Исследование тритрофной пищевой цепи методом русел и джокеров

М.-Г. М. ЗУЛЬПУКАРОВ, Г. Г. МАЛИНЕЦКИЙ, А. В. ПОДЛАЗОВ

Институт прикладной математики им. РАН, Москва

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРИТРОФНОЙ ПИЩЕВОЙ ЦЕПИ МЕТОДОМ РУСЕЛ И ДЖОКЕРОВ

Обсуждается метод локального уменьшения размерности задачи нелинейной динамики – метод русел и джокеров. Приводится пример применения метода русел и джокеров к к исследованию сингулярно возмущённой системы дифференциальных уравнений, представляющих собой модель Розенцвейга-Макартура для тритрофной пищевой цепи.

Ряд важных задач нелинейной динамики связан с построением предсказывающей модели на основе известной истории поведения объекта. Известно, что аппарат нелинейной динамики при решении задач такого рода наиболее эффективен в случаях, когда размерность фазового пространства невелика [1]. Наибольший же практический интерес представляют задачи большой размерности. В частности, к таковым относятся задачи из области сейсмологии, медицины, экономики, и т. д. Такие задачи можно решать, используя неоднородность фазового пространства некоторых динамических систем: состояние системы может быть с приемлемой точностью охарактеризовано небольшим количеством переменных, составляющих проекцию малой размерности. Прочие переменные могут быть подчинены переменным проекции и/или несущественны с точки зрения описания системы в рамках задачи.

Проекция малой размерности может иметь смысл на всём фазовом пространстве и в широком классе задач, как, например, в физике. Более сложный случай – ограничение применимости проекции, например, определённой областью фазового пространства. Такие области предложено называть руслами [2], Области, в которых построение проекции малой размерности не представляется возможным, именуются джокерами. Поведение системы, находящейся в области джокера, сложно, непредсказуемо и разнообразно, вследствие чего приходится использовать вероятностные методы и/или простые приближённые правила, определяемые эмпирически либо из общих соображений. Таким образом, решение задачи с помощью русел и джокеров представляет собой комбинацию динамических и статистических методов.

К системам, исследуемых подобным образом, в частности, относятся системы с чередующейся медленно-быстрой динамикой, в частности, сингулярно возмущённые системы обыкновенных дифференциальных уравнений [3], иерархизированные по характерным временам изменения переменных в силу наличия малых параметров при производных.

Целью обсуждаемой работы является анализ поведения модели Розенцвейга-Макартура методом русел и джокеров. Исследуемая система представляет собой модель тритрофной пищевой цепи (жертвы, хищника и суперхищника) [4]. Данная система, будучи сингулярно возмущённой, в числе прочих, демонстрирует режим с наличием хаотического аттрактора шильниковского типа с неустойчивым фокусом и гомоклиническими траекториями, наличие которых обеспечивается так называемым Z-тригге­ром.

Предлагается следующая упрощённая модель исходной системы в виде комбинации русел и джокеров. Первоначально, численность популяции жертв рассматривается в качестве медленно меняющейся переменной. Строится вырожденная система, в которой дифференциальное уравнение для численности жертв заменяется алгебраическим уравнением поверхности медленного движения (численность жертв является скрытой переменной). Далее, устойчивые области поверхности медленного движения считаются руслами, а линии срыва – джокерами. Линии срыва, для простоты, аппроксимируются отрезками.

Сравнение по результатам численного моделирования исходной и упрощённой систем демонстрирует как внешнее сходство фазовых портретов, так и близость характеристик хаотических динамических режимов (ляпуновские характеристические показатели и др.). Таким образом, можно считать, что моделирование методом русел и джокеров позволяет добиться уменьшения вычислительной сложности при сохранении приемлемого уровня точности и горизонта прогнозирования.

Список литературы

1.  , Потапов проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

2.  , Потапов , русла или поиски третьей парадигмы. «Знание-Сила», № 3/1998.

3.  , Малинецкий джокеров на одномерных отображениях. Препринт Института прикладной математики им. РАН, 1997, № 24.

4.  , Бутузов. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.

5.  Базыкин биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.