ПЕРЕОЦЕНКА РИСКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ОПАСНЫХ
ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ БАЙЕСОВСКИХ СЕТЕЙ
,
Екатеринбург, Россия
Традиционно использование Байесовского подхода для определения по появляющимся новым (апостериорным) опытным данным апостериорной вероятности разрушения потенциально-опасных объектов (ПОО). Известно множество приложений теоремы Байеса в самых различных областях [2,6] . Успешнее всего это делается в исследованиях по информатике и созданию искусственного интеллекта[3].
Для сложных инженерных сооружений и структур переоценка надежности на основе Байесовской сети должна проводиться с одновременным учетом двух важных особенностей структурных систем: существования различных вариантов последовательности множественных повреждений и корреляции предельных состояний [4].
Если после очередной инспекции поступает новая информация о состоянии системы, то возможна Байесовская корректировка предшествующего (априорного )
прогнозирования показателей надежности ПОО в целом и отдельных его частей.
В первой части данной работы представлен алгоритм переоценки рисков на основе Байесовской сети, составленный c учетом алгоритмов [4] и апробированный на примере (в данной статье не приводится) эксплуатируемого газопровода в условиях коррозионного растрескивания под напряжением (КРН). Алгоритм может быть использован для решения задач оценки вероятности инициирующих аварию событий, применительно к сложным ПОО. Вторая часть работы посвящена расчету апостериорных вероятностей для простых структур в виде двух - и трехузловых цепей при появлении новой информации об элементах структуры. Приведены примеры расчета.
1.Переоценка надежности для эксплуатируемого газопровода в условиях КРН на основе Байесовской сети
Последовательное соединение участков трубы
Ограничимся в дальнейшем представлением участка газопровода в виде двух последовательно соединенных сегментов А и В, каждый из которых содержит только одну наружную трещину типа КРН. Такая система отказывает, если происходит отказ (разрушение) на одном из сегментов. Предположим, что вероятностная информация о сегментах трубы задается следующими параметрами, которые рассматриваются как случайные величины:
- начальными размерами глубин 
и длин 
трещин;
- давлением перекачки газа 
и 
;
- критическим значением J-интеграла для материала трубы 
.
Байесовская сеть представляет собой графическое изображение вероятностно-причинной зависимости между случайными параметрами и потоком информации в модели. Построим для приведенной выше задачи, следуя здесь и далее [4], трехузловую Байесовскую сеть (Рис.1) с тремя булевыми переменными А, В и С, где события А, В и С обозначают соответственно разрушения сегментов и всего участка трубы. При этом
каждая из компонент А, В и С может принимать только два значения: 1 (разрушение) и 0 (отсутствие разрушения).
Рис.1. Простейшая трехузловая Байесовская сеть для рассматриваемой системы
Для зависимого узла С (детского, по классификации [4]) должны быть заданы (на основе опытов или из соображений здравого смысла) функции условной вероятности Р(С│А, В), характеризующие состояние соседних ( родительских) узлов А и В (см. Табл.1 ).
Таблица 1
Условная вероятность Р(С│А, В) при заданных значениях компонент А и В в последовательной системе
- | А = 1 | А = 0 |
В = 1 | 1,0 | 1,0 |
В = 0 | 1,0 | 0,0 |
Можно показать, что в данном случае узлы (события) А и В не являются независимыми. Действительно, предположим, что разрушение части А происходит при условии 
, а части В при 
. Здесь 
и 
- соответственно значения
J- интеграла на участках трубы с начальными трещинами 
и 
при внутреннем
давлении газа и .
Видно, что существует статистическая корреляция между состояниями А и В, поскольку в представлении их предельных состояний содержится общая случайная величина. Это означает, что узлы А и В не независимы. Следовательно, конструкция Байесовской сети из трех узлов А, В и С должна быть модернизирована для включения в нее зависимости из-за коррелированных предельных состояний. С этой целью вводятся
дополнительные (корневые) узлы, так чтобы полученная схема содержала все входные случайные переменные (Рис.2).
Рис.2. Модифицированная трехузловая Байесовская сеть для рассматриваемой системы
Предположим далее, что все рассматриваемые случайные величины (СВ) независимые.
Для дополнительных узлов , , Jc , и (см Рис.2) должна быть задана таблица априорных функций распределения всех СВ (интегральных – F(…) и дифференциальных - f(…)).
Рассмотрим различные варианты вновь поступившей информации о состоянии
системы в целом или отдельных ее частей.
а) Если отмечается разрушение всей системы (участка трубопровода), то вероятность разрушения вследствие КРН отдельных ее частей (сегментов) , а также распределение вероятностей соответствующих случайных переменных могут быть скорректированы на основе теоремы Байеса.
Например, вероятность разрушения сегмента А в условиях п. а) равна
. (1)
Здесь Р(С = 1) обозначает вероятность разрушения трубы в целом и определяется выражением
(2)
При этом значения и в заданный момент времени Т при известных начальных параметрах трещин, давлении газа и скорости КРН могут быть рассчитаны по алгоритму описанному в [5]. Аналогично определяется вероятность разрушения части В :
(3 )
Для уточненных функций распределения и плотности распределения вероятностей случайной величины будем иметь
(4 )
и
(5 )
где 
— соответствующая производная, которая в излагаемой постановке задачи
должна вычисляться численно. ( Если, например, посчитать методом Монте-Карло значения функции 
для двух близких значений 
и 
, то производная будет равна 
).
Аналогичные формулы можно записать и для случайных величин ,Jc , и .
б) Если имеются сведения о разрушениях сегмента В, то можно скорректировать
вероятностные характеристики для сегмента А :
(6 )
и
(7)
Аналогично корректируются распределения для Jc и pA .
в ) В случае разрушения сегмента А возможна корректировка вероятностных характеристик для сегмента В:
( 8 )
(9 )
Информация о разрушении какой-либо из частей может использоваться и для
корректировки вероятности разрушения всей системы. В случае последовательной системы это делается просто:
(10 )
и
=1
1.2. Параллельное соединение участков трубы
Если участок трубопровода имеет параллельные сегменты, то система в целом отказывает, только если отказывают оба сегмента. В этом случае, помимо статистической зависимости, рассмотренной для последовательной системы, нужно учесть еще и множественность последовательностей повреждения. А именно, возможность одного из трех различных вариантов разрушения такой системы:
1 ) сначала отказывает часть А, затем часть В;
2 ) сначала отказывает часть В, потом часть А;
3 ) одновременно отказывают части А и В.
Следует обратить особое внимание на то, что в рассматриваемом случае повреждение одной части системы изменяет вероятность разрушения другой части.
Для учета множественности последовательностей разрушения можно использовать Байесовскую сеть, изображенную на Рис.2, но с дополнительной информацией о вероятностях последовательного разрушения, представленных в Табл. 2.
Табл. 2
Условная вероятность разрушения системы Р(С│А, В) при заданных значениях компонент А и В параллельной системы
- | А = 0 | А = 1 |
В = 0 | 0,0 |
|
В = 1 |
| 1,0 |
В Табл. 2 приняты следующие обозначения:
А = 1 и В = 1 – соответственно отказы частей А и В неповрежденной системы;
- измененное состояние части А вследствие разрушения части В;
- измененное состояние части В вследствие разрушения части А.
В соответствии с Табл. 2 имеем
При этом, например, первое соотношение обозначает, что вероятность разрушения системы (С = 1), в условиях первоначального отказа элемента В, равна вероятности разрушения элемента А после отказа элемента В, поскольку, по определению, в случае параллельной системы состояние С=1 определялось при разрушении обеих частей.
Оценим теперь надежность системы, состоящей из двух параллельных сегментов трубы. В случае неповрежденной системы предельные состояния составляющих ее элементов выражаются соотношениями:
для А = 1 - 
( 11 )
для В = 1 - 
.
После повреждения одной из частей системы, неповрежденной части соответствует уже другое предельное состояние:
для 
- 
( 12 )
для 
- 
В формулах (12) 
, 
обозначают соответственно значения J- интеграла для участка трубы В (после разрушения части А, при давлении 
) и участка трубы А (после разрушения части В, при давлении 
). Таким образом, рассматривая совместно Байесовскую сеть, изображенную на Рис.2, Табл. 2 условных вероятностей, и условия (11)-(12) предельных состояний для каждого элемента, получим следующее выражение для оценки уточненной вероятности отказа всей системы:
(13 )
(14)
Аналогичным образом записывается и .
Если установлен факт разрушения системы, то можно скорректировать вероятности разрушения отдельных компонент:
(15 )
Модифицированная функция плотности вероятности 
может быть получена из соотношения (5), где Р(С=1) определяется выражением (13).Аналогично
корректируются функции плотностей вероятностей для 
и .
Все вероятности в формулах (1)-(15) можно рассчитать, например, обычным или ускоренным методом Монте-Карло [1] .
2. Определение апостериорных вероятностей для последовательностей событий в виде простых цепей
Рассматриваются последовательности событий, которые можно представить как
двух - и трехузловые цепи. В соответствии с [3], Булевы узлы представляют собой утверждения, принимающие бинарные значения « истина» (Т) или «ложь»(F). Причинные цепи cостоят из узлов, где каждый предыдущий узел является причиной последующего узла: событие Х вызывает событие Y, которое, в свою очередь, вызывает событие Z. Для причинных цепей справедливо правило условной независимости : вероятность события Z при одном заданном событии Y та же, что и при двух заданных событиях Y и Х. Если для этих событий заданы априорные вероятности, то при появлении новых дополнительных данных об узлах можно, на основе теоремы Байеса, рассчитать апостериорные вероятности для рассматриваемых узлов.
А) Двухузловая цепь событий Х→ Y
Если в распоряжении исследователя имеется сведение о событии Х вида Х= х, где х принимает значения T или F, то апостериорные вероятности 
для события Y можно получить из заданной таблицы условных вероятностей 
.
(Здесь Bel – сокращение от "belief in…" - означает апостериорную степень убежденности (вероятность) в том, что данное событие произойдет.) При наличии сведения типа Y=y о событии Y (где y= T или F), апостериорные вероятности для события Х рассчитываются с помощью теоремы Байеса [3]:
, (16 )
где 
– априорная вероятность; 
Предположим, что, по данным диагностических фирм, показаний систем мониторинга, на основе результатов наблюдений подразделений МЧС или из других источников для данной системы известны:
- априорная вероятность 
( 17 )
- условные вероятности 
Тогда при Х=T имеем:
Bel (Y = T) = Р(Y=T│Х=T) = 
,
( 18 )
Bel (Y = F) = Р (Y=F│Х=T) =1 - .
Как показано в работе [3], коэффициент μ можно рассчитать и при отсутствии данных об априорной вероятности P(Y=y). Действительно, в предположении, что о событии Y есть информация вида Y=T, согласно соотношениям (16) будем иметь:
Bel (Х = Т)= μ β ,
( 19 )
Bel (Х = F)= μ (1-β ) 
Тогда из условия
Bel (Х = Т)+ Bel (Х = F)= 1= μ (β + 
-β )
для неизвестного коэффициента получим :
μ = 1/ (β + -β ). ( 20 )
Окончательно, апостериорные вероятности Bel (Х) будут иметь вид:
Bel (Х = T) = 
,
( 21 )
Bel (Х = F) 
В) Трехузловая цепь Х→ Y→ Z
Если есть данное об узле Х вида Х=х, то для перерасчета вероятностей событий в направлении стрелок используется правило цепи с учетом предполагаемых независимостей :
Bel(Z) = P(Z|X=x) = 
( 22 )
При наличии сведения об узле Z ( Z=z, z= T или F ) использование теоремы Байеса и правила цепи дает
Bel(X=x) = P(X=x|Z=z)= 
(23 )
где
, (24)
априорная вероятность.
Предположим далее, что для рассматриваемой цепи по данным наблюдений известны:
- априорная вероятность Р(Х=T)=β ;
- условные вероятности
Р(Y=T│Х=T)= , Р(Y=T│Х=F)= , (25)
Р(Z=T│Х=T)= β1 , Р(Z=T│Х=F)= β2 .
Если о событии Х стало известно, что оно истинное (Х=T) ,то с помощью соотношения
( 24 ) можно вычислить апостериорные вероятности для события Z:
Bel (Z = T) = 
(х =T)= β1 + β2 (1 - ) ,
( 26 )
Bel (Z = F) = (х =F)= β1 + β2 (1 – ).
В случае, если доподлинно известно, что Z=T , можно рассчитать апостериорные вероятности для узла X. Согласно формулам ( 23 ) и (26 )
Bel (Х = T) = 
β( β1 + β2 (1 - ) ),
( 27 )
Bel (Х = F) = (1- β)( β1 + β2 (1- ) ).
Поскольку условные вероятности при всех гипотезах дают в сумме единицу, то должно выполняться условие
Bel (Х = T) + Bel (Х = F) =1,
из которого и определяется неизвестный коэффициент = 1/ β * , где
β * = = β (β1 + β2 - β2 ) + (1 - β) (β1 + β2 - β2 ).
Окончательно для Bel (Х) получим:
(28 )
Рассмотрим несколько иллюстративных примеров, демонстрирующих применение изложенных выше алгоритмов. Расчет по указанным алгоритмам выполнен на основе данных, представленных в [7].
Пример № 1
Рассматривается двухузловая цепь Х → Y как часть дерева событий, показанного на Рис. 3 .Событие Х – возгорание при разрыве газопровода; событие Y – смерть людей или повреждение имущества. Расчеты по алгоритму п. А) выполнены для исходных данных в Табл.3, результаты расчетов приведены в колонке 8 таблицы.
Травмирование людей,
смертельные случаи (30%)
__________________________________
| Повреждение имущества (45%)
Возгорание при разрыве(15%) |
_____________________________| __________________________________
| | Нет повреждений (25%)
| |_________________________________ _
Появление |
__________ │
разрыва | Травмирование людей/смертельные
| случаи (10%)
| __________________________________
| Возгорание | Повреждение имущества (70%)
| вдали от _______|___________________________
| разрыва (5%) | Нет повреждений (20%)
| | | _________________________________
| Нет |
| возгорания |
| при разрыве |
| (85%) |
|_________________|
|
| Травмирование людей/смертельные
| случаи (1%)
| ________________________________
| | Повреждение имущества (45%)
| Нет возго - |
| рания(85%) |
|_________ |_______________________________
| Нет повреждений (54%)
|__________________________________
Рис. 3 Дерево событий и вероятности событий при разрыве газопровода
Таблица 3
Исходные данные и определяемые апостериорные вероятности для
двухузловой цепи
Иниции-рующее событие | Возмож-ные варианты cобытия Y | Р( Х=T) = β | Р(Y=T│ Х=T) = | Р(Y=T│Х=F) = | Вновь посту - пившая инфор-мация | Расчетная апостерио- рная веро- ятность | Числен-ное значе- ние |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Х = T Возгора- ние при разрыве газопро- вода | Гибель людей ________ Повреж- дение имуще-ства | 0,150 _______ 0,150 | 0,300 _______ 0,450 | 0,10 (при Воз-гора-нии вдали от ра- зрушения) _____ 0,70 (при воз-гора-нии вдали от раз- руше- ния | __ _______ Y = T _______ ___ _______ Y = T | Bel (Y = T) Bel (Y = F) __________ Bel (Х = T) Bel (Х = F) __________ Bel (Y = T) Bel (Y = F) __________ Bel (Х = T) Bel (Х = F) | 0,300 0,700 _______ 0,346 0,654 _______ 0,450 0,550 _______ 0,102 0,898 |
Пример № 2
События в трехузловой цепи Х→ Y→ Z означают:
Х - отсутствие возгорания при разрыве газопровода;
Y - возгорание вдали от места разрыва;
Z - гибель людей, повреждение имущества.
При расчете по алгоритму п.B) и исходных данных в Табл. 4 получены результаты,
приведенные в колонке 10 таблицы.
График изменения функции Bel (Х=T) в зависимости от начальной вероятности
Р( Х=T) = β представлен на Рис.4
Таблица 4
Исходные данные и определяемые апостериорные вероятности для
трехузловой цепи
Иници-ирую-щее собы- тие | Вариан- ты события Z | β |
|
| β1 | β2 | Вновь посту- пившая инфор- мация | Расчетные апостери- орные вероятно- сти | Числе нное значе- ние |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Х=T Отсут- ствие возго- рания при разры- ве газо- прово- да | Гибель людей _______ Повре- ждение имуще- ства | 0,850 ____ 0,850 | 0,050 0,050 | 0,000 ______ 0,000 | 0,100 _____ 0,700 | 0,010 ______ 0,450 | __ _______ Z=T _______ __ _______ Z=T | Bel (Z=T) Bel (Z=F) _________ Bel (Х=T) Bel (Х=F) _________ Bel (Z=T) Bel (Z=F) _________ Bel (Х=T) Bel (Х=F) | 0,015 0,985 ______ 0,892 0,108 ______ 0,463 0,537 ______ 0,853 0,147 |
Рис.4 Зависимость апостериорной вероятности Bel(Х=T) от априорной вероятности Р(Х=T) при поступлении информации о том, что Z=T (гибель людей)
Литература
1.Cabral S. V. KatafygiotisL. S. Improved Adaptive Importance Sampling Procedure for Reliability Estimation. Monte-Carlo Simulation, Eds.:Shueller, Spanos, Balkema, Rotterdam, ISBN 905,2001,pp.63-70.
2.Hamada M. S.,Wilson A. G., Reese C. C.,Martz H. F. Bayesian Reliability. Springer, 2008, XVI, 436p.
3.Кorb K. B., Nicholson A. E. Bayesian Artificial Inteligence.2004
4. Mahadevan S., Zhang R., Smith N. Bayesian Networks for System Reliability Reassessment. Structural Safety,23(2001),pp.231-251.
5. Malyukova M. G., Timashev S. A. Remaining Lifetime Assessment of Pipelines With Multiple Cracks Induced by Stress Corrosion Cracking. Proceedings of PVP ‘03 Conference, Cleveland, USA, 2003.
6.Smith J. Q.Decision Analysis – a Bayesian Approach. Chapman& Hall,1995
7.Тимашев магистральных трубопроводных систем. УрО РАН, НИЦ
«Надежность и ресурс больших систем машин», Препринт, Екатеринбург,2004,57с.
