Н. А. КУДРЯШОВ, М. А. ЧМЫХОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ
ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассматриваются одномерные задачи нелинейной теплопроводности, при заданной температуре и заданном потоке тепла в начале координат в виде степенной и экспоненциальной зависимостей от времени. Температура среды в начальный момент времени предполагается равной нулю. Получены приближенные решения задач в виде ряда. Изучается зависимость точности полученных решений от числа слагаемых.
К задачам нелинейной теплопроводности возник интерес в связи с анализом распространения тепловой волны, образующейся при ядерном взрыве [1], они активно изучаются уже более пятидесяти лет. Однако точные решения многих задач нелинейной теплопроводности до сих пор не получены.
В работе [2] были найдены приближенные решения одномерной плоской задачи нелинейной теплопроводности на полубесконечной прямой, если температура на границе от времени задается степенной или экспоненциальной функцией. При этом использован тот факт, что скорость распространения тепла для задач такого типа является конечной. В работе [3] получены асимптотические решения одномерных (плоская, цилиндрически-симметричная и сферически симметричная) задач нелинейной теплопроводности, при заданном потоке тепла в начале координат в виде степенной зависимости от времени. Температура среды в начальный момент времени также предполагается равной нулю.
В данной работе изучается вопрос о сходимости одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданной температуре и заданном потоке в начале координат в зависимости от параметров задачи.
Нелинейное уравнение теплопроводности имеет вид
Здесь u(r,t) – температура среды, r – пространственная координата, t – время, κ – коэффициент теплопроводности, n ‑ показатель степени, определяющий характер лучистой теплопроводности (n>0), а ν – параметр, характеризующий симметрию задачи (ν =0 соответствует плоской задаче, ν =1 для цилиндрической симметрии, ν =2 в сферически-симметричном случае).
В начальный момент времени температура среды предполагается равной нулю. Рассматривалось два варианта граничных условий: 1) зависимость температуры на границе от времени задается степенной или экспоненциальной функцией. 2) задается поток тепла в виде степенной зависимости от времени.
на бесконечности полагаются нулевые граничные условия.
Приближенные решения этих задач получены в [2, 3].
Проведено исследование точности приближенного решения в зависимости от параметров задачи и числа слагаемых (см. [2, 3]) использованных при построении решения.
По результатам исследования построены линии уровня погрешности в зависимости от параметров задачи и количества используемых слагаемых. Из этих графиков можно определить требуемое число слагаемых исходя из параметров задачи и необходимой точности.
Например, в случае плоской задачи ν =0 с заданным значением на границе, в случае если 
для описания решения с точностью до 1 %, достаточно использовать два слагаемых.
В автомодельных переменных [3] это решение имеет вид:
.
В случае плоской задачи ν =0 с заданным потоком на границе, в случае если для описания решения с точностью до 1 %, следует брать три слагаемых в решении.
Работа выполнена при поддержке МНТЦ в рамках проекта В-1213.
Список литературы
1. , Райзер ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 19с.
2. Кудряшов решение одной задачи нелинейной теплопроводности. // ЖВМиМФ, 2005. Т.45. №11. С. .
3. , Чмыхов решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке // ЖВМиМФ, 2007, т.47, №1. С.113-123.
