Расходимость процесса фильтрации

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

3. 4. Расходимость процесса фильтрации.

Практика применения фильтра Калмана показывает, что истинные погрешности оценивания вектора состояния объекта может существенно превышать теоретические расчетные оценки, получаемые диагональными элементами ковариационной матрицы . Реальная погрешность оценки фильтрации может неограниченно увеличиваться, даже если теоретическая погрешность калмановской фильтрации пренебрежимо мала. Это явление неустойчивой работы фильтра называется расходимостью процесса фильтрации. Расходимость вызывается неточностями, которые были допущены при выводе уравнений фильтрации. Одними из главных причин расходимости являются:

– неточность задания процессов динамики объекта и измерений,

– линеаризация уравнений динамики и измерений,

– отсутствие полной информации о реальной физической задаче,

– упрощающие предположения, позволяющие дать математическое описание задачи,

– неточности в задании вероятностных характеристик шума измерений и (или) возмущения динамики объекта,

– погрешности округления, неизбежно возникающие при вычислениях и которые могут привести к потере положительной определённости или ковариационных матриц погрешностей оценок.

Рассмотрим простой пример, когда расходимость возникает вследствие неточного задания динамики объекта. Пусть происходит равномерное прямолинейное движение объекта, то есть уравнение движения имеет вид: , где – координата объекта, – его скорость.

Проинтегрировав это уравнение на отрезке времени , получаем уравнение динамики объекта в дискретном времени: или

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Таким образом, уравнение динамики в дискретном времени имеет вид:

или , где .

Как видим, это модель детерминированного динамического объекта. Пусть для простоты измерения получаются в равноотстоящие моменты времени, то есть , .

Тогда для координаты объекта можно написать дискретное уравнение динамики:

, (3.26)

где .

Пусть точное значение скорости объекта , (а, следовательно, константы ) не известно и при обработке измерений используется некоторое значение , соответствующее скорости объекта , . То есть модель, которую мы используем при построении фильтра – , где и – константы. Иначе говоря, объект за время между наблюдениями смещается по оси на величину , а в схеме обработки заложено смещение объекта на величину .

Пусть проводятся прямые измерения, то есть модель измерений имеет вид: , где – последовательность независимых случайных величин с нулевым средним и известной дисперсией : , .

В качестве начальных условий положим , , , то есть, нет информации о начальном состоянии объекта.

Посмотрим, как в этой ситуации работают формулы стандартного фильтра Калмана.

В рассматриваемом случае эти уравнения имеют вид:

– экстраполяция проводится по формулам:

– уточнение оценки проводится по формулам:

или

. (3.27)

. (3.28)

Распишем несколько первых шагов фильтрации.

, ,

;

(или ),

;

Если продолжить выкладки, то нетрудно заметить следующую закономерность:

Чтобы убедиться в справедливости такого вывода, проведём доказательство методом математической индукции. Базу индукции представляют проделанные выше выкладки. Индукционное предположение сформулировано выше. Пусть получено очередное измерение . Уравнения экстраполяции имеют вид:

Вычисление апостериорных оценок происходит по формулам:

(или так: ).

Утверждение доказано.

Теперь проанализируем полученные результаты. Дисперсия , характеризующая точность апостериорной оценки , уменьшается с увеличением объёма выборки как .

Чтобы понять, насколько действительно хороша или плоха оценка фильтрации, представим её в виде:

С другой стороны, из истинной модели динамики объекта следует, что . Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получаем:

Теперь вычтем эту оценку из истинного состояния объекта:

Очевидно, . Если параметры модели динамики объекта, используемые в фильтре точно совпадают с истинными, то есть , что в реальности фактически невозможно, то оценка является несмещённой. Если же это не так, то смещение пропорционально разности , то есть накапливается с каждым шагом обработки. Это явление называется расходимостью фильтра.

3.8. Методы борьбы с расходимостью фильтра

Основная причина, вызывающая расходимость фильтра Калмана, состоит в том, что коэффициент усиления (передачи) очень быстро стремится к нулю (в рассмотренном примере он является скалярной величиной и убывает как ). Поэтому, как следует из формулы (3.27), оценка фильтрации перестаёт зависеть от новых измерений (так называемое старение данных). Эта трудность может быть преодолена одной из модификаций алгоритма фильтрации. Можно, например, ограничить коэффициент усиления снизу [Сейдж, Мелс, стр.403]. Если вернуться к рассмотренному примеру, то можно положить для , ,, то есть, начиная с - го измерения его «заморозить». Тогда уравнения фильтрации будут выглядеть следующим образом.

Экстраполяция проводится, как и прежде: , , а уточнение оценки – по формулам:

, (3.29)

. (3.30)

При этом оценка остаётся смещённой, но величина этого смещения уже не возрастает с ростом . Это объясняется следующими обстоятельствами. Как видно из формулы (3.27), в оценку фильтрации измерения входят с весом, равным , то есть с увеличением количества измерений очередное измерение входит всё с меньшим весом и оказывает на формирование апостериорной оценки всё меньшее влияние. В формуле же (3.29) очередное измерение, начиная с - го, входит в оценку фильтрации с фиксированным весом, равным , а вес предыдущих измерений уменьшается с коэффициентом, равным , то есть, чем раньше получено измерение, с тем меньшим весом оно входит в оценку состояния объекта.

Действительно, в модифицированном фильтре

, то есть 1-е измерение входит с весом ,

, то есть первые два измерения входят с весом ,

, то есть первые измерений входят с весом ,

, то есть - е измерение входит с весом , таким образом, все измерения входят в апостериорную оценку с одинаковым весом в отличие от стандартного фильтра, где вес очередного измерения уменьшается.

…………………………………………

, то есть все измерения входят с одинаковым весом .

Другой вариант.

Из формулы (3.27) видно, что априорная (экстраполированная с предыдущего шага обработки) оценка входит в апостериорную оценку (оценку фильтра) с весом , а очередное измерение – с весом . В стандартном фильтре , то есть вес априорной оценки повышается, а вес очередного измерения понижается.

В модифицированном фильтре начиная с - го шага обработки , то есть очередные измерения входят с одинаковым весом , а априорная оценка – с весом .

Этот процесс называется старением данных. Описанный метод борьбы с расходимостью фильтра может быть применён и в рекуррентном методе наименьших квадратов.

Другой путь борьбы с расходимостью фильтра состоит в искусственном увеличении шума динамики объекта. Из уравнения (3.22) следует, что при увеличении диагональных элементов матрицы , описывающей мощность шума динамки объекта, увеличивается экстраполированная ковариационная матрица . Это в свою очередь приводит к увеличению коэффициента усиления .

В рассмотренном выше примере внесём искусственный шум в динамику объекта. Вместо уравнения динамики (3.26) рассмотрим уравнение

где – шум динамики объекта с характеристиками: , , – дисперсия шума динамики. Тогда уравнения фильтрации имеют вид:

;

Увеличение дисперсии экстраполированной оценки на величину дисперсии шума динамики объекта приводит к тому, что коэффициент передачи фильтра становится больше, чем в отсутствии динамики шума объекта. Действительно, >0.

Более того, чем больше значение , тем больше эта разница. Действительно,

3.9. Адаптивная фильтрация

Рассмотренные выше методы предотвращения расходимости фильтрации являются универсальными по отношению к возможным причинам неустойчивой работы фильтра. Однако алгоритмы, построенные с использованием этих методов, обладают следующим недостатком.

В случае, когда модель объекта, на основе которой выполняется синтез модифицированного алгоритма фильтрации, адекватна реальному процессу, оценки, вычисляемые модифицированным алгоритмом, будут иметь большую дисперсию погрешностей, чем оценки, даваемые в этих условиях стандартным фильтром Калмана. Как отмечалось выше, это является платой за устойчивую работу фильтра в условиях неадекватности модели реальному объекту. Указанный недостаток может быть в значительной степени устранён применением адаптивных методов. С помощью этих методов увеличение весовой матрицы фильтра или ковариационной матрицы шума динамики объекта осуществляется только в том случае, когда фильтр начинает терять устойчивость.

Методы адаптивной фильтрации основаны на текущем контроле последовательности невязок измерений , вычисляемых в процессе оценивания. Эта последовательность называется обновляющей. Контроль проводится на соответствие текущего отрезка этой последовательности её теоретическим статистическим характеристикам. При установлении факта несоответствия выполняется адаптивная подстройка параметров фильтра до тех пор, пока это соответствие не будет восстановлено. Если соответствие обновляющей последовательности её теоретическим характеристикам не нарушается, то фильтр функционирует по обычной калмановской схеме.

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных алгоритмов адаптивной фильтрации, обсудим основные свойства обновляющей последовательности. Определим её математическое ожидание и ковариационную матрицу.

В силу независимости погрешностей измерений от вектора состояния объекта, получаем:

. (3.30)

В разные моменты времени, то есть при

При потере фильтром устойчивости эти свойства последовательности пропадают. На контроле этих свойств последовательности и построены схемы обнаружения расходимости в алгоритмах адаптивной фильтрации. Большое распространение на практике получили методы адаптивной фильтрации, основанные на анализе соответствия невязок измерений расчётной ковариационной матрице . При обнаружении несоответствия происходит подстройка ковариационной матрицы шума возмущения динамики объекта до тех пор, пока это несоответствие не ликвидируется. Этот подход можно интерпретировать как метод введения в динамику объекта при обнаружении расходимости дополнительного шума возмущений, моделирующего неучтённые в модели объекта параметры или процессы.

Рассмотрим использование этого подхода для случая стационарного объекта, то есть когда матрицы , , , и постоянны. Если замечено, что реальная ковариационная матрица обновляющей последовательности много больше, чем , полученная фильтром Калмана, то интенсивность шума динамики нужно увеличивать. Увеличение приводит к увеличению , а значит и к увеличению , что даёт приближение реальной ковариационной матрицы невязок и . Реальная ковариационная матрица невязки аппроксимируется экспериментальной (выборочной) матрицей

, (3.31)

где значение выбирается эмпирически так, чтобы обеспечить статистическое усреднение. Уравнение для получения матрицы имеет вид: или или или

. (3.23)

Для примера рассмотрим случай, когда измерения скалярные, то есть в уравнении измерений (3.17) матрица представляет собой строку , . Предположим, что , где , – единичная матрица. Положим в (3.31) . Тогда уравнение (3.32) принимает вид:. Теперь если , то шум в динамике объекта не требуется, то есть . В противном случае . Для получения более качественной оценки в формуле (3.31) следует взять .

3.10. Расширенный фильтр

Ещё одним методом борьбы с расходимостью фильтра является расширение вектора состояния объекта за счёт включения в него неопределённых параметров [Методичка по лабораторным работам]. В рассматриваемом примере этим параметром является скорость объекта . Пусть нас интересует, в какой точке окажется объект в момент времени и совершенно не важно, какая у него при этом будет скорость. Незнание точного значения скорости объекта приводит к расходимости фильтра. Чтобы избежать этого, приходится оценивать значение скорости по измерениям. Такие параметры называются мешающими.

Итак, динамика объекта описывается уравнениями: , . Введём в рассмотрение вектор состояния объекта . Тогда разностные уравнения динамики объекта принимают вид: или , где переходная матрица .