Дифференциальные уравнения

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического моделирования

БУТАКОВА Н. Н.

Дифференциальные уравнения

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010500.62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»,
профили подготовки «Параллельное программирование»,
«Технологии программирования»,
очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2011

Бутакова уравнения. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010500.62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», профили подготовки «Параллельное программирование», «Технологии программирования», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 13 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk3.utmn. ru., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования,

д. ф.-м. н., доцент

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1.  Пояснительная записка

1.1.  Цели и задачи дисциплины.

Целью курса «Дифференциальные уравнения» является изложение основ теории дифференциальных уравнений.

Основная задача учебного курса: изучение комплекса методов, позволяющих создавать и исследовать широкий спектр математических моделей в естествознании. В результате изучение курса студент должен усвоить основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, простейшие методы качественного исследования уравнений и их систем, иметь представление о методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка.

1.2.  Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» – это дисциплина базовой части профессионального цикла.

Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Алгебра», «Аналитическая геометрия».

Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо при последующем изучении дисциплин «Дифференциальная геометрия и топология», «Методы вычислений».

1.3.  Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен демонстрировать следующие компетенции.

Профессиональные:

определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для данной дисциплины (ПК-1);

умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6);

выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен

● Знать:

– основные понятия теории дифференциальных уравнений;

– определения и свойства математических объектов в этой области;

– формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

● Уметь:

– решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений.

● Владеть

– математическим аппаратом дифференциальных уравнений;

– методами решения задач и доказательства утверждений.

2.  Структура и трудоемкость дисциплины

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» читается в четвертом семестре. Формы промежуточной аттестации – зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).

3.  Тематический план

Таблица 1.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Итого количество баллов
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
Модуль 1
1	Дифференциальные уравнения первого порядка	1-5	10	10	7	27	2	0-20
	Всего		10	10	7	27	2	0-20
Модуль 2
2	Линейные дифференциальные уравнения высших порядков	6-9	8	8	7	23	2	0-15
3	Линейные системы дифференциальных уравнений	10-12	6	6	7	19	2	0-15
	Всего		14	14	14	42	4	0-30
Модуль 3
4	Существование и единственность решений	13	2	2	4	10	1	0-10
5	Устойчивость решений	14-15	4	4	4	14	1	0-10
6	Уравнения в частных производных первого порядка	16-17	4	4	4	15	2	0-10
	Итоговая контрольная работа	17			5	5		0-20
	Всего		10	10	19	39	4	0-50
	Итого (часов, баллов):		34	34	40	108		0-100
	из них в интерактивной форме		4	6			10

Таблица 2.

Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

№ темы	Письменные работы	Итого количество баллов
контрольная работа	решение задач на практическом занятии	выполнение домашнего задания
Модуль 1
1. Дифференциальные уравнения первого порядка	0-5	0-5	0-10	0-20
Всего	0-5	0-5	0-10	0-20
Модуль 2
2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков	0-5	0-2	0-8	0-15
3. Линейные системы дифференциальных уравнений	0-5	0-2	0-8	0-15
Всего	0-10	0-4	0-16	0-30
Модуль 3
4. Существование и единственность решений	0-3	0-2	0-5	0-10
5. Устойчивость решений	0-3	0-2	0-5	0-10
6. Уравнения в частных производных первого порядка	0-3	0-2	0-5	0-10
Итоговая контрольная работа	0-20			0-20
Всего	0-29	0-6	0-15	0-50
Итого	0-44	0-15	0-41	0-100

Таблица 4.

Планирование самостоятельной работы студентов

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов	Кол-во баллов
обязательные	дополнительные
1	2	3	4	5	6	7
Модуль 1
1	Дифференциальные уравнения первого порядка	решение контрольной работы; выполнение домашнего задания	работа с литературой	1-5	7	0-15
	Всего по модулю 1:	7	0-15

1	2	3	4	5	6	7
Модуль 2
2	Линейные уравнения	решение контрольной работы; выполнение домашнего задания	работа с литературой	6-9	7	0-13
3	Линейные системы дифференциальных уравнений	решение контрольной работы; выполнение домашнего задания	работа с литературой	10-12	7	0-13
	Всего по модулю 2:	14	0-26
Модуль 3
4	Существование и единственность решений	решение контрольной работы; выполнение домашнего задания	работа с литературой	13	4	0-8
5	Устойчивость решений	решение контрольной работы; выполнение домашнего задания	работа с литературой	14-15	4	0-8
6	Уравнения в частных производных первого порядка	решение контрольной работы; выполнение домашнего задания	работа с литературой; подготовка к итоговой контрольной работе	16-17	4	0-8
	Итоговая контрольная работа	решение контрольной работы		17	5	0-20
	Всего по модулю 3:	19	0-44
	Итого	40	0-85

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6
1	Дифференциальная геометрия и топология	+	+	+			+
2	Методы вычисления	+	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка: дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной (основные положения теории и методы решения интегрируемых уравнений); дифференциальные уравнения в симметричной форме (обыкновенные и особые решения, интегралы); дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной (метод введения параметра, уравнения Клеро и Лагранжа).

Тема 2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков: линейные однородные уравнения (векторное пространство решений; вронскиан; общее решение); однородное уравнение с постоянными коэффициентами; линейное неоднородное уравнение; метод неопределенных коэффициентов и метод Лагранжа; краевая задача и функция Грина.

Тема 3. Линейные системы дифференциальных уравнений: линейная однородная система; формула Остроградского-Лиувилля; общее решение; метод Эйлера интегрирования однородного уравнения в постоянными коэффициентами; неоднородная система; метод вариации произвольных постоянных; траектории автономных систем на плоскости; фазовый портрет системы; особые точки типа узел, седло, фокус, центр.

Тема 4. Существование и единственность решений: нормальная система дифференциальных уравнений в векторной форме; условие Липшица; метод последовательных приближений Пикара; максимальный интервал существования решения; зависимость решений от начальных данных и параметров.

Тема 5. Устойчивость решений: понятие устойчивости решения по Ляпунову; устойчивость линейных систем; устойчивость и неустойчивость решения по первому приближению.

Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка: линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка; характеристики; задача Коши; теорема существования и единственности решения задачи Коши.

6.  Планы практических занятий

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка (10 час.)

1) дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной;

2) дифференциальные уравнения в симметричной форме;

3) дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

Тема 2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (8 час.)

1) линейные однородные уравнения;

2) однородное уравнение с постоянными коэффициентами;

3) линейное неоднородное уравнение;

4) метод неопределенных коэффициентов и метод Лагранжа;

5) краевая задача и функция Грина.

Тема 3. Линейные системы дифференциальных уравнений (6 час.)

1) формула Остроградского-Лиувилля;

2) метод Эйлера интегрирования однородного уравнения в постоянными коэффициентами;

3) метод вариации произвольных постоянных;

4) траектории автономных систем на плоскости;

5) особые точки типа узел, седло, фокус, центр.

Тема 4. Существование и единственность решений (2 час.)

1) существование и единственность решения задачи Коши;

2) метод последовательных приближений Пикара.

Тема 5. Устойчивость решений (4 час.)

1) устойчивость решения по Ляпунову;

2) устойчивость и неустойчивость решения по первому приближению.

Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка (4 час.)

1) линейные уравнения с частными производными первого порядка;

2) квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.

7.  Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

7.1.  Примерные задания для контрольной работы

1.  Решить уравнение

2.  Решить однородное уравнение

3.  Решить линейное уравнение ,

4.  Решить уравнение Бернулли

5.  Решить уравнение в полных дифференциалах

6. Решить уравнения, не разрешенные относительно производной

а) б)

7. Понизить порядок уравнений

а) б) в)

8. Решить задачу Коши

а) , ,
б) , , ,

9. Решить уравнение методом вариации произвольных постоянных

10. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов

11. Решить системы уравнений

а) б)

7.2.  Примерные вопросы для подготовки к экзамену

1.  Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении. Поле направлений. Изоклины.

2.  Построение дифференциального уравнения семейства кривых. Ортогональные и изогональные траектории.

3.  Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.

4.  Построение интегральных кривых уравнений с разделяющимися переменными.

5.  Интегрирование однородного уравнения.

6.  Построение интегральных кривых однородного уравнения.

7.  Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным уравнениям.

8.  Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

9.  Линейные уравнения первого порядка.

10.  Метод Бернулли решения линейного уравнения первого порядка.

11.  Метод вариации произвольной постоянной решения линейного уравнения первого порядка.

12.  Уравнения Бернулли и Риккати.

13.  Уравнение в полных дифференциалах.

14.  Уравнение с интегрирующим множителем.

15.  Уравнения, не разрешенные относительно производной.

16.  Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения.

17.  Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения вида. Доказательство существования.

18.  Формулировка теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения вида. Доказательство единственности. Продолжение решений.

19.  Формулировка теоремы существования и единственности для уравнений, не разрешенных относительно производной. Нахождение особых решений.

20.  Уравнения порядка выше первого (начальные понятия и геометрическая интерпретация). Теорема существования и единственности.

21.  Уравнения, допускающие понижения порядка.

22.  Однородное линейное уравнение n-го порядка. Вронскиан и его свойства.

23.  Фундаментальная система и общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка.

24.  Общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка.

25.  Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

26.  Метод неопределенных коэффициентов для линейного неоднородного уравнения n-го порядка. Приведение линейного уравнения к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

27.  Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

28.  Граничные задачи для уравнения второго порядка. Функция Грина.

29.  Системы дифференциальных уравнений. Интегралы и их свойства.

30.  Связь между дифференциальным уравнением n-го порядка и системой уравнений.

31.  Система в симметричной форме. Метод интегрируемых комбинаций.

32.  Теорема существования и единственности для нормальной системы.

33.  Зависимость решения от параметра. Дифференцируемость по параметру.

34.  Системы линейных дифференциальных уравнений. Вронскиан и его свойства.

35.  Формула Остроградского - Лиувилля.

36.  Теоремы об общем решении однородной и неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.

37.  Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

38.  Уравнения в частных производных первого порядка. Линейное однородное уравнение.

39.  Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.

40.  Уравнения в частных производных первого порядка. Линейное неоднородное уравнение.

41.  Задача Коши для линейного неоднородного уравнения в частных производных первого порядка.

42.  Понятие устойчивости.

43.  Устойчивость линейной неоднородной системы.

44.  Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.

45.  Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Теорема Четаева.

46.  Устойчивость по первому приближению.

47.  Автономные системы на плоскости.

48.  Фазовые портреты канонических систем на плоскости.

49.  Особые точки. Узел.

50.  Особые точки. Седло.

51.  Особые точки. Фокус.

52.  Особые точки. Центр.

53.  Особые точки. Вырожденный узел и дикритический узел.

8.  Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– практические занятия в диалоговом режиме;

– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

9.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

9.1.  Основная литература

1.  Тихонов, уравнения : учеб. для студ. физ. спец. и спец. "Прикладная математика" / , . - 4-е изд. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.

2.  Филиппов, в теорию дифференциальных уравнений : учеб. для студ. вузов по группе физ.-мат. напр. и спец. / . - 2-е изд., испр. - Москва: УРСС, 2007. - 240 с.

9.2.  Дополнительная литература

3.  Оптимальное управление / ред. , . - Москва: МЦНМО, 2008. - 320 с.

4.  Андронов, колебаний / , , . - Москва: Наука, 1981. - 568 с.

5.  Краснов, дифференциальные уравнения : задачи и примеры с подробными решениями : учеб. пособие для студ. втузов / , , . - 5-е изд., испр. - Москва: КомКнига, 2005. - 256 с.

6.  Краснов, исчисление. Теория устойчивости : задачи и примеры с подробными решениями : учеб. пособие / , ёв. - 3-е изд., испр. и доп. - Москва: Едиториал УРСС, 2003. - 176 с.

7.  Пантелеев, дифференциальные уравнения. Практический курс [Электронный ресурс] : учеб. пособие с мультимедиа сопровождением / , , . – М.: Логос, 2010.- Режим доступа: http://znanium. com/catalog. php? bookinfo=469288 (дата обращения: 22.09.2014)

8.  Петровский, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. для вузов / . - 6-е изд., стереотип. - Москва: Едиториал УРСС, 2003. - 272 с.

Филиппов, задач по дифференциальным уравнениям/ . - 5-е изд.. - Москва: Либроком, 2013. - 240 с.

9.3.  Программное обеспечение и Интернет – ресурсы

Интернет – ресурсы:

1.  Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. mexmat. ru

2.  eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary. ru

Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 12 (или выше).

10.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Аудитория с мультимедийным оборудованием для лекционных и практических занятий.

Приложение 1

Карта компетенций «Дифференциальные уравнения»,

направление 010500.62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».

Код	Формулировка компетенции	Результат обучения в целом	Результаты обучения по уровням освоения материала	Виды занятий	Оценочные средства
минимальный	базовый	повышенный
ПК-1	определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для данной дисциплины	Знать:	основные понятия и определения дифференциальных уравнений	общие формы, закономерности, инструментальные средства дифференциальных уравнений(в дополнение к минимальному уровню)	применение дифференциальных уравнений при построении математических моделей; связи с другими дисциплинами (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
Уметь:	использовать основные понятия и определения дифференциальных уравнений	определять общие формы, закономерности, инструментальные средства дифференциальных уравнений(в дополнение к минимальному уровню)	применять дифференциальные уравнения в профессиональной деятельности (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
Владеть:	Методами решения простейших дифференциальных уравнений	инструментальными средствами дифференциальных уравнений (в дополнение к минимальному уровню)	Методами построения и исследования математических моделей в профессиональной деятельности (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
ПК-6	умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата	Знать:	формулировки основных утверждений и теорем дифференциальных уравнений	строение теорем, стандартные методы их доказательства (в дополнение к минимальному уровню)	строение теоремы, стандартные и не­стандартные методы их доказательства (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
Уметь:	увидеть следствия сформулированного результата при доказательствах простейших теорем	увидеть следствия сформулированных утверждений и теорем на уровне вузовского курса (в дополнение к минимальному уровню)	увидеть следствия сформулированного результата в профессиональной деятельности (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
Владеть:	методами и приемами доказательств простейших теорем	методами и приемами доказательств утверждений и теорем на уровне вузовского курса (в дополнение к минимальному уровню)	методами и приемами доказательств утверждений и теорем (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
ПК-16	выделение главных смысловых аспектов в доказательствах	Знать:	иметь представление о доказательствах и строении теорем	строение теорем, стандартные методы их доказательства (в дополнение к минимальному уровню)	строение теоремы, стандартные и не­стандартные методы их доказательства (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
Уметь:	выделять главное в доказательствах простейших теорем	выделять главные смысловые аспектов в доказательствах теорем на уровне вузовского курса (в дополнение к минимальному уровню)	выделять главные смысловые аспектов в доказательствах теорем (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа
Владеть:	простейшими приемами логиче­ского мышления	приемами логического мышления, связанными с умением выделять главное в стандартной ситуации (в дополнение к минимальному уровню)	приемами логиче­ского мышления, связанными с уме­нием выделять главное в любой ситуации (в дополнение к минимальному и базовому уровню)	Лекции, практические занятия, самостоятельная работа	контрольная работа

Приложение 2

Структура и трудоемкость дисциплины.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
4
Контактная работа:	110,5	110,5
Аудиторные занятия (всего)	68	68
В том числе:
Лекции	34	34
Практические занятия (ПЗ)	34	34
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:	2,5	2,5
Самостоятельная работа (всего):	40	40
Общая трудоемкость зач. ед. час	3	3
108	108
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)		зачет

Приложение 3

Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.

Зачет проходит в виде собеседования по вопросам билета. Билет состоит из двух вопросов. Если в семестре студент набрал не менее 50 баллов, то необходимо ответить только на один вопрос билета; если менее 50, то на оба вопроса. На подготовку к ответу отводится не более 60 минут. Ответ на каждый вопрос оценивается по 100бальной шкале. Результирующая оценка рассчитывается как среднее арифметическое оценок за ответы на вопросы. При результате от 0 до 60 баллов выставляется оценка «не зачтено»; от 61 до 100 – «зачтено».

Примеры задач (базовый уровень)

1. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство его решений

2. Решить уравнение

3. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и проходящую через данную линию

4. Решить систему уравнений

Примеры задач (пороговый уровень)

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

Приложение 4

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)

Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:

- название темы;

- цели и задачи изучения темы;

- основные вопросы темы;

- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения данной темы;

- список рекомендуемой литературы;

- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе таблицы, рисунки, схемы и т. п.;

- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.

В ходе работы над теоретическим материалом достигается

- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;

- воспроизведение фактического материала;

- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;

- обобщение и систематизация знаний по теме.

При подготовке к зачету рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на лекционных и практических занятиях и представленные в рабочей программе, используя основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.