Конспект интегрированного урока (физика и математический анализ).

11 класс – 2 часа.

Тема урока: Основное уравнение электромагнитных колебаний. Электромагнитные гармонические колебания и их характеристики

Цель урока: 1. Усвоение учащимися вывода основного уравнения электромагнитных колебаний на основе дифференциального исчисления, физического смысла заложенного в этом уравнении (на основе механического смысла 1-ой и 2-ой производных) и вывода уравнений зависимости q(t), i(t).

Усвоение понятий гармонического колебания и основных характеристик этих колебаний.

2. Развитие логического мышления, способности к анализу, умения сопоставлять и делать выводы.

3. Воспитание у учащихся уверенности в себе, аккуратности и точности при выполнении любой работы.

Тип: урок усвоения новых знаний

Форма: лекция

Ход урока.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся

Фронтальный опрос.

1. Как называется колебательная система, в которой происходят электромагнитные колебания?

2. Из каких основных частей состоит колебательный контур?

3. Назовите характеристики конденсатора и катушки.

4. Какие величины изменяются при электромагнитных колебаниях?

Воспроизведение математического аппарата

5. Что такое производная функции? Как называется операция нахождения производной?

6. В чём заключается физический смысл 1-ой производной; 2-ой производной.

Ребята дают ответы (желательно полные)

Воспроизведение и анализ основных формул

Назовите основные характеристики колебательных движений и запишите на доске формулы для их определения

Учащиеся называют период, частоту и циклическую частоту, могут назвать дополнительно амплитуду, записывают на доске формулы:

T = ; ν = ; ω = 2πν =

Применение математического аппарата.

Некоторые группы ребят дома подготовили вопросы по применению дифференциального исчисления к определению некоторых физических величин. Давайте их послушаем.

Учитель следит за изложением, реакцией класса, при необходимости просит задавать рассказчикам вопросы по изложенному материалу, разрешает группам оказывать помощь выступающим

Учащиеся (по одному от группы) выходят к доске и, в специально отведённом для этого на доске месте, производят записи, одновременно поясняя необходимые действия. (При наличии в классе компьютерной техники, интерактивной доски, можно воспользоваться ими)

а) По определению сила тока равна заряду (количеству электричества), прошедшему через поперечное сечения проводника за единицу времени: I = . При переменном токе прошедший заряд изменяется с течением времени (явлется функцией от времени - q(t)), значит, имеет смысл говорить о мгновенной силе тока - iмгн, т. е. силе тока в данный момент времени: при Δt→0.

Мгновенная сила тока обозначается i.

Тогда i = = q΄ (t).

Итак: i = q΄ (t).

б) По закону электромагнитной индукции эдс индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока взятая с противоположным знаком

εi = -,где Ф(t) (Ф является функцией от времени), при изменении магнитного потока, прошедшего через контур, с течением времени можно говорить о мгновенной эдс, т. е. об эдс в данный момент времени, при Δt→0. Мгновенная эдс обозначается εi. Тогда

εi = - Φ΄(t) (t)Знания по физике
 
εi = = - Ф΄ (t).

Итак:

в) Аналогично доказывается следующее утверждение: при самоиндукции

εis = - Li´(t) (t)Знания по физике
 
εis = -, I(t)…… и как результат

2. Сообщение темы, цели, задач урока, мотивация учебной деятельности школьников.

Мы с вами на предыдущих уроках в общих чертах познакомились с природой электромагнитных колебаний, сегодня установили связь между операцией дифференцирования в математике и нахождением знакомых нам величин в физике. Предлагаю вам применить всё это к более глубокому изучению электромагнитных колебаний, взглянуть на это с позиции учёных аналитиков: построить математическую модель электромагнитных колебаний и исследовать характеристики и свойства данного явления.

Итак, тема нашего урока: Основное уравнение электромагнитных колебаний. Электромагнитные гармонические колебания и их характеристики

Нам предстоит:

- опираясь на правила дифференциального исчисления вывести основное уравнение электромагнитных колебаний и установить в чём физический смысл этого уравнения,

- ввести новые понятия,

-вывести уравнения зависимости q(t), i(t), u(t), т. е. установить, как изменяются с течением времени при электромагнитных колебаниях заряд конденсатора, сила тока в колебательном контуре, напряжение на обкладках конденсатора.

Знание этих вопросов позволит нам оценить красоту познания мира, увидеть более глубокую связь между физикой и математикой. Это позволит тем из вас, кто поступит в соответствующие ВУЗы с большей лёгкостью изучить данный вопрос и в конце концов просто повысить уровень развития.

Предложить учащимся самим сформулировать тему или направления, в котором будет идти работа, спросить изучением каких вопросов, по их мнению, будем заниматься на уроке. (Ориентироваться по ходу ответов)

3. Восприятие и первичное осознание нового материала, осмысление связей и отношений в субъектах изучения. (Изучение строить в форме беседы) Основные записи на доске ведёт учитель, ребята, беседуя с учителем, оформляют соответственно записи в своих тетрадях.

По закону сохранения энергии энергия электромагнитного поля определяется

Учитель записывает на доске

W = Wp + Wm, W = сonst

Как определяются энергии электрического поля заряженного конденсатора и магнитного поля?

Wp = , Wm = .

Что вы скажете о каждой из величин в данных формулах

Учитель записывает

q(t) и i(t), С = сonst и L = сonst, тогда

W = + , учитывая, что полная энергия не меняется, а в правой есть функции от переменной t, предлагаю вам продифференцировать сначала правую, а затем левую часть данного равенства.

Учитель на доске

(W)´ = ( + )´

+ = 0,

+ Li(t) · i´(t ) = 0, вспомните о чём мы сегодня в начале урока говорили

Значит, если i = q´(t), то i´ = q´´(t)

Попробуем привести к одной переменной. Выберем какой, i или q. Какое выражение получим?

+ L q´(t) · q´´(t) = 0 ·С

Выразим величину q´´(t), получим

q´´(t) = - · q(t)
 
 

1)

Основное уравнение электромагнитного колебания

Посмотрите внимательно на данное уравнение, вспомните, что означает 2-ая производная с точки зрения физики и скажите, что показывает данное уравнение.

Учитель, если необходимо направляет их рассуждения в нужное русло.

Далее учитель предлагает вспомнить, какую параллель уже проводили между характеристиками механических колебаний и электромагнитных, закон Гука и второй закон Ньютона, если сила упругости – равнодействующая сил, помечая их высказывания на доске:

q – x Fупр = - kx а = - ,

- k Fупр = ma где а = х´´(t)

L – m а = х´´(t) = - · х(t)

Далее учитель предлагает решить проблему

Вернёмся снова к основному уравнению электромагнитных колебаний, в правой части которого функция q(t), а в левой её вторая производная q´´(t). Как вы думаете какую функцию можно продифференцировать дважды, чтобы получить ту же функцию со знаком «-» и коэффициентом .

Учитель снова возвращает ребят к формулам, которые повторили в начале урока:

T = t = T· N, и ω = 2πν =

Тогда cos2πN = cos = cosωt, сопоставляя с полученным уравнением (*) получим 2) q(t) = qm· cosωо t,

где ωо = - собственная частота колебательного контура (циклическая частота)

v– частота колебаний, [ v] = Гц = 1/с

T – период колебаний, [ Т] = с

ω = Т = ,

тогда Т =2π v=

формула Томсона

3) q(t) = qm· cosωо t,

ωо t = φ – фаза колебаний,

φо - начальная фаза

q(t) = qm· cos(ωо t + φо)

Например: q(t) = qm· cosωо t или

q(t) = qm· sin(ωо t + )

4) учитель предлагает одной половине класса, используя формулы дифференцирования, вывести уравнение зависимости силы тока от времени при электромагнитных колебаниях, а второй половине, используя определение электроёмкости, конденсатора вывести уравнение зависимости напряжения от времени.

учитель предлагает упростить запись, обозначив выражение перед знаком sin или cos одной буквой, уточняя у ребят, чем является это выражение и как лучше обозначить. Записывают вывод на доске

i(t) = - Im· sin ωot, где Im = qm ωo

u(t) = Um · cos ωot, где Um = ωo

Отмечает, что колебания, которые совершаются по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями.

Вспоминают, что свободные колебания являются затухающими и ещё раз просит детей подвести итог: так что же такое электромагнитные колебания.

Предлагает ребятам, которые дома с опережением изучили математический материал, связанный с тригонометрическими функциями и их графиками, коротко осветить материал у доски.

Учитель предлагает на данном примере построить в одной системе координат графики функций

q(t) и u(t); в другой q(t) и i(t), обращая внимания, что их амплитуды различны, а частота одинаковая.

 

Um

U(t)

qm

 

0 π/2 π 2π t

q(t)

 

im

i(t)

qm

 

-π/2 π/2 π 2π t

q(t)

 

После построения графиков учащимся предлагается сделать вывод какая из вели чин достигает своего максимального значения раньше в первом и во втором случае.

Учитель отмечает, как эта мысль выражается научным языком:

1. В колебательном контуре изменения заряда и напряжения происходят в одной фазе.

2. В колебательном контуре изменения силы тока опережают изменения заряда по фазе на π/2.

Так же отмечается, что отставание или опережение можно установить выразив обе величины через одну и ту же функцию, например

q(t) = qm· cosωо t и

i(t) = - Im· sin ωot = - Im· cos (ωо t + )

как сумма энергии электрического и магнитного полей, которая не изменяется с течением времени, если не переходит в другой вид энергии

Ребята отвечают, учитель их ответы записывает на доске

Сила тока и заряд изменяются с течением времени, т. е. являются функциями от времени, а ёмкость конденсатора (если он постоянный) и индуктивность катушки для данного контура постоянны.

Кто-то из ребят или по очереди диктуют процесс преобразования выражения, записывая одновременно в тетради

Обращают внимание на выражение

i (t) = q΄ (t).

Ребята говорят, что удобнее к переменной q и диктуют

Можно дать минуту на обсуждение, после чего должны ответить, что данное уравнение показывает, с каким ускорением изменяется заряд конденсатора с течением времени при электромагнитных колебаниях.

Ребята проводят параллель и делают вывод, что показывает полученное уравнение и какова связь между величинами

После рассуждений учащиеся приходят к выводу, что это должна быть функция

q(t) = qm· cost (*)

Ребята подсказывают, как можно упростить полученное уравнение

Учащиеся работают на местах в течение 3-5 минут (возможно, чтобы они общались негромко), затем предлагают свои выводы на доске:

i(t) = - qm ωo · sin ωot

u(t) = ωo · cos ωot

Отвечают, что это амплитуды колебаний и соответственно обозначение Im и Um

Ребята по очереди характеризуют функции, их область определения и область значений, отмечая, что графиками являются синусоида и косинусоида, строят в одной системе координат графики функций

y = sin x и y = Asin x;

y = cos x и y = Acos x

Ребята строят графики в тетрадях и подсказывают учителю.

Ребята легко ориентируются и отвечают, что в первом случае это происходит одновременно, а во втором раньше достигает сила тока

4) Обобщение и систематизация полученных знаний

- Итак, что вы сегодня узнали, что оценили?

- Что важного вы отметили для себя?

- Как вы оцениваете свю работу на уроке?

- Повторить основные вопросы, акцентируя внимание на основных понятиях и формулах

5) Итог урока. Домашнее задание