Теория колебаний

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического моделирования

БУТАКОВА Н. Н.

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для студентов направления 010100.62 «Математика»,

профиль подготовки «Дифференциальные уравнения,

динамические системы, оптимальное управление»

очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2011

Бутакова колебаний. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100.62 «Математика», профиль подготовки «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 13 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Теория колебаний [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk3.utmn. ru., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования,

д. ф.-м. н., доцент

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1.  Пояснительная записка

1.1.  Цели и задачи дисциплины.

Цель курса: показать студентам, как можно распознавать в сложных, на первый взгляд, колебательно-волновых процессах в конкретных задачах физики или техники основные - элементарные колебательные явления и свести исходную проблему к анализу этих моделей. Основные задачи курса: изучить основные колебательно-волновые явления на простых моделях и системах; познакомить студентов с основными методами теории колебаний.

1.2.  Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Теория колебаний» – это дисциплина по выбору, которая входит в вариативную часть профессионального цикла.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Теоретическая механика», «Физика», «Комплексный анализ», «Уравнения в частных производных», «Динамические системы», «Дифференциальные уравнения в прикладных задачах естествознания», «Системы компьютерной математики», «Инструментальные средства компьютерного моделирования».

Освоение дисциплины «Теория колебаний» необходимо при последующем изучении дисциплин «Устойчивость и управление движением», «Нелинейные уравнения с обратной связью» и для написания выпускной квалификационной работы.

1.3.  Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями:

умением понять поставленную задачу (ПК-2);

умением формулировать результат (ПК-3);

умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5);

умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6);

умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);

владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-19);

владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-20);

владением проблемно-задачной формой представления естественнонаучных знаний (ПК-23).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен

● Знать:

– основные модели колебательно-волновых явлений;

– определения и свойства математических объектов в этой области;

– формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложения.

● Уметь:

– строить математические модели колебательных процессов;

– обосновать метод решения поставленной задачи.

● Владеть

– приемами и методами решения задач.

2.  Структура и трудоемкость дисциплины

Дисциплина «Теория колебаний» читается в седьмом семестре. Форма промежуточной аттестации – зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).

3.  Тематический план

Таблица 1.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Итого количество баллов
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Модуль 1
1	Динамические системы	1-2	4	4	4	12	2	0-8
2	Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем	3-4	4	4	4	12	4	0-8
3	Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы	5-6	4	4	4	12	4	0-14
	Всего		12	12	12	36	10	0-30
Модуль 2
4	Автоколебательные системы	7-8	6	6	4	16	6	0-8
5	Параметрические системы	8-10	4	4	4	12	4	0-8
6	Резонансное взаимодействие осцилляторов	11-12	4	4	4	12	4	0-14
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Всего		14	14	12	40	14	0-30
Модуль 3
7	Колебания и волны в упорядоченных структурах	13-14	4	4	4	12	4	0-8
8	Автоколебания в многомерных динамических системах	15-18	6	6	4	16	8	0-12
	Итоговая контрольная работа	18	0	0	4	4		0-20
	Всего		10	10	12	32	12	0-40
	Итого (часов, баллов):		36	36	36	108		0-100
	из них в интерактивной форме		18	18		36	36
	Курсовая работа				18	18		0-100

Таблица 2.

Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

№ темы	Устный опрос	Письменные работы	Итого количество баллов
собеседование	ответ на практическом занятии	контрольная работа	решение задач на практическом занятии	выполнение домашнего задания
1	2	3	4	5	6	7
Модуль 1
1. Динамические системы	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
2. Резонансное взаимодействие осцилляторов	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы	0-1	0-1	0-6	0-1	0-5	0-14
Всего	0-3	0-3	0-6	0-3	0-15	0-30
Модуль 2
4. Автоколебательные системы	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
5. Параметрические системы	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
1	2	3	4	5	6	7
6. Резонансное взаимодействие осцилляторов	0-1	0-1	0-6	0-1	0-5	0-14
Всего	0-3	0-3	0-6	0-3	0-15	0-30
Модуль 3
7. Колебания и волны в упорядоченных структурах	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
8. Автоколебания в многомерных динамических системах	0-1	0-1	0-4	0-1	0-5	0-12
Итоговая контрольная работа			0-20			0-20
Всего	0-2	0-2	0-24	0-2	0-10	0-40
Итого	0-8	0-8	0-36	0-8	0-40	0-100

Таблица 3.

Планирование самостоятельной работы студентов

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов	Кол-во баллов
обязательные	дополнительные
1	2	3	4	5	6	7
Модуль 1
1	Динамические системы	работа с литературой; выполнение домашнего задания		1-2	4	0-5
2	Резонансное взаимодействие осцилляторов	работа с литературой; выполнение домашнего задания		3-4	4	0-5
3	Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы		5-6	4	0-11
	Всего по модулю 1:	12	0-21
Модуль 2
1	2	3	4	5	6	7
4	Автоколебательные системы	работа с литературой; выполнение домашнего задания		7-8	4	0-5
5	Параметрические системы	работа с литературой; выполнение домашнего задания		9-10	4	0-5
6	Резонансное взаимодействие осцилляторов	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы		11-12	4	0-11
	Всего по модулю 2:	12	0-21
Модуль 3
7	Колебания и волны в упорядоченных структурах	работа с литературой; выполнение домашнего задания		13-14	4	0-5
8	Автоколебания в многомерных динамических системах	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к итоговой контрольной работе	15-18	4	0-9
	Итоговая контрольная работа	решение контрольной работы		18	4	0-20
	Всего по модулю 3:	12	0-34
	ИТОГО:	36	0-76

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8
1	Устойчивость и управление движением	+	+	+	+	+	+	+	+
2	Нелинейные уравнения с обратной связью	+	+	+	+	+	+	+	+
3	Выпускная квалификационная работа	+	+	+	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины

Тема 1. Динамические системы. Предмет и содержание теории колебаний. Понятие динамической системы и фазового пространства, системы с непрерывным и дискретным временем, грубой динамической системы. Динамические системы на прямой. Грубые состояния равновесия. Основные бифуркации.

Тема 2. Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем. Устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков. Простейшие динамические системы с дискретным временем.

Тема 3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы. Линейный и нелинейный осцилляторы. Фазовый портрет. Резонанс в нелинейном осцилляторе. Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на плоскости. Грубые предельные циклы, основные характеристики.

Тема 4. Автоколебательные системы. Система с одной степенью свободы. Физические примеры. Динамика сверхпроводящего Джозефсоновского контакта. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея. Метод разрывных колебаний. Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи). Автогенератор с двумя степенями свободы.

Тема 5. Параметрические системы. Параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы. Теория Флоке. Уравнение Матье. Асимптотический метод. Определение зон параметрической неустойчивости. Параметрическое возбуждение автоколебаний (резонанс n-го рода). Системы с медленно меняющимися параметрами.

Тема 6. Резонансное взаимодействие осцилляторов. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью. Соотношение Мэнли-Роу. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.

Тема 7. Колебания и волны в упорядоченных структурах. Дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов. Физический смысл понятия "дисперсия". Переход от дискретных структур к распределенным. Фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета. Характеристические уравнения ограниченных распределенных систем.

Тема 8. Автоколебания в многомерных динамических системах. Основные (коразмерности I) бифуркации многомерных динамических систем: Бифуркации состояний равновесия. Бифуркации периодических движений. Нелокальные бифуркации в окрестности гомоклинической траектории. Динамический хаос. Странный аттрактор. Характеристические показатели Ляпунова. Фрактальные структуры и размерность странных аттракторов. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Сценарии перехода к хаосу Ландау-Хопфа и Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Генераторы хаотических колебаний. Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости. Бифуркации в системе Лоренца.

6.  Планы практических занятий

Тема 1. Динамические системы (4 часа).

1) системы с непрерывным и дискретным временем;

2) грубые динамические системы;

3) грубые состояния равновесия;

4) основные бифуркации.

Тема 2. Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем (4 часа)

1) устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость;

2) устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков;

3) простейшие динамические системы с дискретным временем.

Тема 3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы (4 часа)

1) линейный и нелинейный осцилляторы;

2) резонанс в нелинейном осцилляторе;

3) качественная теория и теория бифуркаций динамических систем на плоскости;

4) грубые предельные циклы.

Тема 4. Автоколебательные системы (6 часов)

1) система с одной степенью свободы;

2) уравнение Ван-дер-Поля;

3) уравнение Рэлея;

4) метод разрывных колебаний;

5) метод Ван-дер-Поля.

Тема 5. Параметрические системы (4 часа)

1) параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы;

2) теория Флоке;

3) уравнение Матье;

4) системы с медленно меняющимися параметрами.

Тема 6. Резонансное взаимодействие осцилляторов (4 часа)

1) взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью;

2) соотношение Мэнли-Роу;

3) резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.

Тема 7. Колебания и волны в упорядоченных структурах (4 часа)

1) дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов;

2) фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета;

3) характеристические уравнения ограниченных распределенных систем.

Тема 8. Автоколебания в многомерных динамических системах (6 часов)

1) основные бифуркации многомерных динамических систем;

2) динамический хаос, странный аттрактор;

3) характеристические показатели Ляпунова;

4) фрактальные структуры и размерность странных аттракторов;

5) переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода;

6) аттрактор Лоренца, бифуркации в системе Лоренца.

7.  Примерная тематика курсовых работ

1.  Продольные и крутильные колебания стержней.

2.  Изгибные колебания прямых стержней.

3.  Вынужденные колебания стержней.

4.  Колебания стержней при наличии вязкого трения.

5.  Распространение упругих волн в стержнях.

6.  Колебания круговых колец.

7.  Колебания прямоугольной пластины постоянной толщины.

8.  Колебания круглой пластины постоянной толщины.

9.  Колебания оболочек.

10.  Колебания стержней, вызываемые подвижной нагрузкой.

8.  Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

8.1.  Примерные задания для контрольной работы

1.  Исследуйте устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова

2.  Математический маятник имеет длину и находится в покое. В момент времени грузику маятника с помощью толчка сообщают скорость . Найти закон изменения во времени угла отклонения маятника от вертикали, считая, что при колебаниях маятника на его грузик действует сила вязкого трения , где - скорость грузика. Колебания маятника считать малыми.

3.  Длина нити математического маятника (см. рисунок) периодически изменяется на величину по закону меандра (см. рисунок) с периодом , где – период колебаний маятника при , где – среднее значение длины нити. Считая, что при движении маятника проявляются силы вязкого трения, а добротность маятника рана , найти условие параметрического возбуждения колебаний.

4.  В последовательный колебательный контур, состоящий из индуктивности , емкости и резистора , включен элемент с падающим участком на вольтамперной характеристике. Рабочая точка этого элемента выбрана таким образом, что падение напряжения на элементе с током, текущим через него, соотношением: . Пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд найти стационарные режимы и исследовать их устойчивость.

8.2.  Примерные вопросы для подготовки к зачету

1. Устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость.

2. Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков.

3. Простейшие динамические системы с дискретным временем.

4. Линейный и нелинейный осцилляторы.

5. Резонанс в нелинейном осцилляторе.

6. Бифуркации динамических систем на плоскости.

7. Грубые предельные циклы, основные характеристики.

8. Автоколебательные системы с одной степенью свободы.

9. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея.

10. Метод разрывных колебаний.

11. Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи).

12. Автогенератор с двумя степенями свободы.

13. Параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы.

14. Теория Флоке.

15. Уравнение Матье.

16. Асимптотический метод.

17. Определение зон параметрической неустойчивости.

18. Параметрическое возбуждение автоколебаний (резонанс n-го рода).

19. Системы с медленно меняющимися параметрами.

20. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью.

21. Соотношение Мэнли-Роу.

22. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.

23. Дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов.

24. Фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета.

25. Характеристические уравнения ограниченных распределенных систем.

26. Бифуркации состояний равновесия.

27. Бифуркации периодических движений.

28. Нелокальные бифуркации в окрестности гомоклинической траектории.

29. Динамический хаос.

30. Странный аттрактор.

31. Характеристические показатели Ляпунова.

32. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.

33. Генераторы хаотических колебаний.

34. Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости. Бифуркации в системе Лоренца

9.  Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Теория колебаний» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Теория колебаний» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– практические занятия в диалоговом режиме;

– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

10.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

10.1.  Основная литература

1.  , Михлин динамика упругих систем. Модели, методы, явления. Т.1. М.: URSS, 2010. – 560 с.

2.  Бабаков колебаний. М.: Дрофа, 2004 – 592 с.

3.  , , Кузнецов по курсу теории колебаний. – М.: Изд-во физического факультета МГУ, 2010. – 58 с.

4.  , , Сандалов по теории колебаний, устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – 48 с.

5.  , Боголюбов в нелинейную механику. Приближенные и асимптотические методы нелинейной механики. – Ижевск: РХД, 2004. – 351 с.

6.  Стрелков в теорию колебаний. – СПб: Лань, 2005 –
437 с.

7.  Уиттекер динамика. - М.: УРСС, 2004 .-504 с.

10.2.  Дополнительная литература

1.  , , Хайкин колебаний. – М.: Наука, 1981. - 568 с.

2.  Бидерман теория механических колебаний. – М.: Высшая школа, 1972 .- 416 c.

3.  Бутенин колебаний. – М.: Высшая школа, 1963. - 187 c.

4.  Гантмахер по аналитической механике. – М.: Физматлит, 2001 .- 264 c.

5.  Моисеев методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969. – 378 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib. mexmat. ru/books/1564

10.3.  Программное обеспечение и Интернет – ресурсы

Интернет – ресурсы:

1.  Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. mexmat. ru

2.  eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary. ru

Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 12 (или выше).

11.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс для практических занятий.