Тема: Степенева функція

Тема: Степенева функція.

ТЕМА: СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ.

Мета уроку: Розширення поняття степеня; формування поняття степеня з раціональним показником та його властивостей.

Познайомити учнів з степеневою функцією, її властивостями, графіком.

План.

1. Розширення поняття степеня. Означення степеня

з раціональнім показником.

2. Задачі, які приводять до степеневої функції.

Історична довідка.

3. Властивості степеня з раціональним показником.

4. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником.

5. Означення і приклади степеневої функції.

1. Розширення поняття степеня.

Означення степеня з раціональнім показником.

Актуалізація опорних знань.

Повторити за таблицею поняття степеня з натуральним показником, з цілим показником.

Показник степеня може бути і дробом. Нам відомо, що ; .

Розширимо поняття степеня і введемо ще одне означення степеня.

Означення степеня з раціональнім показником.

Означення. Степенем числа а>0 з раціональним показником , де

mÎZ; nÎN; (n>1) називається число .

=.

Наприклад. Подати вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

; ; ; для додатних r.

Вираз не мають змісту.

2. Задачі, які приводять до степеневої функції.

Задача 1.

Висота звука визначається його частотою. Вухо людини здатне сприймати звуки з частотою від 16 до 20 000гц. Відомо, що частота ноти «ля» першої октави – 440гц. Ця частота перевіряється по камертону, і по ній йде настройка піаніно.

Знайти частоти інших нот октави, якщо послідуюча від попередньої відрізняються в

.

Розв’язування. Частоти інших нот пов’язані співвідношенням .

.

Частота ноти «до» .

Частота ноти «ре» .

Частота ноти «мі» .

Частота ноти «фа» .

Частота ноти «соль» .

Частота ноти «ля» .

Частота ноти «сі» .

Частота ноти «до» .

Мета розв’язування не отримати частоти нот, а зрозуміти механізм обчислення за допомогою степеня з дробовим показником.

Нам відомі формули, які містять степені, наприклад:

- - температура чайника, який стине в момент t.

- - відстань плани до Сонця .

2. Історична довідка.

Доповідь учня про виникнення степеня з дробовим показником.

Портрети вчених.

Понятие степени возникло в древности в связи с вычислением площади квадрата и объема куба. Сохранились таблицы квадратов и кубов, составленные около 1700 г. до н. э. в древнем Вавилоне.

Современные названия предложил голландский ученый Симон Стевин (), который обозначил степени в виде чисел, изображенных в круге. Он начал систематически использовать дробные показатели степени для обозначения корней.

Иранский математик и астроном ал-Каши, который работал в Самарканде в обсерватории известного узбекского астронома Улугбека (13, сформулировал правила bⁿ · bª= bⁿˉª и bⁿ׃ bª = bⁿˉª. Ал-Каши умел сводить к общему показателю произведения радикалов и словесно сформулировал правила

ⁿ√b·ª√c=ⁿª√bª·ⁿª√cⁿ=ⁿª√bªcⁿ. Он также описал общий способ извлечения корней из целых чисел.

Название «радикал» происходит от латинских слов radix – корень и radicalis – коренной. В 1525г. в книге чешского математика Христофа Рудольфа (15«Быстрый и красивый счет с помощью искусных правил алгебры» появилось обозначение √ для знака квадратного корня.

Современное обозначение корня впервые появилось в книге французского философа, математика и физика Рене Декарта (15«Геометрия», изданной в 1637г.

Степени с отрицательными показателями ввел шотландский математик Уильямс Уоллес (17

Дробные показатели степени и простейшие правила действий над степенями с дробными показателями описаны еще в 14в. В работах французского математика Никола Орема (13, который применял также иррациональные показатели степени.

Дальнейшую разработку Орема осуществил французский математик Никола Шюке (). Его рукописная работа «Наука о числах в трех частях» содержала правила вычислений с рациональными числами, иррациональными корнями, а также учение об уравнениях.

Пьер Ферма (16в середине 17в. Предложил общий метод решения иррациональных уравнений, сводя их к системе целых алгебраических уравнений.

3.Властивості степенів з раціональним показником:

Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних a i b справедливі рівності:

а) . Доведення.

Наприклад. Спростити: 1). 2)

б) .

Наприклад. Спростити: 1) 2)

в).

Наприклад. Спростити: 1) 2)

г) .

Наприклад. .

д) .

Наприклад. .

4. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником.

Учитель наводить приклади за рівнями тотожних перетворень виразів,

які містять степені з раціональними показниками.

5. Означення і приклади степеневої функції.

Означення. Функція виду називається степеневою, де аргумент х – основа, а число р – показник степеня.

Наведемо приклади.

Якщо р=1, то функція має вигляд- пряма пропорційність, лінійна функція, її графік - пряма.

Якщо р=2, то функція має вигляд, її графік парабола.

Якщо р=3, то функція має вигляд, її графік кубічна парабола.

Якщо р=-1, то функція має вигляд- обернена пропорційність, її графік гіпербола.

Якщо р=½, то функція має вигляд- квадратний корінь, її графік крива в І чверті..

Вигляд, властивості і графік залежать від числа р в показнику степеня.

Наша мета узагальнити знання про відомі функції, їх властивості і графіки, а також познайомитися з новими.

За наведеною таблицею учні повторюють графіки і властивості відомих функцій.

Далі учитель пропонує познайомитися з властивостями і графіками функцій

; і узагальнити відомості про степеневу функцію за таблицею.

Р – натуральне число
Функція , р=2,4,6,… р – парне	Функція , р=3,5,7,… р - непарне
Р – ціле відє’мне число
Функція , р=-2,-4,-,6..	Функція , р=-1,-3,-5,..
Р – раціональне число
Функція , р=	Функція , р=

Наступний етап роботи над темою - закріплення знань за допомогою самостійного розв’язування тестів.

Чи правильні твердження? Відповідь + або -.

Степінь з дробовим показником можна замінити радикалом. Функція непарна. Графік функції симетричний відносно осі Оу. .

5. при r цілих.

6. Точка (½;4) належить графіку функції

7. .

8. Область значень функції множина додатних чисел.

9. =.

10. Функція існує при хÎ(-¥;0).

Відповіді.

Чи правильні твердження? Відповідь + або -.

Степінь з дробовим показником можна замінити радикалом. + Функція непарна. + Графік функції симетричний відносно осі Оу. - . -

5. при r цілих. -

6 Точка (½;4) належить графіку функції +

7. . +

8. Область значень функції множина додатних чисел. -

9. =. -

10. Функція існує при хÎ(-¥;0). -

Підведення підсумків тесту і уроку.

Домашнє завдання: Теорія за конспектом і тести за варіантами.

Степінь з раціональним показником.

Варіант 1.

І частина.

1.1. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником.

Відповідь: А) Б) ; В) ; Г) .

1.2. Подайте вираз у вигляді степеня.

Відповідь: А) Б) ; В) ; Г) .

1.3. Подайте вираз у вигляді степеня.

Відповідь: А) Б) ; В); Г) с.

1.4. Подайте вираз у вигляді степеня.

Відповідь: А) Б) ; В); Г) .

1.5. Подайте вираз у вигляді степеня.

Відповідь: А) Б) ; В) ; Г) .

1.6. Подайте вираз у вигляді степеня.

Відповідь: А) Б); В); Г) .

1.7. Подайте вираз у вигляді степеня.

Відповідь: А) -6; Б) В) 9; Г) 3.

1.8. Подайте вираз у вигляді степеня

Відповідь: А) Б) ; В) ; Г) .

1.9. Знайти значення степеня

Відповідь: А) 32; Б) В) 10; Г) 2.

1.10. Скоротити дріб .

Відповідь: А) Б) В) Г) .

1.11. Скоротити дріб .

Відповідь: А) Б) ; В) ; Г) .

1.12. Скоротити дріб .

Відповідь: А) ; Б) ; В) ; Г) .

ІІ частина

2.1.Знайти значення виразу .

Відповідь: А) 10; Б) 12; В) 4; Г) 8.

2.2.Знайти значення виразу .

Відповідь: А) 10; Б) 5; В) 25; Г)-25.

2.3.Знайти значення виразу .

Відповідь: А) 1; Б) ; В); Г) .

2.4.Спростити вираз

Відповідь: А) 1; Б) 5; В); Г) .

2.5. Спростити вираз

Відповідь: А); Б); В)0; Г) 1.

ІІІ частина

3.1. Спростити вираз

Відповідь: А) 1; Б) b; В) ; Г) .