УДК 519.6
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЙ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ОДУ
,
Кемеровский государственный университет
В работе описывается программный модуль на языке «Паскаль», предназначенный для визуализации поля скоростей фазового пространства и некоторых характеристик, связанных с устойчивостью точек покоя автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих параметры:
где y', y, F – n-мерные вектор функции (2≤n≤5), μ – k-мерный вектор параметров (2≤k≤10).
Методы качественной теории дифференциальных уравнений позволяют изучать свойства решений уравнения, исследуя функции, формирующие само дифференциальное уравнение, алгебраическими и аналитическими методами [1]. Таким образом, этот класс методов позволяет делать выводы о качественных характеристиках решений, не находя самих решений.
При качественном исследовании систем уравнений, содержащих параметры, возникает задача анализа большого количества данных. Для решения таких задач в настоящее время широко используется метод научной визуализации [2]. Суть этого метода заключается в том, что исходным анализируемым данным при помощи компьютера ставится в соответствие их некоторое статическая или динамическая графическая интерпретация, которая визуально анализируется, а результаты анализа этой графической интерпретации затем истолковываются по отношению к исходным данным. Разработанный программный модуль, позволяет визуализировать некоторые качественные характеристики поля скоростей и точек покоя системы (1). Визуализация осуществляется путем закрашивания холста разноцветными пикселями либо комбинацией квадратов различных цветов, с возможностью изменения размеров квадратов и расстояния между ними. Для исследования системы (1) в программном модуле предусмотрены три режима работы:
1. Цветовое отображение поля скоростей для двумерной (n = 2) системы вида (1).
2. Построение диаграммы устойчивости системы (1), линеаризованной в окрестности точки покоя.
3. Построение бифуркационной диаграммы системы (1), линеаризованной в окрестности точки покоя.
Режим 1 – «Цветовое отображение поля скоростей» При выборе этого режима производится расчет и прорисовка визуального отображения поля скоростей фазового пространства двумерной автономной системы дифференциальных уравнений. Визуальное отображение качественных характеристик решения производится путем закрашивания определенным цветом отдельных областей двумерного пространства некоторых переменных, при этом цвет в конкретной точке обусловлен соотношением знаков компонент F1, F2, вектор - функции F (рис. 1).
Таким образом, каждому направлению вектора скорости в терминах «вправо - вверх», «влево - вниз» и т. д., сопоставляется один из четырех цветов (синий, зеленый, желтый, красный). Следовательно, линиям изменения цвета на изображении будут соответствовать нуль - изоклины системы дифференциальных уравнений, а точкам пересечения этих линий – точки покоя системы. Таким образом, изменяя масштаб и расположение отображаемого участка фазового пространства, легко обнаружить точки покоя системы. Кроме того по чередованию цветов при вращении вокруг точки покоя можно судить о ее индексе Пуанкаре [3] – для точек покоя с индексами 1 и -1 расположение цветов будет различным.
Для изучения зависимости качественных характеристик решений от параметров, входящих в уравнения существует возможность варьировать эти параметры. Управление параметрами производится через соответствующую форму (рис. 2), в которой пользователь может задать исходные значения и инкременты (декременты) выбранных параметров и изменять их. Шаг вариации того или иного параметра приводит к изменению изображения в окне графического вывода. Таким образом, варьируя параметры, пользователь может наблюдать за изменением формы нуль-изоклин, появлением и исчезновением точек покоя и локализовать значения параметров, при которых эти явления происходят.
В случае, если правая часть системы (1) имеет сложный вид, процесс закрашивания холста поточечно может быть медленным. Для ускорения процесса в таких случаях предусмотрен режим закрашивания холста цветными квадратами, сторону которых и расстояние между которыми пользователь может регулировать, добиваясь компромисса между детализацией и скоростью вывода изображения. Поскольку скорость выдачи изображения квадратично зависит от размера 
единицы прорисовки (цветового квадрата), эта опция позволяет существенно ускорить работу с приложением. Найдя интересующие соотношения параметров, пользователь может уменьшить размер квадрата до единицы, расстояние между квадратами - до нуля, и детально изучить интересующий фрагмент изображения. Заметим, что правая часть системы в программе может задаваться двумя способами: либо в коде программы, либо во внешнем файле. В первом случае, изменение системы уравнений (1) потребует перекомпиляции программы, во втором же случае, компиляции 
не требуется, так как значения правой части вычисляются с помощью интерпретатора формул (парсера). Описанная выше опция особенно полезна во втором случае, поскольку процесс парсинга существенно замедляет работу приложения.
Режимы 2 и 3 используются для исследования устойчивости и бифуркаций выбранной точки покоя системы (1). Исходными данными для вычислений в этом случае будут элементы матрицы Якоби в точке покоя y0.
Формулы, выражающие элементы матрицы (2), также как и правая часть системы, могут задаваться как в коде программы, так и во внешнем текстовом файле.
Режим 2 – «Построение диаграммы устойчивости». В этом режиме, вдоль осей абсцисс и ординат варьируются значения выбранных компонент μi и μj (i≠j) вектора параметров μ. Цвет, на этот раз, характеризует соотношение знаков главных диагональных миноров матрицы Гурвица характеристического многочлена матрицы (2). В этом режиме линиям смены цвета на холсте будут соответствовать соотношения компонент вектора параметров, при которых исследуемая точка покоя теряет (приобретает) устойчивость.
В режиме 3 – «Построение бифуркационной диаграммы», так же как и в режиме 2, вдоль осей варьируются значения выбранных компонент вектора параметров μ. Цвет при закрашивании холста определяется характеристиками матрицы (2), такими как количество вещественных и пар комплексно сопряженных собственных значений, и знаками их вещественных частей. Таким образом, по линиям смены цвета на холсте можно определить не только потерю устойчивости точки покоя, как в режиме 2, но и другие бифуркации выбранной точки покоя, в частности, бифуркацию Хопфа [4].
Программный модуль тестировался на модельных задачах химической кинетики, динамики популяций и показал высокую эффективность при исследовании систем, содержащих большое количество параметров.
Список литературы
1. , Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. / , , . 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с
2. Стриханов визуализация [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:/// (дата обращения 16.03.2014).
3. Арнольд дифференциальные уравнения / , г. Ижевск, 2000 гс.
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. / Д. Эрроусмит, К. Плейс, М., 1986 г. – 243с.
