УДК 51-72
О соотношениях Крамерса-Кронига для профилей полос поглощения
в ЯМР твердого тела в присутствии белого шума
научный руководитель канд. физ.-мат. наук ,
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» (СФУ)
При изучении вещества методом ядерного магнитного резонанса (ЯМР) имеется возможность одновременной регистрации сигнала поглощения A(ω) и сигнала дисперсии D(ω). Однако теоретическому анализу в настоящее время подлежит лишь сигнал (линия, кривая, спектр, полоса, ...) поглощения. Наряду с другими поправками важной задачей прецизионного эксперимента является выделение «чистого» сигнала поглощения из линейной комбинации (смеси, суперпозиции, …): a·A(ω)+b·D(ω)[1]. Эта задача решается экспериментатором «на интуитивной основе», не позволяющей количественно оценить степень «примеси дисперсии» в сигнале поглощения ЯМР. В данной работе, которая является продолжением работы [2], на основе математического моделирования рассматривается возможность ее решения для общего случая полосы поглощения в ЯМР твердого тела в присутствии белого шума.
Как и каждом разделе физики (прежде всего, в оптике), в ЯМР имеются конкретные теории для расчета А(ω), D(ω) – действительной и мнимой частей комплексной физической величины. Так, например, в ЯМР жидкостей с большими временами релаксации уравнения Блоха [1] определяют частотные зависимости мнимой и действительной частей магнитной восприимчивости, при этом мнимая часть, отождествляемая с сигналом поглощения A(ω), является лоренцевой функцией. Известны, однако, общие соотношения Крамерса-Кронига, связывающие A(ω) с D(ω), независимо от конкретных особенностей физической теории (разумеется, уравнения Блоха согласуются с ними). Поэтому, следуя [3], мы решили использовать хорошо известную пару уравнений Крамерса-Кронига, написав программу вычисления общего для них «оператора K»:
,
где i, j – натуральные числа от 0 до n-1 (n-1 – количество точек, в которых задана функция
; если i ± j выходит за пределы отрезка [0, n-1 ], то значение
считаем равным нулю). Как видно, действуя на функцию, оператор K обращает её в
. Применительно к решаемой задаче –
K A(ω) = - D (ω); K D(ω) = + A(ω). (2)
Под профилем полосы поглощения в ЯМР твердого тела будем иметь в виду свертку F(ω) линии поглощения f(ω) (обычно гауссовой или лоренцевой) с частотным распределением
(ω):
.
Классическим примером является функция Абрагама [4] – так называемая, «свертка гаусса с прямоугольником». Многочисленные примеры используемых в ЯМР твердого тела распределений (ω) можно найти в [5]. Их характерной особенностью является наличие разрывов, в частности – ступенек на краях.
Моделирование с целью анализа профиля полосы поглощения проводилось следующим образом. К выбранной модели с профилем A(ω) добавлялся белый шум, затем вычислялась дисперсия D(ω), и в качестве «экспериментального» профиля полосы поглощения рассматривалась линейная комбинация:
Аехр(ω) = cosα·A(ω) + sinα·D(ω), (4)
где α – угол отклонения фазовой настройки датчика ЯМР с квадратурным детектированием от идеального значения, обеспечивающего «чистый» сигнал поглощения (при α = 0). Согласно теории ЯМР-датчика [1], соответствующая «экспериментальная» дисперсия имеет вид:
Dехр(ω) = – sinα ·A(ω) + cosα ·D(ω). (5)
Фактическое значение α неизвестно, предлагается рассмотреть семейство линейных комбинаций: cosβ·Aехр(ω) + sin β·Dехр(ω), которое должно включать в себя А(ω) при некотором значении β. Очевидно, что для априорно симметричного профиля полосы поглощения, легко определяется искомое значение β. До последнего времени, симметрия служила хорошим критерием отсутствия примеси дисперсии. Однако получаемые в настоящее время результаты показывают, что априорные основания для симметрии профиля полосы поглощения ЯМР отсутствуют. И единственным объективным критерием для A(ω) является отсутствие отрицательных значений (они появляются при ненулевых значениях α, тем больших, чем больше уровень шумов в эксперименте), – то, варьируя β, получаем подсемейство профилей, претендующих на A(ω). Это позволяет количественно оценить степень точности получения «чистого» профиля полосы поглощения ЯМР (без «примеси дисперсии»).
На рисунке показаны некоторые результаты моделирования для симметричного профиля полосы поглощения. Использовалась свёртка гауссовой линии с прямоугольником.
В заключение отметим, что рассмотренный подход используется в практических испытаниях прецизионного «Анализатора профиля полосы поглощения ЯМР», разработанного и изготовленного в КНЦ СО РАН (ИФ, СКТБ) совместно с «Сибпеленг».
Список публикаций:
[1] Ядерный магнитный резонанс. Учебное пособие под ред. . Л.: Изд-во ЛГУ. 1982.
[2] , , // Материалы XXI Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных. Омск. 2015. С.68.
[3] , // Молодой ученый. 2013. № 5. С. 1.
[4] // Ядерный магнетизм (пер. с англ). М.: Изд-во иностр. литературы. 1963.
[5] , , // Новые («кросс-сингулярные») эффекты в ЯМР поликристаллов. Новосибирск: Наука СО. 1991.
