Эконометрика (стр. 4 )

Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.

11.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае используются определители третьего порядка, расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5.

По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по следующим формулам:

Δ = n*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σx2 + Σx*Σx3*Σx2 – Σx2*Σx2*Σx2 – Σx*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*n =

= 331.854.860,7;

Δa0 = Σy*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σ(y*x2)+ Σ(y*x)*Σx3*Σx2 – Σ(y*x2)*Σx2*Σx2 –

— Σ(y*x)*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*Σy = 751.979.368,8

Δa2 = n*Σx2*Σ(y*x2) + Σx*Σyx*Σx2 + Σx*Σx3*Σy – Σx2*Σx2*Σy – Σx*Σx*Σ(y*x2) –

- Σx3*Σ(y*x)*n = - 656.926,8

В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:

;;

Уравнение имеет следующий вид: . Для него показатель детерминации составляет 82,7%, Fфактич.= 14,3, а ошибка аппроксимации 10,6%.

Как видим, по сравнению с линейной функцией построить уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёжность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели Fфактич.= 32,8, а для параболы Fфактич.= 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка использоваться не будет.

Расчётная таблица № 5

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	11,6	7,3	84,7	134,56	1560,90	18106,39	982,3	7,8	-0,5	0,3	4,1
2	14,8	9,3	137,6	219,04	3241,79	47978,52	2037,1	9,3	0,0	0,0	0,0
3	19,0	14	266,0	361,00	6859,00	00	5054,0	11,1	2,9	8,4	21,5
4	19,1	9,4	179,5	364,81	6967,87	34	3429,2	11,2	-1,8	3,2	13,3
5	26,2	15,6	408,7	686,44	17984,73	87	10708,5	14,1	1,5	2,3	11,1
6	27,5	12,1	332,8	756,25	20796,88	06	9150,6	14,6	-2,5	6,3	18,5
7	30,0	16,3	489,0	900,00	27000,00	00	14670,0	15,6	0,7	0,5	5,2
8	37,3	16,7	622,9	1391,29	51895,12	186	23234,5	18,3	-1,6	2,6	11,9
9	39,5	20,5	809,8	1560,25	61629,88	206	31985,1	19,1	1,4	2,0	10,4
Итого	225,0	121,2	3331,0	6373,64	15	611	3	121,2	0,0	25,6	95,6
Средняя	25,0	13,5	—	—	—	—	—	—	—	2,8	10,6
Сигма	9,12	4,04
D	83,18	16,29

12.Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае, выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, в котором линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение после логарифмирования приобретает следующий вид: . Порядок расчёта приведён в табл.6.

Расчётная таблица № 6

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	11,6	7,3	2,4510	1,9879	4,8723	4,8723	2,0330	0,0020	7,6	2,2
2	14,8	9,3	2,6946	2,2300	6,0091	6,0091	2,2148	0,0002	9,2	0,7
3	19,0	14,0	2,9444	2,6391	7,7705	7,7705	2,4011	0,0566	11,0	22,2
4	19,1	9,4	2,9497	2,2407	6,6094	6,6094	2,4050	0,0270	11,1	12,6
5	26,2	15,6	3,2658	2,7473	8,9719	8,9719	2,6408	0,0113	14,0	11,9
6	27,5	12,1	3,3142	2,4932	8,2629	8,2629	2,6770	0,0338	14,5	17,8
7	30,0	16,3	3,4012	2,7912	9,4933	9,4933	2,7419	0,0024	15,5	5,9
8	37,3	16,7	3,6190	2,8154	10,1889	10,1889	2,9044	0,0079	18,3	11,9
9	39,5	20,5	3,6763	3,0204	11,1040	11,1040	2,9471	0,0054	19,1	10,4
Итого		121,2	28,3162	22,9651	73,2824	73,2824	22,9651	0,1467	120,3	95,6
Средняя		13,5	3,1462	2,5517	—	—	—	—	—	10,6
Сигма			0,3914	0,3187
D			0,1532	0,1016

В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:

12,4075;

2,5371;

9,25642.

Параметры степенной функции составляют:

; .

Уравнение имеет вид: lnY=ln a0 + a1*ln X = 0,2045 + 0,7460*X , а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:

или .

Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), Fфакт.=36,6 (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,6% (сравните с 10,9% для уравнения прямой).

Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб. на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть Xпрогнозн.= 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:Yпрогнозн. =3,415+0,402*15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 5,7% приводит к приросту результата на 4,2 процента (.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии составит:

=

= = = 0,914 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = = 2,1 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,365*2,1 = 5,011 ≈ 5,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит: = 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача № 2.

Выполняется изучение социально-экономических процессов в регионах Южного федерального округа РФ по статистическим показателям за 2000 год.

– Оборот розничной торговли, млрд. руб.;

– Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

– Средний возраст занятых в экономике, лет;

– Среднегодовая численность населения, млн. чел.

Требуется изучить влияние указанных факторов на оборот розничной торговли.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил наличие двух территорию (Краснодарский край и Ростовская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

а) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:

N=10.

	1	0,7938	0,2916	0,8891
	0,7938	1	0,2994	0,6693
	0,2916	0,2994	1	0,0113
	0,8891	0,6693	0,0113	1
Средняя	8,878	5,549	38,79	1,160
	8,7838	5,1612	1,0483	0,90107

б) - коэффициентов частной корреляции