Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени »
(МГТУ им. )
АННОТАЦИЯ
Дифференциальные уравнения
Автор:
Кафедра (ФН-2), «Прикладная математика»
Курс «Дифференциальные уравнения» читает кафедра ФН-2 для студентов 1-го курса факультета ФН специальности «Прикладная математика». Этот курс занимает важное место среди математических дисциплин, определяющих теоретический уровень профессиональной подготовки бакалавров и дипломированных специалистов в области прикладной математики. Дифференциальные уравнения – один из фундаментальных разделов математического естествознания, очень часто законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений. Решение многих прикладных задач сводится к построению и решению дифференциальных уравнений. Изучение данного курса является совершенно необходимым для формирования естественнонаучного мировоззрения студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика».
Содержание дисциплины:
Предмет, содержание и особенности курса. Структура курса, его значение и место в подготовке инженеров-математиков. Основные понятия. Определение обыкновенного дифференциального уравнения и его решения. Примеры задач, приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обыкновенное диффеpенциальное уpавнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Поле направлений. Изоклины. Интегральные кривые. Задача Коши для уравнения первого порядка. Условие Липшица. Теорема существования и единственности (теорема Коши). Частное и общее решение. Общий интеграл. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий. Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и сводящиеся к ним. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Формулировка теоремы Коши. Дискриминантная кривая.
Задача Коши. Формулировка теоремы Коши. Некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Свойства решений линейного уравнения. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского, его свойства для системы решений линейного однородного уравнения порядка n и для произвольной системы функций. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного линейного уравнения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля. Общее решение линейного неоднородного уравнения. Теорема о его структуре. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение ФСР в случае различных корней характеристического уравнения. Случай кратных корней характеристического уравнения. Структура частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и квазимногочленом в правой части.
Нормальные системы дифференциальных уравнений. Векторная форма записи системы. Задача Коши и теорема Коши существования и единственности решения (без док-ва). Сведение системы к одному уравнению порядка n, и обратно. Первые интегралы нормальной системы (глобальные). Локальные первые интегралы. Теорема о существовании системы локальных первых интегралов (без док-ва). Автономные системы. Фазовое пространство. Геометрическая и механическая интерпретация автономной системы. Симметрическая форма записи нормальной системы дифференциальных уравнений. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов. Линейные системы дифференциальных уравнений. Однородные и неоднородные линейные системы. Свойства решений линейной системы. Определитель Вронского, его свойства для системы решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений и для произвольной системы функций. Фундаментальная система решений линейной однородной системы. Формула Остроградского-Лиувилля. Теорема о существовании фундаментальной системы решений. Теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Нахождение ФСР в случае различных корней характеристического уравнения. Структура ФСР в случае кратных корней характеристического уравнения.
Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений уравнений и систем. Особые точки на фазовой плоскости (на примере точки покоя для однородной линейной системы второго порядка с постоянными коэффициентами). Классификация точек покоя. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Устойчивость по первому приближению.
