УДК 531.08 + 621.01
Алюшин ЮА
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ
Из энергетической модели механики твердого тела [1] следует, что для расчета скорости изменения (мощности) кинетической энергии можно использовать различные кинематические (координаты, скорости и ускорения) и геометрические (радиусы инерции 
) параметры, зависящие от выбора полюса Р, определяющего ось вращения тела [2-3]. Ниже рассмотрены два варианта расчета кинетической энергии и скорости её изменения с использованием ньютоновых (полюс совмещен с центром масс) и центробежных (полюс совмещен с мгновенным центром скоростей) сил для шатуна кривошипно-ползунного механизма, когда ось поступательного перемещения ползуна проходит через ось вращения кривошипа (рис. 1).
 |
Рис. 1 Кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма
Любое плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела можно рассматривать как поступательное движение с перемещениями, скоростями и ускорениями некоторого, связанного с этим телом, полюса Р(хР, уР) и вращение тела относительно оси, проходящей через этот полюс Р, ортогонально плоскости движения тела [1-2] в соответствии с уравнениями
, (1)
,
где 
– угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени, 
– начальные (лагранжевы) координаты полюса Р и частицы, соответственно.
Дифференцирование соотношений (1) по времени позволяет определить компоненты скорости и ускорения произвольной частицы через компоненты скорости и ускорения полюса и угловые характеристики вращения тела
,
, (2)
,
.
В рассматриваемом механизме кривошип ОА вращается вокруг неподвижной оси О(0, 0), совмещенной с началом координат, с угловой скоростью 
и ускорением 
. В любой момент времени координаты, скорости и ускорения точки А определяют уравнения (1) – (2), которые при совмещении полюса с неподвижным началом координат принимают вид
, 
,
, 
Кинематические характеристики оси шарнира А, соединяющей кривошип и шатун, могут быть использованы для последующего расчета координат, скоростей и ускорений любых частиц шатуна в соответствии с уравнениями (1) – (2)
,
,
, 
.
Аналогичные уравнения справедливы и для центра масс шатуна С
, (3)
,
, 
.
Необходимые для расчета угловые характеристики вращения шатуна 
, 
и 
находим из кинематических связей
, 
,
,
.
Эти результаты позволяют определить положение МЦС в системе координат наблюдателя
, 
. (4)
С учетом
, 
соотношения (4) можно записать в виде
, 
, (5)
или
, 
. (6)
Из последних соотношений следует
, 
, 
, (7)
что легко проверить графическим построением МЦС для рассматриваемой схемы механизма.
Введем дополнительную (правую декартову) систему координат с началом в МЦС, новые координаты центра масс шатуна С получим с помощью соотношений
, 
.
Производные по времени от штрихованных координат однозначно определяются производными от координат МЦС и центра масс
, (8)
.
Дифференцируя уравнения (5), получаем
. (9)
С учетом (7) находим для второй компоненты
. (10)
Таким образом, вместо (8) получаем
, (11)
.
Расчет кинетической энергии для шатуна при различных положениях кривошипа приведен в файле [4] по двум вариантам: при совмещении полюса с центром масс
(12)
и с мгновенным центром скоростей
, (13)
где
или
.
Расчеты были проведены как через радиус 
, так и через координаты 
, принимая во внимание соотношения
, 
.
Сравнение результатов (строка 89) показывает их полное совпадение при любых угловых скоростях и ускорениях кривошипа, а также инерционных характеристиках (значениях масс и моментов инерции) всех звеньев механизма, но только для суммарных значений. Слагаемые кинетической энергии (12) во втором варианте отсутствуют. Инвариантом является только полная кинетическая энергия, а не её составляющие, ассоциируемые с поступательным и вращательным движениями звеньев.
Обобщенные силы определяют скорость изменения кинетической энергии. Если полюс совмещен с центром масс, тогда
,
где множители угловых и линейных скоростей по определению являются обобщенными (ньютоновыми) силами и моментом (в нижнем индексе момента дополнительно указано положение полюса)
, 
, 
.
В случае совмещения полюса с МЦС, когда вместо (13) можно записать
,
для приращения кинетической энергии шатуна получаем
или
.
Правую часть полученного уравнения можно записать через координаты центра масс в новой системе
и выразить обобщенные силы либо через радиус
, 
, 
,
либо через координаты
.
Из сравнения результатов следует, что, как и для кинетической энергии, доли мощности (скорости изменения) кинетической энергии, ассоциируемые с поступательным и вращательным движением тела, не являются инвариантами, зависят от выбора полюса. Вместе с тем, скорость изменения кинетической энергии при любом выборе полюса остается одинаковой.
Технологические силы на ползуне при последующем расчете обобщенных сил на осях шарниров (строки 160 – 230) приняты постоянными при его движении в положительном направлении оси х и равными 0 при движении в обратном направлении, как при работе механизма в качестве привода конвейера.
Приведенный пример показывает определенные сложности и неудобства расчета скорости изменения или абсолютных значений кинетической энергии через центробежные силы для шатунов шарнирно-рычажных механизмов, так как в каждый момент времени надо искать положение МЦС и скорости изменения его координат.
Вместе с тем, из приведенного примера видно, что как ньютоновы, так и центробежные силы определяют возможные эквивалентные по результатам варианты расчета скорости изменения кинетической энергии на скоростях изменения согласованных с ними кинематических координат.
Центробежные силы (и их проекции) имеют такую же природу, как и ньютоновы силы инерции, характеризуют скорость изменения кинетической энергии на скорости изменения расстояния между центром масс тела и мгновенным центром скоростей. При неподвижной оси вращения центробежные силы они переходят в разряд потенциальных и могут производить мощность при изменении кинематических связей, также как силы в неподвижных осях шарниров и в направляющих ползунов шарнирно-рычажных механизмов (см. строку 236).
ЛИТЕРАТУРА
1. Энергетические основы механики. М.: Машиностроение, 19с.
2. Механика твердого тела в переменных Лагранжа. М.: Машиностроение, 20с.
3. Алюшин интерпретация центробежных и иных сил. Известия РАН. Механика твердого тела (в редакции журнала с 14.11.2014г)
4. Файл “Динамический анализ КПМ. xlsx” URL: http://www. Сайт «allmechanics. narod. ru».
