Дисциплина «Дифференциальные уравнения»

Дисциплина «Дифференциальные уравнения».

Факультет ЭКТ.

Направление подготовки:

201000 «Биотехнические системы и технологии», Профиль «Биомедицинская инженерия»

210100 «Электроника и наноэлектроника», Профиль «Интегральная электроника и наноэлектроника», Профиль «Нанотехнология в электронике»

230100 «Информатика и вычислительная техника», Профиль «Системы автоматизированного проектирования»

1. Перечень всех видов работ и заданий для СРС по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

Таблица 1

Вид СРС	Задания СРС	Время на выполнение, ч	Время на контроль, ч
Модуль 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
ЭМИРС, работа с ресурсами Интернет	Работа с ЭМИРС, ресурсами Интернет	3
Выполнение компьютерного теста		1
Работа с учебной литературой	Работа с конспектами лекций, учебниками и учебными пособиями.	3
Выполнение заданий практических занятий	Занятие 1. Кривые второго порядка: Эллипс, гипербола парабола. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение кривой. Л-3 1.241,1.249(а, в),1.266,1.269(а, в),1.286,1.28(а, в, д)	2
Занятие 2. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Конус. Цилиндрические поверхности. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение эскиза поверхности. Л-3 1.378-1.383, 1.397-1.402	2
Занятие 3. Постановка задачи Коши (для дифференциального уравнения 1-го порядка. Составление дифференциальных уравнений по заданному уравнению семейства кривых. Изоклины. Решение уравнение с разделяющимися переменными. Л-4 10.16,10.17,10.23-10.35(нечетные), 10.39,10.43,10.45	2
Занятие 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли. Л-4 10.67-10.73(нечетные), 10.85,10.87,10.89,10.95	2
Занятие 5. Однородные функции двух переменных. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Полный дифференциал функции двух переменных Критерий Эйлера. Решение уравнений в полных дифференциалах. Л-4 10.47,10.51,10.53, 10.65,10.97-10.103(нечетные)	2
Занятие 6. Решение уравнений, не разрешенных относительно первой производной. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Нахождение особого решения. Л-4 10.115-10.129 (нечетные)	2
Выполнение индивидуальных заданий	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Л-6: Задание 1.2..	0.5	1
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Л-6: Задание 1.3.	0.5
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Л-6: Задание 1.4. Задание 1.5.	1
Уравнение в полных дифференциалах. Л-6: Задание 1.6	1
Физическая или технологическая задача на составление и решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Л-6: Задание 1.8.	1
Подготовка к контрольным мероприятиям	Подготовка к контрольной работе №1	2
Подготовка к компьютерному тесту	2
Всего часов по модулю:	28
Модуль 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
ЭМИРС, работа с ресурсами Интернет	Работа с ЭМИРС, ресурсами Интернет	2
Работа с учебной литературой	Работа с конспектами лекций, учебниками и учебными пособиями	2
Выполнение заданий практических занятий	Занятие 8. Различные методы понижения порядка дифференциальных уравнений для случаев: а) уравнение не содержит явно x или y; б) уравнение содержит простые интегрируемые комбинации. Линейная независимость системы функций Определитель Вронского. Л-4 10.211,10.215,10.219,10.223,10.227,10.235,10.289-10.295(нечетные)	2
Занятие 9. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Построение фундаментальной системы решений при различных случаях корней характеристического уравнения. Л-4 10.321-10.339(нечетные)	4
Занятие 10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод неопределенных коэффициентов; нахождение частного решения. Л-4 10.361-10.377(нечетные	4
Занятие 11 Метод вариации постоянных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Уравнение Эйлера Л-4 10.343,10.345.10.379, 10.281	2
Выполнение индивидуальных заданий	Однородное дифференциальное уравнение 3-4 порядка с постоянными коэффициентами. Л.6 Задание 2.2	1	1
Неоднородное дифференциальное уравнеие 4-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Л-6: Задание 2.6.	1,5
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее решение методом вариации постьянной. Л-6: Задание 2.3.	1,5
Подготовка к контрольным мероприятиям	Подготовка к контрольной работе	3
Всего часов по модулю:	24
Модуль 3. Системы дифференциальных уравнений.
ЭМИРС, работа с ресурсами Интернет	Работа с ЭМИРС, ресурсами Интернет	1,5
Работа с учебной литературой	Работа с конспектами лекций, учебниками и учебными пособиями	1,5
Выполнение заданий практических занятий	Занятие 13. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Понятие общего решения. Задачи Коши для системы. Решение системы сведением к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Л-4 10.433,10.439,10.443	2
Занятие 4. Решение системы однородных дифференциальных уравнений методом Эйлера. (Составление характеристического уравнения, нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы системы в случае действительных и комплексных корней, в случае однократных и кратных корней характеристического уравнения) Л-4 10.432,10.433,10.435,10.439	2
Занятие 5. Решение неоднородных систем с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов и методом вариации постоянной. Л-4 10.441,10.443	2
Выполнение индивидуальных заданий	Решение однородной системы трех дифференциальных уравнеий 1-го порядка с постоянными коэффициентами сведением к одному дифференциальному уравнеию 3-го порядка Л-6. Задание 3.1	2	1
Решение однородной системы двух дифференциальных уравнеий 1-го порядка с постоянными коэффициентами через нахождение собственных значений Л-6: Задание 3.2	2
Решение неоднородной системы двух дифференциальных уравнеий 1-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью спец. вида. Л-6: Задание 3.3	2
Подготовка к контрольным мероприятиям	Подготовка к защите индивидуальных заданий	2
Всего часов по модулю:	18
Модуль 4. Теория устойчивости.
ЭМИРС, работа с ресурсами Интернет	Работа с ЭМИРС, ресурсами Интернет	1
Работа с учебной литературой	Работа с конспектами лекций, учебниками и учебными пособиями	1
Выполнение заданий практических занятий	Занятие 16. Исследование на устойчивость тривиальных решений однородных систем с постоянными коэффициентами. Классификация точек покоя. Л-4 10.457-10.463(нечетные)	1
Занятие 17. Исследование на устойчивость по первому приближению. Л-4 10.-474-10.480	1
Выполнение индивидуальных заданий	Выяснить характер точки покоя однородной системы двух дифференциальных уравнеий 1-го порядка. Л-6: Задание 3.4.	1	1
Исследоать на устойчивость по первому приближению нелинейную систему двух дифференциальных уравнений 1-го порядка Л-6: Задание 3.5	1
Подготовка к контрольным мероприятиям	Подготовка к защите индивидуальных заданий	1
Всего часов по модулю:	8
Подготовка к экзамену	30
Всего часов по дисциплине: 118

2. Методическое обеспечение СРС по дисциплине «Математика»

2.1. Организация и управление СРС.

С целью качественной организации самостоятельной работы студентов проводятся инструктажи как по организации работы в целом по дисциплине, так и по выполнению отдельных заданий. Вводный инструктаж со студентами потока проводится лектором в начале изучения дисциплины и включает информацию о структуре и графике контрольных мероприятий, содержании и порядке проведения контрольных мероприятий, учебной литературе и дополнительных информационных источниках и работе с ними, основных требованиях по оценке качества освоения дисциплины, организации работы студентов с учебной литературой, с конспектами, организации и назначении консультаций.

Инструктажи проводятся также преподавателями, ведущими практические занятия в группах. Для лучшего усвоения порядка организации СРС, её контроля, на первых занятиях семестра преподавателем, ведущим практические занятия в группе, проводится вводный инструктаж, содержание которого повторяет содержание инструктажа лектора. Дальнейшие инструктажи связаны с выполнением отдельных видов заданий и включают более подробную информацию о сроках выполнения задания, формах и порядке отчётности, оценке выполнения заданий, возможных типичных ошибках при выполнении задания. Такие инструктажи проводятся на практических занятиях непосредственно при выдаче задания для выполнения или перед проведением контрольного мероприятия.

2.2. Формы контроля и способы оценки качества выполнения видов СРС.

Контроль самостоятельной работы студента носит опосредованный характер, так как проверяется не сам процесс самостоятельной работы студента над заданиями, а её итоги в виде оценок за выполнение заданий контрольных мероприятий (контрольные и самостоятельные работы, индивидуальные задания, тесты), за ответы на вопросы на практических занятиях, на экзаменах. По оценкам составляется суждение как об объеме выполнения студентом самостоятельной работы, так и достигнутых успехах.

В отдельных случаях для контроля и оценки СРС могут использоваться консультации. На консультациях студенту могут быть даны также индивидуальные рекомендации по организации самостоятельной работы, особенно в тех случаях, когда успехи студента не совпадают с его утверждениями о значительных затратах времени на выполнение заданий СРС.

2.2.1. Методы оценивания выполнения студентом различных видов СРС.

§  ЭМИРС, работа с ресурсами Интернет, работа с учебной литературой – контрольные работы, индивидуальные задания, компьютерные тесты, ответы на экзамене, фронтальный опрос по теории, методам решения задач, опрос студентов в процессе решения аудиторных заданий, оценка работы студентов у доски, предлагаемых студентами методов решения задач на практических занятиях.

§  Выполнение заданий практических занятий – проверка наличия решений путём фронтального опроса студентов, полная или выборочная проверка тетрадей, оценка работы студента у доски, предлагаемых студентом методов решения задач; в отдельных случаях студент может приглашаться на консультацию для более глубокого анализа выполнения заданий для СРС.

§  Выполнение индивидуальных заданий – проверка тетрадей с выполненными индивидуальными заданиями и результатами работы над допущенными ошибками, а также ответы на вопросы, решения задач на консультации, если студент приглашен на защиту выполнения индивидуального задания.

§  Подготовка к контрольным мероприятиям – контрольные и самостоятельные работы.

2.2.2. Методы оценивания качества выполнения СРС.

§  Оценка качества выполнения текущих заданий к практическим занятиям отмечается преподавателем в течение семестра для каждого студента и входит в оценку активности работы студента за семестр.

§  Качество выполнения контрольных работ оценивается в баллах

(контрольная работа № 1 – 10 баллов; контрольная работа № 2 – 10 баллов;).

§  Качество выполнения индивидуальных заданий оценивается в баллах

(2 семестр: ДЗ1 – 4 балла, ДЗ2 – 3 балла, ДЗ3 – 4 балла).

§  Выполнение компьютерных тестов оценивается в баллах

(РК – 10баллов).

§  Ответ на экзамене оценивается в баллах

(оценка «5» – 40 баллов, оценка «4» – 30 баллов, оценка «3» – 20 баллов, оценка «2» – 0 баллов).

2.3. Учёт результатов выполнения СРС в накопительной балльной системе.

Учёт результатов выполнения СРС приведён в следующих таблицах.

Таблица 2

2 семестр

Номер отчёта	Учебная неделя 1 семестра	Сумма баллов	Сумма баллов в семестре	Балл на экзамене
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Отчёт 1						ДЗ1	КР1
Макси-мальный балл						4	10											14
Мини-мальный балл						1З1рия устойчивостих уравнений.	2											3
максимальный балл за посещаемость за текущий период	10
минимальный положительный балл за посещаемость за текущий период	4
Отчёт 2						ДЗ1	КР1		РК		ДЗ2
Макси-мальный балл						4	10		10		3							27
Мини-мальный балл						1	2		6		1							10
максимальный балл за посещаемость за текущий период	10
минимальный положительный балл за посещаемость за текущий период	4
Отчёт 3						ДЗ1	КР1		РК		ДЗ2	КР2			ПЛ	ДЗ3
Макси-мальный балл						4	10		10		3	10			5	3		45	60	40
Мини-мальный балл						1	201		6		1	2			2	1		15	30	15
максимальный балл за посещаемость, активность на занятиях и т. д. за текущий период	15
минимальный положительный балл за посещаемость, активность на занятиях и т. д. за текущий период	7

Обозначения:

ДЗ1, ДЗ2,ДЗ3 – индивидуальное задание (часть 1, часть 2,часть 3); КР1, КР2 – контрольная работа №1, №2; РК – рубежный контроль (компьютерное тестирование). ПЛ-посещение лекций.

Таблица 3

2.4. Методическое обеспечение СРС.

Список литературы.

1.  , . Высшая математика (в 3-х томах) Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Т.1., М., Дрофа, 2004 г.

2.  , . Высшая математика (в 3-х томах) Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Т.3., М., Дрофа, 2004 г

3.  Сборник задач по математике для ВТУЗов в 4-х частях, ч.1, под ред. , . 4-е изд., М., Физматлит, 2004 г.,

4.  Сборник задач по математике для ВТУЗов в 4-х частях, ч.2, под ред. , . 4-е изд., М., Физматлит, 2004 г.,

5.  . Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.208 с. М.,УРСС.2006 г.

6.  Задания для самостоятельной работы студентов по курсу «Дифференциальные уравнения» Методическая разработка кафедры. 2013 г.

7.  ЭМИРС (методические материалы по всем темам дисциплины, тесты, вопросы и задачи для

ЭМИРС1: Общие сведения о дифференциальных уравнениях

ЭМИРС2: Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

ЭМИРС3: Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

ЭМИРС4: Уравнения, приводимые к уравнениям в полных дифференциалах.

ЭМИРС5: Существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка

ЭМИРС6: Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Особые решения.

ЭМИРС7: Линейные дифференциальные уравнения и системы

ЭМИРС8: Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

ЭМИРС9: Устойчивость

3. Календарный график

выполнения самостоятельной работы с указанием времени,

затрачиваемого на выполнение и контроль каждого задания

Дисциплина «Дифференциальные уравнения», факультет ЭКТ.

Количество ЗЕТ по дисциплине: 8.

Количество часов, отводимых на СРС, в соответствии с учебным планом: 88.

Таблица 4

Неделя, № модуля	Вид и задание на СРС	Трудоёмкость (количество часов на выполнение задания СРС)	Материалы УМК, обеспечивающие выполнение заданий СРС	Проверка выполнения СРС (вид, способ контроля)	Время на контроль задания СРС (в часах)
2 семестр
1, М1	ДЗ (занятие 1)	2,5	Л-1, Л-3	А
2, М1	ДЗ (занятие 2)	2,5	Л-1, Л-3	А
3, М1	ДЗ (занятие 3), ЭМИРС1-2, УЛ (гл.2),ДЗ1	3,5	Л-2, Л-4, Л-6	А
4, М1	ДЗ (занятие 4), ЭМИРС3, УЛ, ДЗ1	3,5	Л-2, Л-4,Л-6	А
5, М1	ДЗ (занятие 5), ЭМИРС4, УЛ, ДЗ1 (15.1)	4	Л-2, Л-4,Л-6	А
6, М1	ДЗ (занятие 6), ЭМИРС5-6, УЛ, ДЗ1	4	Л-2, Л-4, Л-6	А
7, М1	КР1, ЭМИРС1-6,УЛ	4	Л-2, Л-4, Л-5, Л-6	А, Б,КР
8, М2	ДЗ (занятие 8), ЭМИРС6, УЛ	4	Л-2, Л-4,Л-6	А
9, М2	ДЗ (занятие 9), ЭМИРС7, УЛ (гл.3), ДЗ2(13.1, 13.2)	6	Л-2, Л-4, Л-6	А
10,М2	ДЗ (занятие 10), ЭМИРС7, УЛ (гл.3), ДЗ2 (13.3, 13.5)	8	Л-2, Л-4, Л-6	А
11, М2	ДЗ(занятие 11), пРК, УЛ (гл.3), ДЗ2	4	Л-2, Л-4,Л-5,Л-6	А, Б,РК	1
12, М2	КР2,ЭМИРС7, УЛ (гл.3)	3	Л-2, Л-6, Л-1, Л-3	А, Б,КР	0,5
13, М3	ДЗ (занятие 13), ЭМИРС6, УЛ (гл.4), ДЗ3	5	Л-2, Л-4, Л-6	А
14, М3	ДЗ (занятие 14), ЭМИРС6, УЛ (гл.4), ДЗ3	6	Л-2, Л-4, Л-6	А
15, М3	ДЗ (занятие 15), ЭМИРС6, УЛ (гл.4), ДЗ3 (14.4)	6	Л-2, Л-4, Л-6	А
16, М4	ДЗ (занятие 16), ЭМИРС8, УЛ (гл.4), ДЗ3 (14.6)	3	Л-2, Л-4, Л-6	А	0,5
17, М4	ДЗ (занятие17) ДЗ3, ЭМИРС8, УЛ (гл.4)	4	Л-2, Л-4	А

Примечание. В таблице приняты следующие обозначения видов СРС и способов контроля:

ДЗ – текущее домашнее задание практических занятий; ДЗ1, ДЗ2,ДЗ3 – индивидуальное домашнее задание; КР1, КР2 – подготовка к контрольной работе №1, №2; пРК – подготовка к компьютерному тесту; УЛ – работа с учебной литературой; РК – рубежный контроль (компьютерное тестирование);

§  А – практические занятия (фронтальный опрос по теории, методам решения задач, опрос студентов в процессе решения аудиторных заданий, оценка работы студентов у доски, предлагаемых студентами методов решения задач);

§  Б – консультации;

§  КР – контрольные работы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Методическая разработка кафедры для сасмостоятельной работы студентов по теме

«Дифференциальные уравнения.»

Индивидуальное задание №1.

Задание 1.1. Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых.

1.1.1.

.

1.1.16.

.

Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными.

1.2.1.

1.2.16.

Задание 1.3. Решить однородное уравнение.

1.3.1.

1.3.16.

Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий.

1.4.1.

, .

1.4.16.

, .

Задание 1.5. Решить уравнение Бернулли.

1.5.1.

.

1.5.16.

.

Задание 1.6. Решить уравнение, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

1.6.1.

1.6.16.

Задание 1.7. Через составление дифференциального уравнения найти уравнения кривых(повышенный уровень).

1.7.1. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания:

Задание 1.8. Составить дифференциальное уравнение и решить его для следующей физической задачи (повышенный уровень).

1.8.1. Пуля массой летящая со скоростью  = 200 м/c, пробивает доску за . Найти скорость пули после вылета из доски, если внутри доски сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости пули с коэффициентом . Найти также толщину доски.

Дополнительное задание на составление и решение дифференциального уравнения

Д1. Из наполненного изначально доверху лежащего на боку цилиндрического бака с радиусом  м и высотой  м через отверстие в самой нижней части радиусом  см вытекает вода. Найти зависимость уровня воды в баке от времени. За какой промежуток времени вытечет вся вода?

Индивидуальное задание № 2

Задание 2.2. Найти общее решение однородного уравнения.

2.2.1.

.

Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.

2.3.1

;

Задание 2.6. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

2.6.1.

.

Задание 2.8. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения физических задач (повышенный уровень)

2.8.1. Один конец пружины жёсткостью закреплён неподвижно, а к другому прикреплён груз массой . При движении груз испытывает силу сопротивления внешней среды, пропорциональную скорости с коэффициентом пропорциональности . При грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость . Найти зависимость отклонения груза от положения равновесия от времени для случая .

Задание 2.9. Решить уравнения Эйлера. а) однородные:

2.9.1.

.

б) неоднородные:

2.9.16.

.

Индивидуальное задание №3.

Задание 3.1. Решить однородные системы сведением к одному дифференциальному уравнению (повышенный уровень).

3.1.1.

Задание 3.2. Решить системы, находя фундаментальную систему решений.

3.2.1. .

Задание 3.3 Решить системы.

3.3.1.

Задание 3.4. Исследовать на устойчивость и определить тип точки покоя систем.

3.4.1.

Задание 3.5. Исследовать на устойчивость по первому приближению точки покоя систем.

3.5.1.

Задание 3.6. Исследование на устойчивость решений физических задач (повышенный уровень)

3.6.1. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются положительные заряды и на расстоянии друг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.