусть известна начальная оценка вектора состояния объекта 
и ковариационная матрица 
.
Сначала рассмотрим случай, когда известна некая номинальная (расчётная) траектория наблюдаемого динамического объекта 
, 
, удовлетворяющая уравнению динамики:
. (7.2)
Тогда в уравнении динамики (7.1) векторную функцию 
можно разложить в ряд в окрестности значений этой траектории:
. (7.3)
Введём обозначение: 
.
Оставляя в разложении (7.3) члены, не выше линейного и подставляя это разложение в (7.1), получаем уравнение динамики:
или с учётом (7.2),
.
Введём обозначение:
. (7.4)
Тогда уравнение динамики объекта приобретает вид:
,
то есть является линейным относительно 
.
Если уравнение измерений является нелинейным, то есть имеет вид
, 
,
то функцию 
следует разложить в ряд в окрестности значений опорной траектории (оценок) 
:
. (7.4)
Оставляя в этом разложении члены, не выше линейного, и введя обозначение:
,
получаем линеаризованное уравнение измерений:
.
Обозначим
. (7.5)
Тогда уравнение измерения можно записать в виде: 
, то есть оно является линейным.
Теперь можно построить линейный фильтр Калмана:
,
;
,
,
где
.
Из (7.4) следует, что 
, 
. Тогда соотношения для экстраполированной оценки принимает вид:
.
Поскольку
,
,
получаем, что с точностью до линейных членов разложения
.
Для оценки фильтрации с учётом (7.5) имеем:
.
Поскольку
,
получаем, что с точностью до линейных членов разложения
.
Как видно из этих соотношений, ковариационные матрицы и коэффициенты передачи фильтра могут быть вычислены заранее, так как они не зависят от полученных измерений и оценок вектора состояния объекта.
Если нет надёжной опорной траектории, то разложения (7.3), (7.4) приходится проводить в окрестностях оценок векторов состояния объекта, вычисленных фильтром:
, 
.
В этом случае ковариационные матрицы и коэффициенты усиления фильтра приходится вычислять на каждом шаге обработки.
Этот файл можно отправлять студентам.
