Вопросы к междисциплинарному экзамену (бакалавры)

Вопросы к междисциплинарному экзамену (бакалавры)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1.  В чем проявляется ограниченность классического и статистического определения вероятности.

2.  Дайте определение основных операций над событиями.

3.  Поясните теоремы сложения и умножения вероятностей событий.

4.  Поясните смысл и важность для теории и практики формулы полной вероятности и формулы Байеса.

5.  Определите вероятности появления событий при повторении испытаний в заданных примерах.

6.  Дайте определение закона, функции и плотности распределения случайных величин.

7.  Поясните равномерный и нормальный закон распределения случайных величин.

8.  Найдите вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

9.  Дайте определение моментов случайной величины.

10.  Приведите основные свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.

11.  Законы и условные законы распределения двумерной случайной величины.

12.  Дайте определение условного математического ожидания и корреляционного момента случайных величин.

13.  В чем различие между понятиями независимых, зависимых, коррелированных и некоррелированных случайных величин.

14.  Постройте эмпирическую функцию распределения, полигон и гистограмму частот по заданной выборке.

15.  В чем заключается смысл точечного и интервального оценивания параметров распределения. Свойства оценок.

16.  Критерии проверки гипотез и их свойства.

17.  Поясните смысл корреляционного и регрессионного анализа. Дайте примеры их применения.

18.  Поясните методику оценки параметров линейной регрессии.

Основная литература

Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001. , , Турандаевский вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991. Гнеденко теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

Дополнительная литература

, Филиппова. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1982. Пугачев вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией . – М.: Наука, 1979.

ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ ТРАНСЛЯЦИИ

1.  Классификация языков программирования?

2.  Характеристика и свойства языков программирования?

3.  Основные парадигмы современного программирования?

4.  Как понимать термин «процедурная абстракция»?

5.  Механизмы процедурной абстракции?

6.  Что содержится в спецификации процедуры?

7.  Механизмы параметризации в C++,

8.  Понятие абстрактного типа данных?

9.  Как использовать поля структуры в вычислениях?

10.  Как изменятся параметры у функции на C++, если она станет полем структуры?

11.  Из каких соображений выбираются поля класса на C++?

12.  Назначение конструктора класса?

13.  Назначение деструктора класса?

14.  Назначение конструктора копирования?

15.  Как определяются типы полей класса, и из каких соображений задаются их имена?

16.  Как определяется список параметров методов класса?

17.  Что представляет собой поток ввода – вывода?

18.  Почему нужно проверять возможность ошибки при открытии файла?

19.  Как определяют, какие методы инкапсулированы или встроены в класс?

20.  С какими классами связаны операции ввода – вывода?

21.  Определение списка? Стека? Очереди? Дека?

22.  Основные операции со списками?

23.  Определение узла списка?

24.  Когда и где отводится память под переменную ссылочного типа?

25.  В каких операциях проявляются преимущества при работе со списками? С двусвязными списками?

26.  Что означает понятие «переопределить операцию»? Когда это имеет смысл?

27.  Сколько параметров может иметь operator – функция на C++, если она является членом класса?

28.  Сколько параметров может иметь дружественная operator – функция?

29.  Как реализован механизм модульного программирования в С++?

30.  Основные технологии современного программирования?

31.  Механизм событийного программирования?

32.  Понятие проекта?

33.  Структура проекта в C++Builder?

34.  Что вкладывается в понятие «визуального программирования»?

35.  Определение транслятора?

36.  Виды трансляторов?

37.  Условная трансляция в С++?

38.  Структурная схема транслятора?

39.  Что такое «лексема»? Лексический анализ?

40.  Какую работу выполняет сканер?

41.  Семантический анализ программы?

42.  Цепочки, язык, грамматики, лексемы?

43.  Цепочки вывода?

44.  Определение распознавателя?

45.  Классификация распознавателей?

46.  Конечные автоматы?

47.  Организация таблиц символов?

48.  Классификация грамматик?

Основная литература

1.  , C++Builder. Задачи и решения. Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2010. – 486 с.

2.  , . Методические указания «Языки программирования и методы трансляции» — Томск: изд. ТПУ, 2000 г. — 88 с.

3.  , . Методические указания к выполнению лабораторных работ, 2008г. (в электронном виде).

4.  , , . Системное программирование. Основы построения трансляторов. – СПб.:КОРОНА, 2004. – 256с.

Дополнительная литература

5.  Мозговой программирования: АЛГОРИТМЫ, ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ, КОМПИЛЯТОРЫ. Практический подход. – СПб.: Наука и техника, 2006. – 320с.

6.  С/С++ и Borland С++Builder для начинающих. –Спб.: БХВ-Петербург, 2006, -736с.: ил.

7.  , Молчанов программное обеспечение. –Спб.: Питер, 2003, -640с.: ил.

8.  С++ и Borland С++Builder. Самоучитель. –Спб.: БХВ-Петербург, 2005, -256с.: ил.

9.  , . Основы конструирования компиляторов. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. –224с.

10.  Ахо, Джон Хопкрофт, Ульман. Структуры данных и алгоритмы. –М. Вильяме, 2003. —382c

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Уравнения колебаний струны и мембраны. Уравнения гидродинамики. Уравнения теплопроводности и диффузии. Система телеграфных уравнений. Уравнения электромагнитного поля. Постановка краевых задач. Классификация линейных уравнений с двумя независимыми переменными. Приведение уравнений к канонической форме. Замена переменных. Метод Даламбера. Теорема об устойчивости решения задачи Коши от начальных данных. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения для бесконечной и полубесконечной области. Метод разделения переменных решения краевых задач (метод собственных функций). Основные свойства собственных функций и собственных значений самосопряженных операторов и их применение для решения краевых задач. Метод Фурье для решения неоднородных краевых задач. Разделение переменных в цилиндрической системе координат. Цилиндрические функции. Построение задачи Коши на прямой для уравнений параболического типа. Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности через функцию Грина на прямой и полупрямой, а также в трехмерном пространстве. Вторая формула Грина. Свойства гармонических функций. Построение функций Грина для полупространства, круга и сферы методом электростатического изображения. Классификация линейных интегральных уравнений. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденными ядрами. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными ядрами. Собственные функции симметричных ядер Фредгольма. Метод регуляризации решения обратных задач.

Основная литература

1.  Арсенин математической физики и специальные функции. – М.: Наука, 1974. – 432 с.

2.  , , Тихонов задач по математической физике. – М.: Наука, 198с.

3.  , , Смирнов в частных производных математической физики. – М.; Высшая школа, 1970. – 710 с.

4.  , , Макаренко уравнения. – М.: Наука, 1976. – 216 с.

5.  Кузнецов заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1994. – 206 с.

6.  Масленникова уравнения математической физики. – М.: изд-во Российского университета Дружбы народов, 1998. – 475 с.

7.  Михлин математической физики. – М.: Наука, 1968.–576 с.

8.  , Арсенин решения некоторых задач. – М.: Наука, 1986. – 287 с.

Дополнительная литература

9.  и др. Регулирующие алгоритмы и априорная информация. – М.: Наука, 1983. – 200 с.

10.  Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.  Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2.  Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

3.  Уравнения, разрешимые относительно производной. Поле направлений?

4.  Интегральные кривые? Задача Коши?.

5.  Дать определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и указать метод его интегрирования. Особые решения?

6.  Какое уравнение первого порядка называется однородным? Как оно решается?

7.  Какое уравнение первого порядка называется линейным и неоднородным? Как оно решается (метод Лагранжа)?

8.  Какое уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах? Описать способы его решения.

9.  Уравнение Бернулли и метод его решения?

10.  Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши?

11.  Ломаная Эйлера?

12.  Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши?

13.  Какой общий вид имеет линейное уравнение n-го порядка?

14.  Какие решения линейного уравнения называются линейно независимыми?

15.  Что такое фундаментальная система решений?

16.  Какое условие является необходимым и достаточным для того, что бы данная система решений была фундаментальной?

17.  Как построить общее решение однородного линейного уравнения, если известна фундаментальная система решений?

18.  Как решить задачу Коши при помощи формулы общего решения?

19.  Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения?

20.  В чём состоит метод Лагранжа, используемый для нахождения общего решения неоднородного уравнения?

21.  В каких случаях и в каком виде может быть записано частное решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами при использовании метода неопределённых коэффициентов?

22.  Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (действительные разные).

23.  Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (комплексные сопряжённые).

24.  Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (корни кратные).

25.  В чём состоит метод Коши, используемый для нахождения частного решения неоднородного уравнения?

26.  Какой общий вид имеет нормальная система дифференциальных уравнений?

27.  Что называется порядком системы ЛДУ?

28.  Когда система ДУ называется линейной?

29.  Какие решения однородной системы называются линейно независимыми? Критерий линейной независимости решений.

30.  Что такое фундаментальная система решений?

31.  Какая система линейных дифференциальных уравнений называется системой с постоянной матрицей?

32.  Метод Эйлера интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами.

33.  Как зависит структура фундаментальной системы решений от вида собственных чисел системы? Собственные вектора системы.

34.  Задача Коши для системы линейных однородных уравнений.

35.  Формы записи систем линейных дифференциальных уравнений.

36.  Что такое фазовые координаты?

37.  Матричная экспонента и её разложение в ряд?

38.  Матричный метод решения систем ДУ?

39.  Связь Жордановой формы матрицы системы с типом собственных чисел?

40.  Понятие консервативной системы. Связь потенциальной функции с фазовым портретом уравнения 2-го порядка ( на примере указанных видов потенциальных функций: W=x^2; W=x^2-a*x^4).

41.  Первый интеграл. Лемма Морса.

42.  Уравнение Гамильтона.

43.  Теорема Лиувиля. (Интегральный инвариант Гамильтоновой системы).

44.  Не консервативные системы. Линеаризация систем ДУ.

45.  Возможный характер простых состояний равновесия.

46.  Направления, вдоль которых фазовые траектории стремятся к простым состояниям равновесия. Угловой коэффициент направлений.

47.  Предельные циклы не консервативной системы. Их типы.

48.  Приближённый метод исследования предельных циклов. Определение гладкого цикла.

49.  Критерий Бендиксона.

50.  Функции последования. Условия устойчивости неподвижной точки точечного преобразования.

51.  Устойчивость решений ДУ. Определение разных типов устойчивых решений ДУ.

52.  Корневой критерий устойчивости.

53.  Критерий Гурвица.

54.  Второй метод Ляпунова.

55.  Функция Ляпунова.

Основная литература

1.  . Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:2005.

2.  Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. "Высшая школа". М.: 2006.

3.  ЛЭ. Эльсгольц. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. М.: 2007.

4.  . Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. М.:2001.

5.  , , .

6.  Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.1989 г.

7.  , , . Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: «Высшая школа», 2001 г.

8.  , . Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Наука. 1990.

9.  . Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва.2007.

10.  Дьяконов по системе символьной математики DERIVE. М.:1998.

11.  MAPLE 9. М.:2004.

12.  , , MATLAB 7. Санкт-Петербурк. 2005.

13.  Эдвардс и Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB.

Дополнительная литература

14.  , А. А Витт, . Теория колебаний. Наука. 1981 г.

15.  . Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука.2002 г.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1.  Основные понятия численных методов. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность числа.

2.  Погрешность суммы. Погрешность разности. Погрешность произведения.

3.  Погрешность частного. Относительная погрешность корня.

4.  Общая формула вычисления погрешности. Обратная задача теории погрешностей.

5.  Сжимающие отражения. Метрические пространства и сжимающие отображения.

6.  Сжимающие отражения. Теорема Банаха и решение уравнений.

7.  Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод дихотомии (половинного деления).

8.  Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод золотого сечения

9.  Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод касательных (Ньютона).

10.  Приближенное решение алгебраических уравнений Метод итераций.

11.  Численные методы линейной алгебры. Классификация численных методов линейной алгебры.

12.  Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.

13.  Численные методы линейной алгебры Решение СЛАУ методом прогонки.

14.  Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ методом простых итераций (метод Якоби).

15.  Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ методом Зейделя.

16.  Приближение функций. Интерполяционный полином Лагранжа.

17.  Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.

18.  Численное интегрирование. Методы прямоугольников и трапеций.

19.  Численное интегрирование. Метод Симпсона.

20.  Численное решение систем линейных уравнений. Метод Ньютона.

21.  Численное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.

22.  Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

23.  Метод Рунге – Кутта первого порядка точности (метод Эйлера). Решение систем ОДУ первого порядка методом Рунге – Кутта.

24.  Численное решение ОДУ высших порядков. Численное решение систем ОДУ высших порядков.

25.  Многошаговые методы решения задачи Коши.

26.  Численное решение “жестких” дифференциальных уравнений.

27.  Численное дифференцирование путем конечно разностной аппроксимации производной.

28.  Численное дифференцирование с использованием интерполяционного полинома Лагранжа.

Основная литература.

1.  , Гулин методы. - М.: Наука,1989.

2.  , Марон вычислительной математики. - М.: Наука,1966.

3.  , Данилова по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990.

4.  , , Кобельков методы. - М.: Наука, 1987.

5.  . Численные методы на базе Mathcad : учебное пособие / , . – СПб. : БХВ-Петербург, 2005. – 464 с. : ил. + CD-ROM.

6.  MATLAB 7: основы работы и программирования : учебное пособие для вузов / . – М. : Бином, 2006. – 320 с.

7.  и др. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. школа, 1994.

Дополнительная литература.

1.  Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х : В 2 т. Т.1 / . – 1999. – 366 с.

2.  Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х : В 2 т. Т.2 / . – 1999. – 304 с.