Измерение спектра и формы детерминированных сигналов (стр. 3 )

Простейшая струк­турная схема диспер­сионного анализатора спектра состоит из смесителя См, на ко­торый подается исследуемый сигнал ис и сигнал качаю­щейся частоты от ГКЧ. Выходной сигнал смесителя уси­ливается широкополосным усилителем ШУПЧ промежуточ­ной частоты и поступает на дисперсионную линию задерж­ки ДЛЗ. На выходе ДЛЗ появляются частотные составляю­щие исследуемого импульса, которые поступают в канал У осциллографического индикатора. В канал X для развертки луча по горизонтали подается пилообразное напряжение от генератора развертки, которое одновременно и синхронно модулирует частоту ГКЧ. Благодаря этому горизонталь­ная линия развертки является осью частот.

При импульсных сигналах запуск генератора раз­вертки и ГКЧ происходит в момент поступления импульса и он анализируется в течение одного хода луча, поэтому при трубке с достаточным послесвечением спектрограмма сохраняется в течение некоторого интервала времени, достаточного для фотографирования и рассмотре­ния. При периодически повторяющихся импульсах можно не только измерить спектрограмму, но и оценить происходящие изменения спектра от импульса к импульсу. При анализе спектра непрерывных сигналов ГК. Ч и ГР работают в периодическом режиме и часть спектра, при­ходящаяся на интервал времени обратного хода луча, теряется. Сигнал непрерывный разбивается на некоторые реализации длительностью τ, равной длитель­ности прямого хода.

Основное преимущество анализаторов с дисперсионной линией заключается в их большем быстродействии по срав­нению с анализаторами последовательного действия с узко­полосными фильтрами.

Цифровой анализ спектра

Бурное развитие цифровой вычислительной техники дало толчок для соз­дания цифровых анализаторов спектра. Цифровой метод анализа спектра состоит в преобразовании исследуемого сигнала в цифровой код и вычисле­нии составляющих спектра с помощью специализированных микропроцес­соров. Цифровые анализаторы спектра по совокупности дискретных отсчетов (выборок) аналогового сигнала вычисляют спектральную плотность путем замены интеграла на конечную сумму из некоторого числа выборок. Такие вычисления осуществляются с помощью алгоритмов дискретного и быстрого преобразований Фурье.

Алгоритм дискретного преобразования Фурье

Если сигнал u(t) со спектральной плотностью S(co) , яв­ляющийся непрерывной функцией времени в некотором ограниченном ин­тервале 0...ТИ, дискретизирован в соответствии с теоремой Котельникова и отражен своими N отсчетами {u(kAf)} = {щ} с частотой дискретизации юи = 2я /Ги = 2n/(NAt), то его можно представить в виде дискретного преобра­зования Фурье (ДПФ).

Спектр процесса, полученный численными методами в виде конечных сумм дискретных решетчатых функций (ДПФ), отличается от спектра, вы­численного интегральными преобразованиями. Спектр ДПФ непре­рывного сигнала периодически размножен: повторяется по оси частот с пе­риодом, равным частоте следования отсчетов. Алгоритм дискретного преоб­разования Фурье имеет вид:

где С„ — комплексные гармонические составляющие исследуемого спектра; W = TJAt — необходимое число отсчетов, отвечающих требованиям теоремы Котельникова; п = 0, 1, 2,..., (N1— номер спектральной составляющей.

Это фундаментальное для дискретных сигналов соотношение показано графически на рис. Дискретное преобразование Фурье по существу представляет собой алгоритм цифрового вычисления гармонических состав­ляющих спектра С„ по заданным дискретным отсчетам щ аналогового сигна­ла u(t), что значительно сокращает время и объем обработки.

Быстрое преобразование Фурье

Большое время вычислений спектра препятствовало распространению цифровых методов спектрального анализа. Многократно сократить число операций позволяет быстрое преобразование Фурье (БПФ), обеспечивающее более скоростное и эффективное цифровое вычисление ДПФ. В основу алго­ритма положен принцип разбиения (прореживания во времени, или децимации — от греч. деци — доля) заданной последовательности отсчетов дис­кретного сигнала на ряд промежуточных последовательностей (подпоследо­вательностей). При этом число дискретов N разделяют на множители (на­пример, N = 8 = 2 2 2, N = 60 = 3 • 4 ■ 5). Затем определяют спектры этих промежуточных последовательностей и через них находят спектр всего сиг­нала. В зависимости от состава, числа и порядка следования множеств мож­но создать различные алгоритмы БПФ. В цифровой технике удобнее обраба­тывать сигнальные последовательности с числом отсчетов N, являющимися степенью с основанием два (4, 8, 16 и т. д.). Это позволяет многократно де­лить входную последовательность отсчетов на более мелкие подпоследова­тельности.

Пусть требуется вычислить ДПФ входной последовательности дискрет­ного сигнала {u(k∆t)} = {uk}, имеющей четное число отсчетов (рис. а), причем N = 2г где г — целое число (если это условие не выполняется, то по­следовательность искусственно дополняют нулями до требуемого значения N). Представим входную последовательность в виде двух подпоследователь­ностей с четными и нечетными номерами и половинным числом членов в каждой (рис. б, в):

Коэффициенты ДПФ для подпоследовательностей с четными и нечетны­ми номерами запишем отдельно:

Коэффициенты С„ результирующего ДПФ входной последовательности можно выразить через параметры С„ „ и С„ т двух вновь введенных подпос­ледовательностей. Из последней формулы нетрудно заметить, что в диапазо­не номеров отсчетов от 0 до N/2-l, ДПФ входной последовательности опре­деляется соотношением

Так как ДПФ четной и нечетной подпоследовательностей являются пе­риодическими, имеющими период следования N12 то:

Запишем экспоненциальный множитель в формуле (11.10) при п = N12, т. е. для ДПФ С(дга + п)т, в виде:

С учетом двух последних выражений находим ДПФ входной последова­тельности для отсчетов с номерами отN12 до TV - 1:

Соотношения (11.10) и (11.11) представляют алгоритмы БПФ. Отме­тим, что экспоненциальные фазовые множители e~j2™IN в этих алгоритмах учитывают влияние сдвига нечетной подпоследовательности относитель­но четной

Чтобы еще уменьшить число вычислений, четную и нечетную подпосле­довательности также разбивают на две промежуточные части. Разбиение продолжают вплоть до получения простейших двухэлементных последова­тельностей. Определив ДПФ данных простейших пар отсчетов, можно вы­числить ДПФ четырехэлементных, восьмиэлементных и так далее подпосле­довательностей. При объединении ДПФ четной и нечетной подпоследова­тельностей используют алгоритмы и (11.11), подставляя в них соот­ветствующие значения номеров Nw. n

Можно заметить, что вычисление по формулам (11.9) не потребует опе­раций умножения, а только сложение и вычитание комплексных чисел. Учи­тываться же должны лишь операции умножения в алгоритмах (11.10) и (11.11) для различных п при разбиениях массива отчетов на мелкие подпос­ледовательности. Число этих операций при первом разбиении составляло N12. Тоже же число N12 операций требуется выполнить при каждом следую­щем разбиении. Итак, вдвое увеличивается число подпоследовательностей и вдвое сокращается наибольшее число п в формулах (11.10) и (11.11).

Вычисление коэффициентов ДПФ последовательности из N отсчетов по алгоритмам БПФ требует совершения примерно Nlog2N операций умноже­ния Алгоритмы БПФ сокращают число операций по сравнению с алгорит­мами ДПФ в N2I{N \og2N) = N/(log2N) раз. В частности, при количестве отсчетов N = 210, имеем log2iV = 10 и сокращение числа операций составляет N/(\og2N)« 100. При очень больших массивах отсчетов входного сигнала вы­игрыш в скорости обработки может достигать нескольких тысяч.

Упрощенная струк­турная схема цифрового анализатора спектра, реали­зующая один из алгоритмов БПФ, показана на рис.

В схеме используются процессоры БПФ с каскадной структурой органи­зации параллельной работы и содержатся q = log2N арифметических уст­ройств (АУ,), а также q -1 блоков памяти (БПi) емкостью 2i комплексных слов каждый. В режиме реального времени все N отсчетов обрабатываемой группы через устройство ввода-вывода информации (УВВ) поступает в опе­ративное запоминающее устройство (ОЗУ). Последним тактом ввода группы отсчетов к ОЗУ последовательно подключаются арифметические устройства, которые осуществляют обработку информации в соответствии с заданным алгоритмом БПФ. Служебная информация о комплексных весовых коэффи­циентах exp(-j2πnk/N) вводится в арифметические устройства из постоянного запоминающего устройства (ПЗУ).

Вывод результатов обработки осуществляется непосредственно из АУ. Синхронизация работы всех устройств цифрового анализатора спектра вы­полняется командами, вырабатываемыми устройством управления (УУ).

Цифровые анализаторы спектра

Современный цифровой анализатор представляет собой качественно но­вый тип аппаратуры, в которой специфические функции многочисленных приборов моделируются с помощью набора компьютерных программ: для изменения характера функционирования достаточно вызвать соответствую­щую программу обработки без аппаратурной перестройки устройств. Ком­плекс программ современного цифрового анализатора спектра позволяет со­четать в одном приборе практически все функциональные возможности, не­обходимые для всестороннего исследования параметров различных сигналов и процессов.

Принцип действия цифрового анализатора спектра основан на вычисли­тельных процедурах определения параметров и характеристик различных сигналов и процессов. В функциональные возможности современного циф­рового анализатора заложены следующие алгоритмы:

• восстановление сигнала по его спектру, т. е. вычисление обратного пре­образования Фурье;

• анализ и синтез характеристик электрических цепей: определение им­пульсных (реакция цепи на элементарные сигналы), передаточных и фазовых характеристик цепей с сосредоточенными параметрами (постоянными); ана­лиз диаграмм Вольперта-Смитта (характеристики и параметры цепей с рас­пределенными постоянными); устойчивость цепей со звеньями обратных связей — анализ диаграммы (критерия устойчивости) Найквиста;

• цифровая обработка и фильтрация сигналов и вычисление произведения спектров (операция, обратная свертке);

• корреляционный анализ детерминированных и случайных сигналов: вы­числение корреляционных и взаимокорреляционных функций; определение фазовых соотношений сигналов (идентификация сигналов);

• спектральный анализ периодических, импульсных и случайных сигна­лов: анализ квадратурных составляющих — определение модуля спектра, фазового спектра, комплексного спектра; определение спектра мощности случайного процесса и его функции когерентности; вычисление взаимного спектра; усреднение спектра по полосе частот; определение кепстра сигналов — так называемый обобщенный или гомоморфный (гомоморфизм — неодно­значность) линейный анализ мультипликативных сигналов;

• измерение параметров сигналов (амплитуды, частоты, фазы, коэффици­ента или индекса модуляции, девиации (отклонения) частоты сигналов; опре­деление параметров импульсных сигналов — амплитуды, длительности, дли­тельностей переднего и заднего фронтов, периода следования и т. д.);

• анализ статистических характеристик случайных процессов; построение гистограмм (столбчатых распределений величин) мгновенных значений сиг­налов; определение одномерной плотности вероятности и интегральной функции распределения случайных процессов, характеристической функции.

Структурная схема современного цифрового анализатора спектра приве­дена на рисунке.

Исследуемые аналоговые сигналы по одному (А) или двум (А, Б) каналам подаются на соответствующие усилители с переменным коэффициентом уси­ления, которые приводят различные уровни входных сигналов (от 0,01 до 10 В) к стандартному значению, необходимому для нормальной работы последую­щих трактов. Затем сигналы поступают на ФНЧ, в котором выделяется поло­са частот, подлежащая анализу. По команде исследователя фильтр может быть выключен. С выхода фильтров сигналы поступают на АЦП, где они преобразуются в параллельный десятиразрядный двоичный код. Возможна работа как одного, так и обоих каналов. В последнем случае выборки мгно­венных значений сигнала проходят одновременно по обоим каналам, что по­зволяет сохранить в цифровом коде информацию о фазовых соотношениях сигналов, необходимую для измерения взаимных характеристик.

Частота выборки определяется кварцевым генератором и может изме­няться исследовате­лем в пределах 0,2кГц. Эта частота определяет отсчетный масштаб прибора во временной и частотной областях.

Тракт прохож­дения исследуемого сигнала от входа усилителей до выхода АЦП имеет калиброванные значения коэффициента передачи во всем диапа­зоне частот и уровней напряжений. Информация о значении коэффициента передачи и частота выборки вводятся в цифровое вычислительное устройст­во (микропроцессор) и учитываются при формировании конечного результа­та. Микропроцессор работает в соответствии с заложенной в него програм­мой. Программа состоит из ряда подпрограмм, организующих ту или иную вычислительную операцию (вычисление спектра, корреляционной функции, построение гистограммы и т. д.). Вызов необходимой подпрограммы осуще­ствляется с устройства управления. Результаты вычислений выводятся на индикаторное или регистрирующее устройство, в качестве которого может быть использован цифровой графопостроитель, принтер, цифровой магнито­фон, дисковый накопитель, осциллограф или самописец. Отметим, что по­следние два подключаются через ЦАП. Все результаты сопровождаются масштабным коэффициентом для перевода их в физические единицы.

При анализе сигналов, представленных в цифровом виде (в виде числово­го ряда), данные вводятся непосредственно в цифровое вычислительное уст­ройство с помощью устройства ввода цифровых данных с наборного табло пульта управления в десятичном коде.

Основные режимы работы цифрового анализатора спектра:

спектральный, статистический и корреляционный анализ;

измерение амплитудного и фазового спектров;

измерение передаточных функций электрических сигналов;

измерение свертки двух сигналов;

измерение спектра мощности, взаимного спектра;

измерение корреляционных функций;

измерение гистограмм амплитуд.

Анализаторы спектра на цифровых фильтрах

Внедрение цифровых методов обработки сигналов в измерительной технике привело к созданию эффективных и высокоскоростных анализаторов спектра на цифровых фильтрах. Цифровой фильтр имеет стабильную частотную характери­стику, не нуждается в подстройке, компенсирующей неточности из-за старения элементов и его универсальность намного выше аналогового фильтра. При пере­стройке цифрового фильтра нет необходимости менять элементы, а достаточно его перепрограммировать. Однако главное преимущество цифровой фильтрации в измерительной технике — применение высокоточных цифровых детекторов и устройств усреднения (цифровых интеграторов). Цифровой детектор измеряет практически истинное среднее квадратическое значение анализируемого сигнала без ограничений, связанных с его амплитудным значением.

Цифровое устройство усреднения, обеспечивающее усреднение анализи­руемого сигнала по линейному и экспоненциальному (или показательному) законам, отличается универсальностью и эффективностью, недостижимым для аналоговых усредняющих устройств.

Цифровая обработка сигналов в анализаторах спектров

Одним из важнейших методов цифровой обработки сигналов в современ­ной измерительной технике и, в частности, в анализаторах спектров, является цифровая фильтрация. Она заключается в цифровом преобразовании последо­вательности числовых отсчетов входного сигнала {u(k∆t)} = {uk} в последова­тельность числовых отсчетов {у(k∆t)} = {ук} выходного сигнала.

Рассмотрим упрощенную структурную схему цифровой обработки сиг­налов. Непрерывный сигнал uвх(t) = uвх (далее аргумент t опущен) поступает на вход АЦП, на выходе которого создается цифровой код в виде двоичного числа {u(k∆t)} = {uт} = uт с фиксированным количеством разря­дов, соответствующий дискретным отсчетам входного сигнала.

Последовательность закодированных определенными цифрами отсчетов {uт} поступает в цифровой фильтр (ЦФ), представляющий собой, по сути дела, специализированный микрокомпьютер (раннее название — спецвычис­литель). В цифровом фильтре осуществляется цифровая обработка сигнала в соответствии с определенным алгоритмом, в результате чего на его выходе по­являются новые цифровые коды, соответствующие про­фильтрованному входному сигналу.

Обычно обрабатываемый сигнал с цифрового фильтра поступает на ЦАП, в котором цифровая форма сигнала преобразуется в аналоговую. Однако в измерительной технике часто используется преобразованный сиг­нал непосредственно в цифровой форме и при этом необходимость в ЦАП отпадает. Если же ЦАП включен в схему обработки, то на его выходе необхо­дим синтезирующий фильтр (СФ) низкой частоты (по существу это ФНЧ), который будет производить сглаживание полученного аналогового сигнала. В результате сглаживания форма кривой выходного сигнала uBax(t) = uвых стано­вится плавной, а не ступенчатой.

Структурные схемы линейных цифровых фильтров

Цифровые фильтры делятся на два больших класса: нерекурсивные и ре­курсивные. Термин рекурсивный связан с известным математическим прие­мом — рекурсией — циклическим обращением к вычисленным данным, по­лученным на предыдущих этапах математических операций. Подробно о цифровых фильтрах в курсе схемотехники.

Измерение нелинейных искажений

Измерение ряда величин, характеризующих параметры сигналов или электрических цепей, осуществляют с помощью приборов, которые по по­строению аналогичны анализаторам спектра. К таким характеристикам относятся нелинейные искажения, которые возникают в цепях с нелинейной ам­плитудной характеристикой. При прохождении по таким цепям колебания теряют синусоидальную форму (искажаются) и в их спектре появляются высшие гармоники.

Возникающие при нелинейных искажениях гармоники можно исследо­вать и измерить с помощью анализаторов спектра. Известны несколько количественных показателей уровня нелинейных искажений. Наибольшее распространение получил такой показатель как коэффициент нелинейных искажений (коэффициент гармоник), представляющий собой отношение среднего квадратического значения всех высших гармоник напряжения (или тока)

к среднему квадратическому значению его первой гармоники U1.

Для измерения относительного значения напряжения гармоник можно использовать анализатор спектра, если его разрешающая способность позво­ляет наблюдать раздельно спектральные составляющие. Если детектор ана­лизатора линейный, то вместо напряжений U1, U2,..., Un можно подставить значения их амплитуд, измеренных на экране анализатора в единицах длины.

Существуют специальные приборы, измеряющие коэффициент нели­нейных искажений, называемые измерителями нелинейных искажений.

Упрощенная структурная схема аналого-цифрового измерителя нели­нейных искажений.

В основе измерительной методики таких приборов лежит метод по­давления основной частоты исследуемого сигнала.

Входное устройство служит для согласования измерительного прибора с источником исследуемого сигнала. Перед измерением переключатель Кл ста­вят в положение Калибровка. Затем с помощью усилителя уровень исследуе­мого напряжения повышают до такого фиксированного значения, при кото­ром электронный цифровой вольтметр среднего квадратического значения будет проградуирован в величинах коэффициента нелинейных искажений. При этом измеряется среднее квадратическое значение напряжения всего исследуемого сигнала

Затем переключатель Кл прибора ставят в положение Измерение. На­страивая заграждающий фильтр, подавляют напряжение основной частоты (первой гармоники U1). Полное подавление гармоники U1, будет при мини­мальном показании прибора. В этом случае цифровой вольтметр показывает среднее квадратическое значение суммы высших гармонических составляю­щих сигнала Uг.

Сравнивая показания во втором и первом случаях, находят коэффициент гармоник

Практически при положении переключателя Кл Измерение будет изме­ряться коэффициент Кг1. При этом коэффициент гармоник Кг можно вычис­лить как:

При небольших нелинейных искажениях исследуемого сигнала (Кг<0,1) коэффициенты Кт и Кт1 отличаются меньше чем на 1 %. Обычно измерите­ли нелинейных искажений применяются для измерения коэффициента гар­моник Кт в пределах 0,1...30 %, в диапазоне частот от 0,01 кГц до 25 МГц и более.

Контрольные вопросы

1. Для каких целей используется спектральный анализ сигналов?

2. Какой физический смысл лежит в основе прямого и обратного преобразова­ний Фурье?

3. Как аналитически записываются прямое и обратное преобразования Фурье?

4. На чем основан параллельный и последовательный анализ спектра исследуемых сигналов?

7. Как выглядит упрощенная структурная схема анализатора параллельного действия?

8. Что называется разрешающей способностью анализатора?

9. Как разрешающая способность связана с полосой пропускания фильтра анали­затора?

10. Какова упрощенная структурная схема анализатора спектра последовательно­го типа?

11. Как связана скорость анализа с полосой пропускания анализатора?

12. Чему равно время анализа в схемах последовательного типа?

13. На чем основан принцип построения гетеродинного анализатора спектра после­довательного типа?

14. Каковы основные характеристики гетеродинного анализатора?

17. Как записывается математическое выражение для коэффициента гармоник?

18. Каков алгоритм практического определения коэффициента гармоник?