§5 Непрерывные функции

Лекция 11

§5 Непрерывные функции

Непрерывность в точке и на множестве

f определена на XÉU(x0). Эта функция называется непрерывной в точке, если

f(x)=f(x0)

Определение непрерывности в точке по Коши

"e>0$d>0"xÎ X,|x-x0|<d: |f(x)-f(x0)|<e.

Определение непрерывности в точке по Гейне

"xn,{xn}®x0, {xn} из области определения: f(xn)=f(x0)

Непрерывность справа, слева.

Непрерывность на [a, b]

Непрерывность на множестве.

Простейшие свойства непрерывных функций

1)  Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке. Следствие: Тоже на множестве.

2)  Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0Þ$U(x0):f(x)>f(x0)/2.

3)  f непрерывна в точке x0, g в x0, g(x0)¹0Þf/g непрерывна в x0.

4)  |f| непрерывна, если непрерывна f.

5)  Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция

f определена в окрестности x0 и непрерывна x0,

g определена в окрестности t0 и непрерывна t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и непрерывна в т. t0.

Классификация точек разрыва

Если f не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В дальнейшем будет предлагать, что f определена в некоторой окрестности x0 ( быть может односторонней).

Опр. Если существуют конечные пределы

f(x0-0)f(x) и f(x0+0)f(x)

и f разрывна в точке x0, то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0-0)=f(x0+0), То разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго года.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки.

Например, функция определена на [a, b]. Дать определение в точке a.

Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Если {xn}Ì[a, b] и xn=x0, то x0Î[a, b].

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a, b] функция f ограничена на [a, b].

Доказательство. Ограниченность: $M"xÎ[a, b]:|f(x)|£M. Отрицание "M$xÎ[a, b]:|f(x)|>M. В частности, "n$xnÎ[a, b]:|f(xn)|>n. Пусть {}®x0, x0Î[a, b]. Тогда, с одной стороны |f()|>nk, с другой стороны f()®f(x0).

Теорема 2. Непрерывная на [a, b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.

Доказательство. M= f(x), "n$xn:M-1/n<f(xn)£M. Пусть ®x0, x0Î[a, b], M-1/n<f()£MÞf(x0)=M.

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорема. Если непрерывная на [a, b] функция f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, то $cÎ(a, b):f(c)=0.

Доказательство. Пусть A=f(a)£0, B=f(b)³0. Последовательное деление отрезка пополам так, что f(an)£0£f(bn). Тогда

an£c£bn, bn-an®0Þ an=c= bn,

f(an)£0£f(bn)Þf(c)£0£f(c)

Следствие 1. f непрерывна на [a, b], f(a)¹f(b). Тогда для "M из промежутка f(a),f(b) $cÎ[a, b]:f(c)=M

Доказательство: A=f(a)<B=f(b), F(x)=f(x)-M

Следствие 2. f непрерывна на [a, b], m=inf f(x), M = sup f(x), тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m, M].

Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f определенная на [a, b] была непрерывна на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f заполняло целиком отрезок с концами f(a),f(b).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для "x0Î(a, b], и

для "x0Î[a, b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0Î(a, b], A=, тогда для "xÎ[a, x0):f(x)£A и для "e>0$x¢Î[a, x0):A-e<f(x¢). Следовательно, для "xÎ(x¢,x0):A-e<f(x)£A. Таким образом, первое равенство доказано.

Аналогично для предела справа. Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая на [a, b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a, b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Например, f(x0)<f(x0+0). По лемме f(x0+0)= . Имеем f(x)£f(x0) при x£x0, f(x0) < f(x0+0) £ f(x) при x>x0. Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

Непрерывность обратной функции.

Определение. Пусть f(x) определена на X, Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1), y2=f(x2). Тогда для любого yÎ Y $!xÎX:y=f(x), такое соответствие y®x называется обратной функцией и обозначается x=f-1(y).

Теорема ( существование обратной функции у монотонной )

Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a, b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.

Доказательство. Существование обратной функции следует из монотонности. Кроме того обратная функция также будет монотонной с областью значений [a, b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность.

Непрерывность элементарных функций.

1)  Непрерывность функции ax, a>0.

a) a>1, ,a=(an+1)n > nan, an<a/n

b) a<1,

Докажем, что (непрерывность в 0)

1° a> 1

Пусть {xk} типа Гейне для 0+0

a)  xk®0

b)  xk>0

Þ nk®+¥ и

далее k®¥.

Аналогично рассматривается случай x®0-0. Откуда получаем утверждение для x®0.

2° a<1, bx=1/ax, b=1/a>1

2) ax непрерывна .

3). logax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции.

4). Степенная функция y=xa. Докажем непрерывность при x>0. Имеем xa=ea ln x, далее теорема о непрерывности суперпозиции.

5).

суперпозиция непрерывной и имеющей предел функции. Аналогично доказывается, что

6)

ax -1=y, x=loga(1+y)

x®0 Û y®0

7)

(1+x)a - 1=y, a ln(1+x) = ln(1+y)

8) sin x

|sin x –sin x0|=2|sin(x-x0)/2 cos(x+x0)/2|£|x-x0|

cos x = sin(x+p/2)

tg x, ctg x, arcsin, arcos, arctg, arcctg

9) f=const, x, Pn, Rn.

§6 Равномерная непрерывность

Функция f, определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

"e>0$d>0"x¢,x¢¢ÎX,|x¢-x¢¢|<d:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e

Всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна на Х.

Обратное неверно.

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a, b] функция f равномерно непрерывна на [a, b].

Доказательство. От противного.

$e0>0"d>0$u, v Î[a, b],|u-v|<d:|f(u)-f(u)|³e0

d=1/n $un, vn,| un-vn|<1/n: |f(un)-f(vn)|³e0 (1)

По Т. Б-В $тогда и . В силу непрерывности . Таким образом

, что противоречит (1).