Упругие свойства изотропных материалов

РАБОТА 2

. УПРУГИЕ СВОЙСТВА ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

П. ИСПЫТАНИЕ НА КРУЧЕНИЕ

Цель работы . Определение модуля сдвига, построение диаграммы ~ , определение величин главных деформаций в круглом образце.

Общие сведения. Сопротивление материала сдвигу исследуется в опытах на кручение тонкостенной трубки, в которых устанавливается зависимость между касательными напряжениями и сдвигом. Если к торцевым плоскостям трубки (рис.1) приложены силы, приводящиеся к моменту, вектор которого направлен по оси трубки и который называется крутящим моментом, то на некотором расстоянии от торцов в материале

Рис.1

Возникает однородное напряженное состояние сдвига. В действительности напряжения меняются по толщине трубки, но когда этим изменением можно пренебречь. Напряженное состояние трубчатого образца. Для определения внутренних сил проведем мысленно сечение перпендикулярное к оси трубы, и, отбросив одну часть ее, рассмотрим равновесие оставшейся части. Так как на оставшемся торце внешние силы приводятся к крутящему моменту, то и внутренние силы в сечении должны приводиться к моменту той же величины с вектором, направленным по оси трубы. Такой момент может быть создан напряжениями, векторы которых лежат в плоскости поперечного сечения и направлены по касательным к окружностям с общим центром на оси трубы, т. е. касательными напряжениями.

Найдем приближенное решение задачи теории упругости о равновесии тонкой трубки. В цилиндрической системе координат (рис.2)

(1)

напряженно-деформированное состояние определим в виде

(2)

Компоненты напряжений и деформаций в (2) определены в ортонормированном локальном базисе цилиндрической системы координат

; R. (3)

Вследствие малости толщины трубы пренебрежем изменением напряжения и деформации по толщине трубы

. (4)

Такое напряженно-деформированное состояние удовлетворяет приближенно уравнениям равновесия, точно — уравнениям совместности и граничным условиям на боковой поверхности трубы. Граничные условия на торцах , являющихся границей расчетной части трубы, удовлетворим в интегральном смысле

(5)

где - внешний крутящий момент.

Для вычисления используем условие (5). Площадь сечения трубы равна , так что момент внутренних сил относительно оси равен приближенно .

Приравнивая его заданному внешнему крутящему моменту, получим

, (6)

где - полярный момент инерции сечения.

Кручение круглого образца. В случае кручения стержня сплошного круглого сечения (или в форме толстостенной трубы) предположение о равномерном распределении напряжений по радиусу неприменимо. В поперечном сечении такого образца возникают касательные напряжения , распределенные линейно по радиусу достигающие наибольшего значения на боковой поверхности образца. По закону парности наряду с касательными напряжениями в поперечном сечении будут существовать такие же напряжения в осевом сечении образца (рис.3).

Рис. 3

Напряжения и деформации при кручении сплошного круглого образца ищем в виде

,

(7)

Коэффициенты зависят от крутящего момента и модуля сдвига .

Из условия (5) имеем

(8)

Из закона Гука и выражений (7) следует, что, поэтому

(9)

Величина полярный момент инерции поперечного сечения сплошного цилиндрического образца. Из (9) и (7) получаем

, . (10)

Элемент цилиндрической поверхности ABCD (рис.4) находится в состоянии простого сдвига; его стороны AB и CD до деформации были. параллельны оси цилиндра, возникающая деформация характеризуется относительным сдвигом так как , то но есть относительный угол закручивания (крутка), т. е. угол поворота поперечных сечений, отстоящих друг относительно друга на единицу длины. Поэтому

(11)

Рис. 4

Для трубчатого образца

(12)

Сравнение формул (7) и (11) показывает», что

,поэтому (9) можно записать в виде

(13)

Величина называется жесткостью при кручении. Для стали , для меди для алюминия .

Модуль сдвига можно определить по формуле

, (14)

так как при однородном вдоль оси закручивании.

Определение главных нормальных напряжений. При кручении бруса в поперечных сечениях его возникают только касательные напряжения (рис.3). На

Рис. 5 и 6 изображен бесконечно малый квадратный элемент поверхности трубы.

В локальной системе координат (ось направлена вдоль вектора , ось вдоль вектора локального базиса) тензоры напряжений и деформаций имеют следующие компоненты, отличные от нуля:

.

Рис. 5

В системе координат повернутой относительно системы на угол ,компоненты

Тензора напряжений имеют вид

, , , , , (15)

или

, ,

,

Аналогично для тензора деформаций

, ,

, .

Если угол равен 45, то

, , , , (16)

а остальные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны 0.

Давая различные значения углу можно определить нормальные и касательные напряжения на любой из семейства площадок, перпендикулярных к плоскости чертежа. Экстремальные значения равны

при ,

при (17)

По площадкам, наклоненным под углом. 45° к граням элемента, действуют только главные напряжения, численно равные касательному напряжению . Причем на одной паре граней эти напряжения являются растягивающими а на другой – сжимающими . Касательные напряжения на этих площадках равны нулю (рис.6). Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным осям (рис.6).

Аналогично максимальные удлинения (сжатия) волокон достигаются в случае, когда они направлены под углом к оси По величине эти главные удлинения равны деформации сдвига Поскольку, то главные напряжения и деформации равны

, (18)

Порядок проведения работы. Опыт на кручение проводится на машине кинематического типа (см. введение). Образец круглого поперечного сечения закреплен в захватах машины на кручение. Углы поворота сечений определяются двумя зеркальными приборами, находящимися на расстоянии (рис.7). Для определения главных деформаций на поверхности образца наклеены два проволочных датчика (рис.7). Их показания обозначим С. Исходные данные записываются в табл.1. Предварительно дается начальный момент (50 Нм для стали) и делаются первые отсчеты по всем приборам. Далее даются одинаковые приращения крутящего момента и после каждого нагружения снимаются показания приборов. По окончании процесса нагружения образец разгружается до и делаются контрольные отсчеты, которые при удовлетворительном проведении опыта должны совпадать с первоначальными. Данные опытов записываются в табл.1.

Таблица I

Материал — . Диаметр образца = Полярный момент инерции сечения для сплошного цилиндра и для трубчатого образца. Расчетная длина. Модуль Юнга'. Коэффициент Пуассона. Тарировочный коэффициент определяется в работе I. Расстояние от зеркала до шкалы

NN п/п	Крутящий момент	Показания зеркального прибора	Показания датчиков
Левое зеркало	Правое зеркало
1	500
2	1000
3	1500
……	……

В таблице I показания левого зеркального прибора обозначены , правого .

По значению величин и находится значение угла закручивания сечения I относительно сечения II, соответствующее приращению момента

(19)

По углу закручивания сечения II относительно сечения I находится крутка по формуле и деформация сдвига по формуле (11). По формуле (10) находится касательное напряжение .

В результате строится зависимость. Модуль сдвига определяется по построенной экспериментальной зависимости . методом наименьших квадратов (см. работу I). Его надо сравнить со значением, вычисленным по формуле

(20)

Определив значение, умножив его на тарировочный коэффициент получим величину деформации волокна, расположенного под углом 45° к образующей,

(21)

Ее надо сравнить с величиной деформации сдвига . Их значения должны совпадать.

Литература

1. , Ленский B. C. Сопротивление материалов. М.:Физматгиз, 1959.

2. Грязнов. И.М., Ленский B. C., , Скорый практикум по сопротивлению материалов деформированию. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961.