МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра информационной безопасности
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 10.03.01 Информационная безопасность, профиль подготовки «Безопасность распределенных систем»
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
. Эллиптические кривые и защита информации. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 10.03.01 Информационная безопасность, профиль подготовки «Безопасность распределенных систем» очной формы обучения. Тюмень, 2014, 17 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Эллиптические кривые и защита информации [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk3.utmn. ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой информационной безопасности. Утверждено директором института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой информационной безопасности ТюмГУ.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© , 2014.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Эллиптические кривые и защита информации» имеет целью ознакомление слушателей с конечными мультипликативными группами точек на эллиптических кривых, основанными на них криптографическими алгоритмами и стандартами. Дисциплина обеспечивает приобретение знаний и умений в области использования криптографических алгоритмов и стандартов для защиты информации, способствует освоению принципов корректного применения современных защищенных информационных технологий.
Задача дисциплины «Эллиптические кривые и защита информации» – получение основополагающих знаний о свойствах эллиптических кривых, об основных механизмах построения криптографических алгоритмов и протоколов на их основе, применении отечественных и зарубежных стандартов в области защиты информации, использующих эллиптические кривые.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Эллиптические кривые и защита информации» относится к дисциплинам по выбору математического и естественнонаучного цикла. Изучение её базируется на следующих дисциплинах: «Алгебра и геометрия», «Языки программирования», «Информатика», «Дискретная математика», «Криптографические методы защиты информации», «История криптографии».
В результате изучения этих дисциплин студент должен
знать:
- основные понятия математической логики и теории алгоритмов; основные понятия и методы дискретной математики, включая дискретные функции, конечные автоматы, комбинаторный анализ; основные комбинаторные и теоретико-графовые алгоритмы, а также способы их эффективной реализации и оценки сложности; основы Интернет-технологий; средства и методы хранения и передачи аутентификационной информации; основные протоколы идентификации и аутентификации абонентов сети; основные виды симметричных и асимметричных криптографических алгоритмов; математические модели шифров; криптографические стандарты; алгоритмы проверки чисел и многочленов на простоту, построения больших простых чисел, разложения чисел и многочленов на множители, дискретного логарифмирования в конечных циклических группах.
уметь:
- формализовать поставленную задачу; разрабатывать эффективные алгоритмы и программы; корректно применять симметричные и асимметричные криптографические алгоритмы; проводить оценку сложности алгоритмов.
Дисциплина обеспечивает изучение следующих дисциплин: «Безопасность IP-телефонии», «Безопасность Wi-Fi сетей», «Безопасность сетевых технологий», «Современные сетевые технологии». Знания и практические навыки, полученные в результате освоения дисциплины, используются студентами при разработке курсовых и дипломных работ.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№ п/п | Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин | Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин | |||||
Модуль 1 | Модуль 2 | Модуль 3 | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
1. | Безопасность IP-телефонии | + | + | ||||
2. | Безопасность Wi-Fi сетей | + | + | ||||
3. | Безопасность сетевых технологий | + | + | ||||
4. | Современные сетевые технологии | + | + |
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
профессиональными (ПК):
· способностью использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1);
· способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, применять достижения информатики и вычислительной техники, перерабатывать большие объемы информации проводить целенаправленный поиск в различных источниках информации по профилю деятельности, в том числе в глобальных компьютерных системах (ПК-2);
· способностью формировать комплекс мер по информационной безопасности с учетом его правовой обоснованности, административно-управленческой и технической реализуемости и экономической целесообразности (ПК-4);
· способностью принимать участие в эксплуатации подсистем управления информационной безопасностью предприятия (ПК-9).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
знать:
- понятие конечных групп и полей; группы точек на эллиптической кривой; криптографические алгоритмы на эллиптической кривой; криптографические стандарты; основные схемы цифровой подписи.
уметь:
- производить вычисления в конечных полях и группах; получить ключевую информацию и параметры эллиптической кривой; определить свойства эллиптической кривой; оценить криптостойкость схемы ЭЦП на эллиптической кривой; использовать стандарты схем на эллиптической кривой для защиты информации.
владеть:
- криптографической терминологией; навыками программной реализации криптографических алгоритмов; навыками применения алгоритмов, основанных на теоретико-числовых принципах, к вопросам построения криптосистем и их анализу.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 академических часов, из них 76,65 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 139,35 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Контактная работа складывается из: лекций 36, практических занятий 36, консультаций по дисциплине 1,8, индивидуальных консультаций 0,6, консультация перед экзаменом 2, экзамен 0,25 часа.
3. Тематический план
Таблица 3.
№ | Тема | недели семестра | Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. | Итого часов по теме | Из них в интерактивной форме | Итого количество баллов | ||
Лекции | Практические занятия | Самостоятельная работа | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Модуль 1 | ||||||||
1 | Основы теории чисел | 1-3 | 6 | 6 | 24 | 36 | 2 | 0-13 |
2 | Дискретное логарифмирование в Zp | 4-6 | 6 | 6 | 24 | 36 | 1 | 0-20 |
Всего*: | 12 | 12 | 48 | 72 | 3 | 0-33 | ||
Модуль 2 | ||||||||
3 | Эллиптические кривые. | 7-9 | 6 | 6 | 20 | 32 | 2 | 0-13 |
4. | Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой. | 10-12 | 6 | 6 | 20 | 32 | 1 | 0-20 |
Всего*: | 12 | 12 | 40 | 64 | 3 | 0-33 | ||
Модуль 3 | ||||||||
5. | Криптографические алгоритмы на эллиптической кривой. | 13-14 | 4 | 4 | 28 | 36 | 2 | 0-14 |
6 | Криптографические стандарты и протоколы на эллиптической кривой. | 15-18 | 8 | 8 | 28 | 44 | 2 | 0-20 |
Всего*: | 12 | 12 | 56 | 80 | 4 | 0-34 | ||
Итого (часов, баллов) за семестр*: | 36 | 36 | 144 | 216 | 0-100 | |||
Из них в интерактивной форме | 10 | |||||||
*- с учетом иных видов работы
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№ темы | Устный опрос | Письменная работа | Информаци-онные системы и технологии | Итого количество баллов | |
колок-виумы | собесе-дование | Контрольная работа | Расчетная работа на компьютере | ||
Модуль 1 | |||||
1. | 0-3 | 0-10 | 0-13 | ||
2. | 0-10 | 0-10 | 0-20 | ||
Всего | 0-10 | 0-3 | 0-20 | 0-33 | |
Модуль 2 | |||||
3. | 0-3 | 0-10 | 0-13 | ||
4. | 0-10 | 0-10 | 0-20 | ||
Всего | 0-10 | 0-3 | 0-20 | 0-33 | |
Модуль 3 | |||||
5. | 0-4 | 0-10 | 0-14 | ||
6. | 0-10 | 0-10 | 0-20 | ||
Всего | 0-10 | 0-4 | 0-20 | 0-34 | |
Итого | 0-30 | 0-10 | 0-40 | 0-20 | 0-100 |
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1. Основы теории чисел. Теория делимости. Простые числа. Функция Эйлера. Сравнения. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера. Тесты на простоту. Конечные мультипликативные группы. Конечные поля.
2. Дискретное логарифмирование в Zp. Проблема дискретного логарифмирования, проблема Диффи-Хэллмана. Криптосистемы Шамира, Диффи-Хэллмана, Эль-Гамаля. Алгоритмы дискретного логарифмирования в Zp.
Модуль 2.
3. Эллиптические кривые. Эллиптические кривые над полем вещественных чисел и их свойства. Эллиптическая кривая в форме Вейерштрасса. Операции над точками эллиптической кривой. Эллиптическая кривая над конечным полем. Группа точек эллиптической кривой. Теорема Хассе. Алгоритм Схоуфа.
4. Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой. Проблема дискретного логарифмирования на эллиптической кривой и ее сложность. Генератор эллиптической кривой. Алгоритмы дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.
Модуль 3.
5. Криптографические алгоритмы на эллиптической кривой. Криптосистемы Диффи-Хэллмана, Шамира, Эль-Гамаля на эллиптической кривой. Генерация ключевой информации и реализация операций на эллиптической кривой.
6. Криптографические стандарты и протоколы на эллиптической кривой. Стандарты на электронно-цифровую подпись EСDSA, ГОСТ Р 34.10-2001, ГОСТ Р 34.10-2012. Протоколы на эллиптической кривой. Факторизация Ленстры на эллиптической кривой.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1: Основы теории чисел.
Теория делимости. Простые числа. Равноостаточные числа. Функция Эйлера. Сравнения. Теорема Эйлера. Полная и приведенная системы вычетов. Обратный элемент по модулю. Решение сравнений 1 степени с 1 неизвестным.Тема 2: Дискретное логарифмирование в Zp.
Криптосистемы Диффи-Хэллмана, Шамира, Эль-Гамаля. Метод прямого поиска. Метод «шаг младенца-шаг великана». Ро-метод Полларда. Метод Полига-Хэллмана. Метод исчисления порядка. Контрольная работа.Модуль 2.
Тема 3: Эллиптические кривые.
Построение группы точек на эллиптической кривой. Операции над точками эллиптической кривой. Генератор кривой. Алгоритм Схоуфа.Тема 4: Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой
Алгоритмы дискретного логарифмирования на эллиптической кривой. Сложность алгоритма дискретного логарифмирования на эллиптической кривой. Контрольная работа.Модуль 3.
Тема 5: Криптографические алгоритмы на эллиптической кривой.
Переход от криптосистемы Шамира к криптосистеме Шамира на эллиптической кривой. Реализация криптосистемы Эль-Гамаля на эллиптической кривой.Тема 6: Криптографические стандарты и протоколы на эллиптической кривой.
Компьютерная реализация стандарта – выполнение расчетной работы по вариантам в группах. Компьютерная реализация стандарта – выполнение расчетной работы по вариантам в группах (продолжение). Компьютерная реализация протокола на эллиптической кривой – выполнение расчетной работы по вариантам в группах. Компьютерная реализация протокола на эллиптической кривой – выполнение расчетной работы по вариантам в группах (продолжение).7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица5.
№ | Модули и темы | Виды СРС | Неделя семестра | Объем часов | Кол-во баллов |
| |
Обязательные | дополни-тельные |
| |||||
Модуль 1 |
| ||||||
1 | Основы теории чисел | Конспектирование материала на лекционных занятиях. Выполнение домашних зада-ний. Подготовка к контрольной работе и собеседованию. | Работа с учебной литературой. Подготовка к собеседованию | 1-3 | 24 | 0-13 |
|
2 | Дискретное логарифмирование в Zp | Конспектирование материала на лекционных занятиях. Подготовка к коллоквиуму и контрольной работе. Выпол-нение домашних заданий. | Работа с учебной литературой | 4-6 | 24 | 0-20 |
|
Всего по модулю 1*: | 48 | 0-33 |
| ||||
Модуль 2 | |||||||
3. | Эллиптические кривые. | Конспектирование материала на лекционных занятиях. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе и собеседованию. | Работа с учебной литературой | 7-9 | 20 | 0-13 | |
4. | Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой. | Конспектирование материала на лекционных занятиях. Подготовка к коллоквиуму и контрольной работе. Выполнение домашних заданий. | Работа с учебной литературой | 10-12 | 20 | 0-20 | |
Всего по модулю 2*: | 40 | 0-33 |
| ||||
Модуль 3 | |||||||
5. | Криптографические алгоритмы на эллиптической кривой. | Конспектирование материала на лекционных занятиях. Выполнение домашних заданий. Подготовка к расчетной работе и собеседованию. | Работа с учебной литературой | 13-14 | 28 | 0-14 | |
6. | Криптографические стандарты и протоколы на эллиптической кривой. | Конспектирование материала на лекционных занятиях. Подготовка к коллоквиуму и расчетной работе. Выполнение домашних заданий. | Работа с учебной литературой | 15-18 | 28 | 0-20 | |
Всего по модулю 3*: | 56 | 0-34 |
| ||||
ИТОГО*: | 144 | 0-100 |
| ||||
*- с учетом иных видов работы
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Вопросы к коллоквиуму совпадают с вопросами к экзамену, приведенными в п.10.3 и выбранными в соответствии с модулем, в котором проводится коллоквиум.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Се-местр | Дисциплина | ПК-1 | ПК-2 | ПК-4 | ПК-9 | |
С.1-С.3. Дисциплины. | 1 семестр | Дискретная математика* | + | + | ||
Информатика* | + | + | ||||
Математический анализ* | + | + | ||||
История математики | + | |||||
2 семестр | Правоведение* | + | ||||
Алгебра и геометрия* | + | |||||
Математический анализ* | + | + | ||||
Аппаратные средства вычислительной техники* | + | + | ||||
Основы информационной безопасности* | + | + | ||||
3 се-местр | Алгебра и геометрия* | + | ||||
Аппаратные средства вычислительной техники* | + | + | ||||
4 се-местр | Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных | + | ||||
Теория вероятностей и математическая статистика* | + | + | ||||
6 се-местр | Безопасность операционных систем | + | ||||
Технологии защищенного документооборота | + | |||||
Эллиптические кривые и защита информации | + | + | + | + | ||
7 семестр | Организационные и правовые основы информационной безопасности* | + | ||||
Безопасность IP-телефонии | + | |||||
Безопасность Wi-Fi сетей | + | |||||
8 се-местр | Управление IT-проектами по информационной безопасности. | + | ||||
С.5. практи-ки | Учебная практика | + | + | + | + | |
Производственная практика | + | + | + | + | ||
С.6. ИГА | Выпускная квалификационная работа | + | + | + |
*отмечены дисциплины базового цикла.
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции | Результаты обучения в целом | Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП | Виды занятий | Оценочные средства | ||
минимальный (удовл.) 61-75 баллов | базовый (хор.) 76-90 баллов | повышенный (отл.) 91-100 баллов | ||||
ПК-1 | Знает: понятие конечных групп и полей; Умеет: производить вычисления в конечных полях и группах; Владеет: навыками эффективных расчетов. | Знает: понятие группы, конечной группы, группы вычетов, группы точек эллиптической кривой. Умеет: производить сложение и умножение, находить противоположный и обратный элементы в Zp и группе точек эллиптической кривой. Владеет: навыками эффективных расчетов в системе вычетов. | Знает: свойства конечных групп и полей. Умеет: производить вычисления в Zp и группе точек эллиптической кривой. Находить точки и генератор, порядок группы точек, дискретные логарифмы. Владеет: навыками эффективных расчетов в системе вычетов и группе точек эллиптической кривой. | Знает: понятие и свойства группы, конечной группы, группы вычетов, группы точек эллиптической кривой. Умеет: производить вычисления в Zp и группе точек эллиптической кривой. Находить параметры эллиптической кривой, осуществлять дискретное логарифмирование эффективными алгоритмами. Владеет: навыками эффективных расчетов в системе вычетов и группе точек эллиптической кривой, вычисления дискретных логарифмов. | Лекции, практические занятия | Расчетная работа, контрольная работа, коллоквиум |
ПК-2 | Знает: группы точек на эллиптической кривой; Умеет: получить ключевую информацию и параметры эллиптической кривой; определить свойства эллиптической кривой; Владеет: навыками программной реализации криптографических алгоритмов; | Знает: понятие группы точек эллиптической кривой. Умеет: находить большие простые числа. Владеет: навыками программной реализации тестов на простоту числа и навыками программной реализации операций над точками эллиптической кривой с малым модулем. | Знает: свойства конечной группы точек эллиптической кривой. Умеет: получить ключевую информацию и параметры эллиптической кривой; Владеет: навыками программной реализации операций над точками эллиптической кривой. | Знает: понятие и свойства группы, конечной груп-пы, группы выче-тов, группы то-чек эллиптичес-кой кривой. Умеет: получить ключевую информацию и параметры эллиптической кривой; определить свойства эллиптической кривой; Владеет: навыка-ми программной реализации опе-раций над точка-ми эллиптичес-кой кривой, криптографичес-ких алгоритмов на эллиптической кривой. | Лекции, практические занятия | Расчетная работа, контрольная работа, коллоквиум |
ПК-4 | Знает: криптографические алгоритмы на эллиптической кривой; Умеет: оценить крипто-стойкость схемы ЭЦП на эллиптической кривой; Владеет: криптографической терминологией. | Знает: криптосистемы Диффи-Хэллмана и Шамира на эллиптической кривой. Умеет: отыскать в тексте стандарта требуемый размер ключевой информации. Владеет: крип-тографической терминологией на базовом уровне в рамках стандартов ГОСТ. | Знает: основные криптосистемы на эллиптической кривой и стандарт ГОСТ Р 34.10-2012. Умеет: верно определять требуемый размер ключевой информации для схемы. Владеет: криптографической терминологией на базовом уровне на русском языке. | Знает: основные криптосистемы, стандарты и протоколы на эллиптической кривой. Умеет: верно определять требуемый размер ключевой информации, трудоемкость дискретного логарифмирования. Владеет: крипто-графической терминологией на базовом уровне на русском и английском языках. | Лекции, практические занятия | Расчетная работа, контрольная работа, коллоквиум. |
ПК-9 | Знает: крипто-графические стандарты; ос-новные схемы цифровой подписи. Умеет: использовать стандарты схем на эллиптической кривой для защиты информации. Владеет: навыками применения алгоритмов, основанных на теоретико-числовых принципах, к вопросам построения криптосистем и их анализу. | Знает: наименования и назначение отечественных стандартов ЭЦП. Умеет: определять область применения ГОСТов. Владеет: навыками применения отечественных стандартов на ЭЦП к проектированию криптографической системы. | Знает: внутреннее содержание отечественных криптографических стандартов и ЭЦП Эль-Гамаля на эллиптической кривой. Умеет: определять применимость того или иного отечественного стандарта или РД. Владеет навыками применения алгоритмов на эллиптических кривых к вопросам построения криптосистем и их анализу. | Знает: внутрен-нее содержание отечественных криптографических стандартов, их характеристики по сравнению с зарубежными, основные крипто-системы, стан-дарты и прото-колы на эллипти-ческой кривой. Умеет: приме-нять на практике отечественные стандарты и РД. Владеет: навыка-ми применения алгоритмов, осно-ванных на теоре-тико-числовых принципах, к воп-росам построения криптосистем и их анализу. | Лекции, практические занятия. | Расчетная работа, собеседования. |
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вопросы к экзамену
Основные понятия теории чисел. Теорема делимости. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. Цепные дроби и алгоритм Евклида. Наименьше общее кратное. Простые числа. Теоремы Евклида о простых числах. Решето Эратосфена. Основные свойства простых чисел. Теорема о единственности разложения на простые сомножители. Функция Эйлера, ее свойства. Сравнения. Свойства сравнений. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Алгебраические свойства, обратный элемент. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Следствие. Сравнения с одним неизвестным 1-й степени. Квадратичные сравнения по простому модулю. Символ Лежандра и его свойства. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. Задача дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска. Ро-метод Полларда дискретного логарифмирования. Алгоритм Полига-Хеллмана. Метод «Шаг младенца-шаг великана». Метод исчисления порядка. Эллиптическая кривая над полем вещественных чисел. Групповой закон для точек эллиптической кривой. Эллиптическая кривая в форме Вейерштрасса. Эллиптические кривые над полями характеристики 2. Эллиптические кривые над полями нечетной характеристики. Эллиптическая кривая над полем Zp. Группа точек эллиптической кривой. Мультипликативная операция над точками кривой. Быстрая редукция. NIST-кривые. Порядок и генератор эллиптической кривой. Теорема Хассе. Алгоритм Схоуфа (Шуфа). Задача дискретного логарифмирования на эллиптической кривой и ее использование в криптографии. Пример построения криптосистемы на эллиптической кривой – шифр Шамира. Алгоритм Шенкса на эллиптической кривой. Ро-метод Полларда на эллиптической кривой. Алгоритм ECDH (Диффи-Хэллмана). Криптосистема Эль-Гамаля на эллиптической кривой. Стандарт ECDSA. Стандарты ГОСТ Р 34.10-2001 и ГОСТ Р 34.10-2012. Протокол ECMQV (Менезеса-Кью-Ванстоуна). Факторизация Ленстры на эллиптических кривых.Пример варианта контрольной работы №1
1. Вычислить НОД(a, b) двумя способами: алгоритмом Евклида с делением с остатком и бинарным алгоритмом Евклида. Сравнить количество итераций для этих алгоритмов.
а) a=18, b=35; б) a=329, b=826; в) a=26, b=738; г) a=288, b=15.
2. Определить, являются ли числа a, b, c взаимно простыми? Попарно простыми?
а) a=13, b=17, c=15; б) a=105, b=91, c=26; в) a=22, b=121, c=209.
3. Вычислить функцию Эйлера от следующих чисел:
а) 13; б) 17; в) 9; г) 16; д) 6; е) 24; ж) 227; з) 725; и) 94836.
4. Выписать абсолютно наименьший и наименьший неотрицательный вычеты числа a по модулю b (понижать степени, пользуясь теоремой Эйлера), где
а) a=2, b=15; б) a=13, b=20; в) a=26, b=7; г) a= –10 , b=5;
д) a=1210, b=7; е) a=513, b=9; ж) a=144, b=12; з) a= (2)101, b=165.
5. Выписать полную и приведенную системы наименьших неотрица-тельных вычетов по следующим модулям:
а) 7; б) 16; в) 17; г) 21; д) 20; е) 5.
6. Верны ли следующие сравнения?
а) 16º3(mod 13); б) -1º1(mod 5); в) -3º5(mod 8); г) 32º0(mod 4).
7. Вычислить a-1 mod b, если таковой существует, где
а) a=18, b=35; б) a=3, b=256; в) a=16, b=89; г) a=21, b=15.
8. Решить сравнения
а)7xº3(mod 13); б)-15xº15(mod 35); в)35xº5(mod 24); г)18xº13(mod 81).
Пример варианта контрольной работы №2
1. Вычислить символ Якоби:
а) 
; b) 
; c) 
; d) 
; e) 
; f) 
.
2. Выяснить, сколько решений имеет сравнение, не решая его.
a) x2º20 (mod 31); b) x2º21 (mod 49); c) x2º2 (mod 55); d) x2º89(mod 160).
3. Решить квадратичные сравнения
a) x2º13 (mod 23); b) x2º24 (mod 53); c) x2º10 (mod 41).
Пример варианта контрольной работы №3.
1. Сколько порождающих элементов в Z*m? Найти порождающий элемент, если они существуют.
а) m=214; б) m=85; в) m=202; г) m=23; д) m=343.
2. Какие из чисел 2, 3, 4, m-2, m-3, m-4 являются порождающими элементами Z*m?
а) m=11; б) m=46; в) m=242; г) m=169; д) m=280.
3. Вычислить log23(mod 101–1) методом «шаг младенца–шаг великана».
4. Вычислить log 6 5 (mod 103–1) ро-методом.
5. Вычислить log 5 2 (mod 97–1) методом Полига-Хэллмана.
6. Вычислить log 5 71 (mod 73–1) методом исчисления порядка.
Пример варианта контрольной работы №4.
1. Построить группу точек эллиптической кривой y2º2x3+3x+9 (mod 11), определить ее порядок.
2. Найти порядки трех произвольных точек. Найти генератор кривой. Вычислить значения точек A+B, 2A, 3A, где A(0,3), B(1,5).
3. Вычислить LOGB A на этой эллиптической кривой ро-методом.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
К экзамену допускаются студенты, набравшие за семестр 35 баллов. Экзамен проходит в традиционной форме, по билетам. В билете – 2 теоретических вопроса и задача. Для получения оценки «удовлетворительно» студентом должен быть сделан ответ на 1 вопрос из билета, в общем раскрывающий тему и не содержащий грубых ошибок. Ответ студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой темы и ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами.
Для получения оценки «хорошо» студент должен ответить на оба вопроса билета и решить задачу. Ответ должен раскрывать тему и не содержать грубых ошибок. Ответ студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой темы и ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами специальности, может воспроизвести общую схему описываемого криптографического алгоритма, или условие теорем. Может привести пример по описываемой теме. Ответ может содержать небольшие недочеты, допускается отсутствие доказательств теорем, подробного описания транзакций протоколов, если приведена их суть. Решение задачи должно быть в целом верным, допускаются небольшие вычислительные или алгоритмические ошибки при условии, что после указания на них, студент может исправить их самостоятельно.
Для получения оценки «отлично» студент должен ответить на оба вопроса билета и решить задачу. Ответ должен быть подробным, в полной мере раскрывать тему и не содержать грубых или существенных ошибок. Каждый вопрос должен сопровождаться примерами. В ответе должны быть приведены доказательства всех теорем и(или) подробное описание транзакций протоколов. Решение задачи должно быть верным и не содержать ошибок.
11. Образовательные технологии.
В учебном процессе используются такие виды учебной активности, как лекционные и семинарские занятия, конспектирование, решение задач индивидуально и в группах под руководством преподавателя, выполнение расчетных работ в группах. Домашние работы студентов обсуждаются на собеседованиях по заданной теме, знание теоретического материала проверяется на коллоквиумах. Предусмотрены контрольные работы.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
1. Иванов М. А. Криптографические методы защиты информации в компьютерных системах и сетях [Электронный ресурс]: учебное пособие /, – М.: МИФИ, 2012. – 400 с. - Режим доступа: http://www. biblioclub. ru/book/231673/ (дата обращения: 01.09.2014);
2. Кнауб, Л. В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс]: учебное пособие/ , , – Красноярск: СибФУ, 20с. Режим доступа: http://biblioclub. ru/index. php? page=book&id=229582 (дата обращения: 01.09.2014).
12.2 Дополнительная литература:
Теоретико-числовые методы в криптографии: сб. заданий: учеб.-метод. пособие, Ч.2. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ– 40 с. Теоретико-числовые методы в криптографии: сб. заданий: учеб.-метод. пособие, Ч.3. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ – 40 с.3. Фирдман, И. А. Теоретико-числовые алгоритмы и их применение в криптографии [Электронный ресурс]: сборник задач/ . - Омск: Омский государственный университет, 20с. Режим доступа: http://biblioclub. ru/index. php? page=book&id=238201 (дата обращения: 01.09.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
- вузовские электронно-библиотечные системы учебной литературы.
- доступ к открытым базам цитирования, в т. ч. , scholar. , math-net. ru
- A. Menezes, P. van Oorschort, S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography – CRC Press Inc., 5th Printing, 2001 [On-line] http://www. cacr. uwaterloo. ca/hac/
- http://www.ietf.org/rfc.html [On-line] - документы IETF – инженерного совета Интернета.
- http://www. iacr. org/
- http://www. gost. ru/
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
- Visual Studio;
- MS Excel или Open Office Calc.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
-компьютерный класс.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для подготовки к собеседованиям и коллоквиумам необходимо пользоваться конспектом лекций и [1,2] из списка основной литературы. Для выполнения расчетных работ на практических занятиях следует использовать [1-2] из списка дополнительной литературы. [3] из списка дополнительной рекомендуется использовать как справочную. Для получения расширенных и углубленных знаний по тематике рекомендуется пользоваться ссылками из списка интернет-ресурсов, приведенных в данном УМК, а также электронными и бумажными номерами научных журналов, имеющихся в ИБЦ, областной научной библиотеке и сети интернет. Особенное внимание рекомендуется обратить на издания «Математические вопросы криптографии», «Прикладная дискретная математика», материалами конференций RealWorldCrypto, Crypto, Eurocrypt, Rusсrypt, Sibeсrypt, Asiacrypt.
