Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

«УТВЕРЖДАЮ»:

Проректор по учебной работе

______________________//

«_____» ____________ 2011 г.

Граничные свойства аналитических функций.

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа

для студентов направления 010200.62 Математика

и компьютерные науки.

Профиль подготовки «Математический анализ и приложения».

Форма обучения очная

«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:

Автор работы ______________//

«______» ___________ 2011 г.

Рассмотрено на заседании кафедры (МАиТФ, __.__.2011, протокол № __)

Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.

«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:

Объем 15 стр.

И. о. зав. кафедрой _______________//

«______» ___________ 2011 г.

Рассмотрено на заседании УМК (ИМЕНИТ, __.__.2011, протокол № __)

Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.

«СОГЛАСОВАНО»:

Председатель УМК ______________//

«______» ___________ 2011 г.

«СОГЛАСОВАНО»:

Зав. методическим отделом УМУ ______________//

«______» ___________ 2011 г.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического анализа и теории функций

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа

для студентов направления 010200.62 Математика

и компьютерные науки.

Профиль подготовки «Математический анализ и приложения».

Форма обучения очная

Тюменский государственный университет

2011

Девятков свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010200.62 Математика и компьютерные науки. Профиль подготовки «Математический анализ и приложения». Форма обучения очная, Тюмень, 2011, 15 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Граничные свойства аналитических функций [электронный ресурс] / Режим доступа http://www. umk3.utmn. ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: И. о. заведующего кафедрой математического анализа

и теории функций ТюмГУ,

канд. физ.-мат. наук, доцент

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1. Пояснительная записка

1.1. Цели и задачи дисциплины

Цель курса «Граничные свойства аналитических функций» - ознакомление студентов с основными положениями теории граничного поведения аналитических и гармонических функций. Эта теория использует в качестве своего аппарата такие разделы математического анализа как теория функций вещественного и комплексного переменного, функциональный анализ, топология и другие. Наряду с собственной значимостью предмета (имеются приложения к функциональному анализу, приближенным методам построения конформных отображений, к теории краевых задач), названный аналитический аппарат позволяет студенту «пощупать», как на практике работают те понятия, теоремы и методы, которые он изучал в более ранних дисциплинах.

Задачи курса. Дать представление о граничных теоремах теории аналитических и гармонических функций. Познакомить студентов с важнейшими классами аналитических и гармонических функций и их приложениями в других областях математики. Сформировать представление о теории целых функций, мероморфных функций, теории потенциала. Научить качественному исследованию свойств конформных отображений. Развить технику действительного, комплексного и функционального анализа.

1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Учебная дисциплина «Граничные свойства аналитических функций» входит в вариативную часть профессионального цикла дисциплин.

1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате

освоения данной ООП ВПО

В результате освоения данной дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями:

ОК 6 способностью применять знания на практике;

ОК 8 способностью приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии;

ОК 11 фундаментальной подготовкой по основам профессиональных знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности;

ОК 12 навыками работы с компьютером;

ОК 13 базовыми знаниями в областях информатики и современных информационных технологий, навыки использования программных средств и навыки работы в компьютерных сетях, умение создавать базы данных и использовать ресурсы Интернет;

ОК 14 способностью к анализу и синтезу;

ПК 2 умением понять поставленную задачу;

ПК 3 умением формулировать результат;

ПК 4 умением строго доказать утверждение;

ПК 5 умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат;

ПК 6 умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата;

ПК 7 умением грамотно пользоваться языком предметной области;

ПК 8 умением ориентироваться в постановках задач;

ПК 9 знанием корректных постановок классических задач;

ПК 10 пониманием корректности постановок задач;

ПК 12 пониманием того, что фундаментальное знание является основой компьютерных наук;

ПК 15 способностью передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления;

ПК 16 выделением главных смысловых аспектов в доказательствах;

ПК 19 владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач;

ПК 20 владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач;

ПК 21 владением методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических проблем и задач;

ПК 22 владением проблемно-задачной формой представления математических знаний;

ПК 24 владением методами математического и алгоритмического моделирования при анализе управленческих задач в научно-технической сфере;

ПК 27 умением точно представить математические знания в устной форме;

ПК 29 возможностью преподавания физико-математических дисциплин и информатики в средней школе и средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного фундаментального образования.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные положения теории граничных свойствах аналитических функций, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Уметь: доказывать утверждения теории граничных свойств аналитических функции, применять их в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Владеть: аппаратом теории граничных свойств аналитических функций, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

2. Структура и трудоемкость дисциплины

Таблица 1

Вид учебной работы	Всего часов
Аудиторные занятия (всего)	60
В том числе
Лекции	30
Практические занятия (ПЗ)	30
Семинары (С)	-
Лабораторные работы (ЛР)	-
Самостоятельная работа (всего)	48
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)	Экзамен
Общая трудоемкость час зач. ед.	108
3

3. Тематический план

Таблица 2

№	Тема	неделя семестра	Виды учебной работы и самостоятельной работы, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Итого количество баллов
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Модуль 1
1.1.	Ряды Фурье	1	4	4	4	12		0-10
1.2.	Граничное поведение гармонических функций	2-3	4	4	4	12		0-10
1.3.	Формула Пуассона-Йенсена	3	2	2	8	12	4	0-10
	Всего		10	10	16	36	4	0-30
	Модуль 2
2.1.	Субгармонические функции	4	2	2	2	6		0-10
2.2.	Ограниченные аналитические функции	5	2	2	2	6		0-5
2.3.	Произведения Бляшке	5	2	2	4	8	4	0-5
2.4.	Пространства и	6	2	2	4	8		0-5
2.5.	Пространство	7	2	2	4	8		0-5
	Всего		10	10	16	36	4	0-30
	Модуль 3
3.1.	Теорема Римана	7	2	2	4	8		0-10
3.2.	Простые концы Каратеодори	8	2	2	4	8		0-10
3.3.	Основная теорема о соответствии границ	9	2	2	4	8	2	0-10
3.4.	Последовательности аналитических функций	9-10	4	4	4	12		0-10
	Всего		10	10	16	36	2	0-40
	Итого (часов, баллов):		30	30	48	108	10	0-100
	Из них часов в интерактивной форме			10

Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

1 СЕМЕСТР

Таблица 6

№ темы	Устный опрос	Письменные работы	Итого количество баллов
коллоквиумы	собеседование	ответ на семинаре	контрольная работа	реферат
Модуль 1
Тема 1.1.			0-5	0-5		0-10
Тема 1.2.		0-5		0-5		0-10
Тема 1.3.			0-5	0-5		0-10
Всего		0-5	0-10	0-15		0-30
Модуль 2
Тема 2.1.		0-5		0-5		0-10
Тема 2.2.				0-5		0-5
Тема 2.3.			0-2	0-3		0-5
Тема 2.4.			0-2	0-3		0-5
Тема 2.5.		0-2		0-3		0-5
Всего		0-7	0-4	0-19		0-30
Модуль 3
Тема 3.1.			0-5	0-5		0-10
Тема 3.2.			0-5	0-5		0-10
Тема 3.3.		0-5		0-5		0-10
Тема 3.4.		0-5		0-5		0-10
Всего		0-10	0-10	0-20		0-40
Итого		0-22	0-24	0-54		0-100

Планирование самостоятельной работы студентов

Таблица 10

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестр	Объем часов	Количество баллов
обязательные	дополнительные
	Модуль 1
1.1.	Ряды Фурье	Выполнение дом. заданий. Работа с литературой.	Подготовка сообщения на семинар	1	4	0-10
1.2.	Граничное поведение гармонических функций	Выполнение дом. заданий. Подготовка к собеседованию. Работа с литературой.		2-3	4	0-10
1.3.	Формула Пуассона-Йенсена	Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к опросу и контрольной работе.		3	8	0-10
	Всего				16	0-30
	Модуль 2
2.1.	Субгармонические функции	Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к собеседованию.		4	2	0-10
2.2.	Ограниченные аналитические функции	Выполнение дом. заданий. Работа с литературой.	Подготовка сообщения на семинар	5	2	0-5
2.3.	Произведения Бляшке	Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к устному опросу.		5	4	0-5
2.4.	Пространства и	Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе.	Подготовка минисообщения на лекцию	6	4	0-5
2.5.	Пространство	Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к собеседованию и контрольной работе		7	4	0-5
	Всего				16	0-30
	Модуль 3
3.1.	Теорема Римана	Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к опросу и контрольной работе.	Подготовка сообщения на семинар	7	4	0-10
3.2.	Простые концы Каратеодори	Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к опросу и контрольной работе.		8	4	0-10
3.3.	Основная теорема о соответствии границ	Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе и собеседованию.	Подготовка презентации на семинар	9	4	0-10
3.4.	Последовательности аналитических функций	Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе и собеседованию.		9-10	4	010
	Всего				16	0-40
	Итого				48	0-100

4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

Данная дисциплина будет читаться в восьмом (последнем) семестре.

5. Содержание дисциплины

Модуль 1

Тема 1.1. Ряды Фурье

Комплексная форма записи ряда Фурье. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона. Аппроксимативная единица. Описание типов рядов Фурье.

Тема 1.2. Граничное поведение гармонических функций

Гармонические и аналитические функции. Представление гармоничесих функций в виде степенного ряда. Связь с рядами Фурье. Формула Пуассона. Неравенства и теорема Гарнака. Описание типов гармонических функций. Теорема Фату.

Тема 1.3. Формула Пуассона-Йенсена

Изолированные особые точки гармонических функций. Общий вид формулы Пуассона-Йенсена. Формула Пуассона-Йенсена для мерофных функций и для аналитических функций. Следствия формулы Пуассона-Йенсена.

Модуль 2

Тема 2.1. Субгармонические функции

Полунепрерывные функции. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты. Операции над субгармоническими функциям. Неравенство Йенсена. Примеры субгармонических функций.

Тема 2.2. Ограниченные аналитические функции

Гармоническая мера. Теоремы Линделёфа и Фрагмена-Линделёфа. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.

Тема 2.3. Произведения Бляшке

Конечное произведение Бляшке. Условие сходимости произведения Бляшке. Свойства произведения Бляшке. Построение произведения Бляшке с заданными нулями.

Тема 2.4. Пространства и

Определение. Соотношение между классами Харди и классом Неванлинны. Представление функций из в виде отношения двух ограниченных функций. Граничные свойства функций из и . Сходимость в среднем к граничным значениям функций из . Теорема Хинчина-Островского.

Тема 2.5. Пространство

и М. Риссов. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами. Теорема единственности Лузина-Привалова.

Модуль 3

Тема 3.1. Теорема Римана

Теорема Римана. Конформное отображение многосвязных областей.

Тема 3.2. Простые концы Каратеодори

Сечение области. Цепь сечений. Достижима точка. Простой конец и его носитель. Главные и смежные точки. Простые концы 1, 2, 3, 4 родов. Примеры областей.

Тема 3.3. Основная теорема о соответствии границ

Лемма Кёбе. Основная теорема К. Каратеодори. Конформное отображение жордановых областей.

Тема 3.4. Последовательности аналитических функций

Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений. Нормальные по Монтелю семейства аналитических функций. Принцип нормальности Монтеля. Модулярная функция. Теорема Пикара.

6. Планы семинарских занятий

Модуль 1

Тема 1.1. Ряды Фурье

Комплексная форма записи ряда Фурье. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона. Аппроксимативная единица. Описание типов рядов Фурье.

Тема 1.2. Граничное поведение гармонических функций

Гармонические и аналитические функции. Представление гармоничесих функций в виде степенного ряда. Связь с рядами Фурье. Формула Пуассона. Неравенства и теорема Гарнака. Описание типов гармонических функций. Теорема Фату.

Тема 1.3. Формула Пуассона-Йенсена

Изолированные особые точки гармонических функций. Общий вид формулы Пуассона-Йенсена. Формула Пуассона-Йенсена для мерофных функций и для аналитических функций. Следствия формулы Пуассона-Йенсена.

Модуль 2

Тема 2.1. Субгармонические функции

Полунепрерывные функции. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты. Операции над субгармоническими функциям. Неравенство Йенсена. Примеры субгармонических функций.

Тема 2.2. Ограниченные аналитические функции

Гармоническая мера. Теоремы Линделёфа и Фрагмена-Линделёфа. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.

Тема 2.3. Произведения Бляшке

Конечное произведение Бляшке. Условие сходимости произведения Бляшке. Свойства произведения Бляшке. Построение произведения Бляшке с заданными нулями.

Тема 2.4. Пространства и

Определение. Соотношение между классами Харди и классом Неванлинны. Представление функций из в виде отношения двух ограниченных функций. Граничные свойства функций из и . Сходимость в среднем к граничным значениям функций из . Теорема Хинчина-Островского.

Тема 2.5. Пространство

и М. Риссов. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами. Теорема единственности Лузина-Привалова.

Модуль 3

Тема 3.1. Теорема Римана

Теорема Римана. Конформное отображение многосвязных областей.

Тема 3.2. Простые концы Каратеодори

Сечение области. Цепь сечений. Достижима точка. Простой конец и его носитель. Главные и смежные точки. Простые концы 1, 2, 3, 4 родов. Примеры областей.

Тема 3.3. Основная теорема о соответствии границ

Лемма Кёбе. Основная теорема К. Каратеодори. Конформное отображение жордановых областей.

Тема 3.4. Последовательности аналитических функций

Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений. Нормальные по Монтелю семейства аналитических функций. Принцип нормальности Монтеля. Модулярная функция. Теорема Пикара.

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум)

Не предусмотрены учебным планом ООП.

8. Примерная тематика курсовых работ

Не предусмотрены учебным планом ООП.

9. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Самостоятельная работа призвана закрепит теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.

Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ООП.

Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 11 данной рабочей программы. В указанном разделе расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы. Подготовка теоретического сообщения на практическое занятие выполняется студентом самостоятельно, но по согласованию с преподавателем темы сообщения.

По дисциплине предусмотрено проведение контрольной работы. Ниже приведены примерные варианты задач.

Задачи к контрольной работе

1. Показать, что ряд есть ряд Фурье функции из , и найти эту функцию.

2. Если – функция ограниченной вариации на , то её коэффициенты Фурье .

2. Пусть чезаровские средние ряда сходятся к некоторому числу , и пусть . Доказать, что частичные суммы этого ряд также сходятся к .

3. Доказать, что если ряд сходится, то он суммируем и по Чезаро и по Абелю, причём к той же сумме.

4. Доказать, что если ряд суммируем по Чезаро, то он суммируем и по Абелю, причём к той же сумме.

6. Если ряд суммируем по Чезаро, то .

5. Привести пример ряда, суммируемого по Абелю и не суммируемого по Чезаро.

6. Если - функция ограниченной вариации, то в каждой точке , её ряд Фурье сходится к значению .

7. Пусть – непрерывная функция периода , имеющая ограниченную вариацию на . Доказать, что её ряд Фурье сходится равномерно.

8. Доказать, что частичные суммы ряда Фурье функции с ограниченной вариацией равномерно ограничены.

9. Пусть . Доказать, что ().

10. Доказать, что если (, то при .

11. Доказать, что при свёртка функций и

лежит в . Доказать, что при свёртка – непрерывная функция.

12. Доказать, что если , то функция непрерывна.

13. Если функция гармоническая и гармоническая, то функция - аналитическая.

14. Если - гармоническая в круге функция и , то с некоторой постоянной .

15. Найти аналитическую функцию , если и .

16. Найти аналитическую функцию , если и .

17. Найти аналитическую функцию такую, что .

18. Доказать, что полунепрерывная сверху функция ограничена сверху на каждом компактном множестве.

19. Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда она является пределом убывающей последовательности непрерывных функций.

20. Доказать, что субгармоническая, если и субгармонические.

21. Для того, чтобы субгармоническая в круге функция имела гармоническую мажоранту необходимо и достаточно, чтобы .

22. Если функция субгармонична в области и , то для любой окружности и для любого компакта .

23. Если и на последовательности точек с , то .

24. Если , то .

25. Если , то .

Критерии успешности обучения

Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).

Шкала перевода баллов в оценки следующая:

Таблица 11

Баллы	Экзамен
0-60	Неудовлетворительно
61-75	Удовлетворительно (зачтено)
76-90	Хорошо
91-100	Отлично

Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать экзамен. Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и три практических задачи из приведенных выше вариантов контрольных работ.

Вопросы к экзамену

1.  Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона.

2.  Описание типов рядов Фурье и гармонических в круге функций.

3.  Теорема Фату.

4.  Формула Пуассона-Йенсена.

5.  Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты.

6.  Неравенство Йенсена.

7.  Теоремы Линделёфа

8.  Теорема Фрагмена-Линделёфа.

9.  Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.

10.  Произведения Бляшке.

11.  Классы и . Представление функций из в виде отношения двух ограниченных функций.

12.  Теорема Хинчина-Островского.

13.  Сходимость в среднем к граничным значениям функций из .

14.  и М. Риссов.

15.  Конформное отображение областей со спрямляемыми границами.

16.  Теорема единственности Лузина-Привалова.

17.  Теорема Римана.

18.  Простые концы Каратеодори. Теорема Каратеодори о соответствии границ при конформном отображении.

19.  Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений.

20.  Принцип нормальности Монтеля.

21.  Теорема Пикара.

10. Образовательные технологии

При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.

Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекции является изложение теоретического материала и иллюстрации его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.

При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы: работа в малых группах, выполнение заданий в паре, взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.

Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.

11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1. Основная литература:

1.  Привалов свойства аналитических функций, изд. 2-е. – М. – Л.: ГИТТЛ, 1950. – 336 с.

2.  Банаховы пространства аналитических функций. – М.: ИЛ, 1963. – 312 с.

3.  Голузин теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. – 628 с.

4.  Маркушевич аналитических функций. Т.2. – М.: Наука, 1968. – 624 с.

5.  Введение в теорию пространств . – М.: Мир, 1984.

11.2. Дополнительная литература:

1.  Субгармонические функции. – М.: Мир, 1980. – 304 с.

2.  Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 470 с.

3.  Голубев аналитические функции. Автоморфные функции. – М.: Физматгиз, 1961. – 456 с.

4.  Теория предельных множеств. – М.: Мир, 1971. – 312 с.

5.  Предельные множества. – М.: ИЛ, 1963. – 252 с.

12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.

Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащенных мультимедийной техникой.