Контрольное задание

Контрольное задание

1.  Дана матрица . Каковы размеры матрицы А, если матрица С произведения А∙В

имеет размер ?

2.  Найдите сумму алгебраических дополнений элементов третьей строки матрицы

.

3.  Определите количество столбцов фундаментальной системы решений для системы линейных

однородных уравнений

4.  Запишите результат умножения матриц в координатной форме, если это возможно. Ответ обоснуйте. .

5.  При каких значениях m и n для матриц А, В, С справедливо равенство А∙В = С, если

А – матрица размера 3×2, В – матрица размера m×n, С – матрица размера 3×3?

6.  Запишите элементы первого столбца обратной матрицы для матрицы .

7.  Какую из следующих систем линейных уравнений

1) 2) 3) можно решить матричным

методом? Ответ обоснуйте.

8.  Найдите произведение матриц А∙ВТ, если , .

9.  Чем матрица отличается от определителя?

10.  Выведите формулы деления отрезка в данном отношении. Отрезок АВ, где А(7,1), В(4,-5) разделён на три равные части. Найдите координаты точек деления

11.  Понятие невырожденной и обратной матриц. Сформулируйте критерий существования обратной матрицы. При каких значениях параметра матрица

А =

имеет обратную матрицу?

12.  Коллинеарны ли векторы и , построенные на векторах и ?

, . (используя векторное произведение).

13.  Найти направляющие косинусы направляющего вектора прямой

.

14.  При каких значениях параметров а и с прямая лежит в

плоскости ?

15.  Подберите α так, чтобы векторы были компланарны.

Из указанных утверждений 1) , 2) , 3) выберите те, которым удовлетворяет векторное произведение.

16.  Какой из столбцов матрицы нельзя выразить через линейную комбинацию двух других столбцов? Ответ обоснуйте.

17.  При каких значениях l и c прямая перпендикулярна

плоскости 3x – 2y + cz = 0 ?

18.  Как выглядит уравнение окружности, имеющей радиус R=3 и центр в точке (2;3). Выведите уравнение окружности.

19.  Даны векторы . Выберите все верные выражения для нахождения косинуса угла между ними: , где – орты векторов и .

20.  Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Обозначим через и ранги основной и расширенной матрицы системы, соответственно. Известно, что линейное неоднородное алгебраическое уравнение определяет в трёхмерном пространстве плоскость. Какие из нижеследующих утверждений верны: а) ; б) ; в) ; г), если известно, что две плоскости из трёх, определяемых системой, совпадают.

21.  Неизвестное x системы линейных уравнений найдено по формулам Крамера .

22.  При каком а система имеет единственное решение?

23.  Как изменится определитель порядка n , если все его элементы умножить на одно и то же число .

24.  Сколько точек пересечения имеют прямые

2x – 3y = 6, 3x + y = 9 , x + 4y = 3 ?

25.  Какую размерность должна иметь матрица В, чтобы в результате умножения А∙В, где , получить матрицу .

26.  Является ли система векторов линейно независимой? Ответ обоснуйте.

27.  Совместна ли система линейных уравнений, если расширенная матрица системы имеет вид . Ответ обоснуйте.

28.  При каких значениях l и m геометрические объекты (какие?)

и параллельны?

29.  Если возможно, найдите произведение А∙В, где

, . Ответ обоснуйте.

30.  Как изменится определитель порядка , если у всех его элементов изменить знак на противоположный?

31.  Совместна ли данная система Ответ обоснуйте.

32.  Вектор ортогонален векторам и . Какое из соотношений

верно? Ответ обоснуйте.

33.  Найти значение параметра m в уравнении прямой , если известно, что прямая параллельна плоскости .

34.  При каких значениях параметров и прямая параллельна прямой .

35.  При каких значениях параметров и прямая пересекает две другие прямые: и .

36.  Найдите то значение параметра p, при котором прямые и пересекаются.

37.  Некоторая прямая проходит через точку , пересекает ось ординат в точке и пересекает прямую . Найдите .