§ 7. Параметрическое задание кривых на плоскости.
Пусть заданы две функции одного аргумента
(17)
где 
(в частности допускается 
). При каждом значении 
числа 
и 
будем понимать как координаты некоторой точки на плоскости, причем эта точка, вообще говоря, меняется вместе с изменением 
, описывая некоторую кривую 
. В этом случае систему уравнений (17) называют параметрическими уравнениями линии 
, а аргумент называют параметром.
Переход от параметрических уравнений к уравнению 
осуществляется исключением параметра 
из системы уравнений (17).
Рассмотрим несколько примеров.
1. 
– известные параметрические уравнения прямой, проходящей через точку 
с направляющим вектором 
, 
.
2. 
. Исключая параметр , получаем 
, то есть уравнение параболы, 
.
3. Уравнения 
– уравнения окружности радиуса 
, т. к. 
, 
.
4. Уравнения 
, – являются параметрическими уравнениями эллипса.
5. Циклоида.
Пусть по прямой без скольжения катится круг радиуса 
. Кривая, описываемая фиксированной точкой круга, называется циклоидой. Уравнения циклоиды 
.
 |
Рис. 19.
6. Астроида.
Пусть по окружности радиуса 
внутри нее катится без скольжения круг радиуса 
. Траектория, которую описывает фиксированная точка, лежащая на границе подвижного круга, называется астроидой.
 |
|
|
|
|
Рис. 20.
Уравнения астроиды 
, 
.
7. Кардиоида.
Пусть по окружности радиуса вне ее катится без скольжения круг того же радиуса . Кривая, которую описывает фиксированная точка подвижного круга, называется кардиоидой.
 |
Рис. 21.
Уравнения кардиоиды 
, .
§ 8. Кривые в полярной системе координат.
Рассмотрим полярную систему координат на плоскости. Пусть нам задан полюс и полярная ось. Для произвольной точки 
на плоскости обозначим через 
расстояние от точки 
до точки , а через 
– угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с лучом.
 |
Рис. 22.
Числа , называются полярными координатами точки . Число называют полярным радиусом (всегда 
), а число называют полярным углом точки . Полярный радиус для любой точки определяется однозначно, а полярный угол – с точностью до 
, где 
– целое число.
Пусть на плоскости задана полярная и правая декартова прямоугольная система координат.
 |
Рис. 23.
Пусть – произвольная точка плоскости, имеющая декартовы координаты 
и полярные координаты 
. Рассмотрим радиус вектор 
точки . Сравнивая координаты, получим формулы перехода от декартовых координат к полярным:
, 
.
Формулы перехода от полярных координат 
к декартовым можно записать в виде:
, 
.
При 
можно вычислить 
.
Кривую в полярных координатах задают в виде уравнения 
или явного уравнения в виде 
.
Рассмотрим несколько примеров кривых, заданных в полярных координатах.
1. Уравнение 
, где – постоянное число, задает окружность радиуса , центр которой совпадает с полюсом .
2. Уравнение 
определяет луч, исходящий из полюса и составляющий угол с полярной осью. – произвольное число.
3. Выведем полярное уравнение окружности радиуса в случае, когда полюс лежит на ней, а полярная ось проходит через центр окружности.
Рис. 24.
Возьмем произвольную точку на окружности. Треугольник 
прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде 
.
4. Покажем, что уравнение 
и полярных координатах определяет окружность радиуса . Подставим выражения для и через 
и 
в уравнение: 
. Умножая обе части уравнения на 
, получим 
или 
. Это уравнение окружности радиуса 
с центром в точке 
.
5. Пусть в декартовой системе координат заданы прямые 
, 
. Уравнения этих прямых в полярной системе координат 
, 
.
6. Рассмотрим уравнение 
, 
. Переход к декартовым координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.
Период правой части уравнения равен 
, поэтому достаточно построить кривую для значений полярного угла из интервала 
. По свойствам функции , см. рис. 22, видно, что полярный радиус монотонно возрастает при 
и при 
монотонно убывает. При 
правая часть уравнения отрицательна, для этих значений точек кривой нет. Для остальных значений кривая получается при повороте на угол 
части кривой, расположенной между лучами 
и 
, рис. 24.
 | |
 | |
| |
 |
 |
|
Рис. 25.
Задание 3.
Построить кривые в полярной системе координат.
3.01. 
3.02. 
3.03. 
3.04. 
3.05. 
3.06. 
3.07. 
3.08. 
3.09. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
3.13. 
3.14. 
3.15. 
3.16. 
3.17. 
3.18. 
3.19. 
3.20. 
3.21. 
3.22. 
3.23. 
3.24. 
3.25. 
3.26. 
3.27. 
3.28. 
3.29. 
3.30. 
§ 9. Поверхности второго порядка
1. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению. Заданная линия называется направляющей, а совокупность параллельных прямых – образующими.
Уравнение 
задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси 
и направляющей – кривой в плоскости 
.
Уравнение 
задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси 
и направляющей – кривой в плоскости 
.
Уравнение 
задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси и направляющей – кривой в плоскости 
.
Уравнение 
задает круговой цилиндр с образующей параллельной оси и направляющей – окружностью в плоскости .
Уравнение 
задает эллиптический цилиндр.
Уравнение 
задает параболический цилиндр.
Уравнение 
задает гиперболический цилиндр.
2. Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими уравнениями.
a) 
– эллипсоид
 |
|
При 
– сфера
b) 
– однополостный гиперболоид
 |
 |
 |
Рис. 27.
c)
|
– двуполостный гиперболоид
 |
Рис. 28.
d) 
, 
– эллиптический параболоид
 |
Рис. 29.
e) , 
– гиперболический параболоид
 |
Рис. 30.
f) 
– конус второго порядка
 |
 |
Рис. 31.
Задание 4
Определить виды поверхностей и изобразить их.
4.01.
1. 
2. 
3. 
4.02.
1. 
2. 
3. 
4.03.
1. 
2. 
3. 
4.04.
1. 
2. 
3. 
4.05.
1. 
2. 
3. 
4.06.
1. 
2. 
3. 
4.07.
1. 
2. 
3. 
4.08.
1. 
2. 
3. 
4.09.
1. 
2. 
3. 
4.10.
1. 
2. 
3. 
4.11.
1. 
2. 
3. 
4.12.
1. 
2. 
3. 
4.13.
1. 
2. 
3. 
4.14.
1. 
2. 
3. 
4.15.
1.
2. 
3.
4.16.
1.
2. 
3. 
4.17.
1. 
2. 
3. 
4.18.
1. 
2. 
3. 
4.19.
1. 
2. 
3. 
4.20.
1. 
2. 
3. 
4.21.
1. 
2. 
3.
4.22.
1. 
2. 
3. 
4.23.
1.
2.
3.
4.24.
1.
2.
3.
4.25.
1.
2.
3.
4.26.
1.
2.
3.
4.27.
1.
2.
3.
4.28.
1.
2.
3.
4.29.
1.
2.
3.
4.30.
1.
2.
3.
Задание 5
Построить тело, ограниченное поверхностями:
5.01. 
5.02. 
5.03. 
5.04. 
5.05. 
5.06. 
5.07. 
5.08. 
5.09. 
5.10. 
5.11. 
5.12. 
5.13. 
5.14. 
5.15. 
5.16. 
5.17. 
5.18. 
5.19. 
5.20. 
5.21. 
5.22. 
5.23. 
5.24. 
5.25. 
5.26. 
5.27. 
5.28. 
5.29. 
5.30. 
Литература
1. Беклемишев, аналитической геометрии и линейной алгебры / – М.: Наука, 1980г. – 335с.
2. Ильин, геометрия / , – М.: Наука, 1988 – 223с.
3. , Высшая математика 1. Упражнения и задачи / , , – М.: Высш. шк., 1986 –304с.
Содержание
§ 1. Понятие кривой на плоскости………………………………………… | 3 |
§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности………………… | 3 |
§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса…………………………… | 5 |
§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы…………………… | 8 |
§ 5. Парабола. Каноническое уравнение параболы……………………… | 11 |
§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду………… | 13 |
Задание 1………………………………………………..…………………. | 18 |
Задание 2…………………………………………………………………… | 20 |
§ 7. Параметрическое задание кривых на плоскости……………………. | 26 |
§ 8. Кривые в полярной системе координат……………………………… | 28 |
Задание 3…………………………………………………………………… | 31 |
§ 9. Поверхности второго порядка………………………………………… | 32 |
Задание 4…………………………………………………………………… | 35 |
Задание 5…………………………………………………………………… | 39 |
Литература………………………………………………………………… | 41 |
