Заключительная устная олимпиада

Заключительная устная олимпиада

Заключительная устная олимпиада

Довыводные задачи

1.  Петя и Вася взвесили свои портфели. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они положили на весы оба портфеля, весы показали 6 кг. "Разве два плюс три равно шести?" – воскликнул Петя. "У весов сдвинута шкала!" – ответил Вася. Сколько же весили портфели на самом деле?

Ответ: 4 кг и 3 кг. Решение. Если шкала весов сдвинута, то вес любого предмета они показывают с одной и той же ошибкой. Пусть эта ошибка составляет х кг, т. е. при взвешивании предмета весом а кг весы показывают а+х кг. Тогда Петин портфель весит 3 – х кг, Васин – 2 – х кг, а вместе они весят 6 – х кг. Отсюда 5 – 2х = 6 – х, т. е., х = –1, 3 – х = 4 и 2 – х = 3.

2.  На острове живут рыцари, которые никогда не лгут, лжецы, которые лгут всегда, и реалисты, которые могут говорить как правду, так и ложь. В комнате собралось 10 жителей острова, и каждый сказал: «Все присутствующие здесь, в том числе и я,– лжецы». Докажите, что в комнате есть хотя бы один реалист.

Решение. В комнате не может быть рыцаря, потому что он не мог бы сказать про себя, что он – лжец. Поэтому, если в комнате нет реалистов, то должны быть все лжецы. Но тогда каждое утверждение является правдой, а лжецы не могут говорить правду.

3.  На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке, после чего проделали эту операцию ещё несколько раз. Могло ли в итоге получиться ровно 100 отмеченных точек?

Ответ: не могло. Решение: Если в некоторый момент точек было n, то мы добавляем точек на одну меньше, то есть n-1, и получаем 2n-1 точку. В результате нашей операции количество точек становится числом нечетным, но 100 – четное.

4.  Два равных прямоугольных треугольника ACB и A1CB1 имеют общий прямой угол C (см. рис). Докажите, что медиана CM треугольника ACB перпендикулярна гипотенузе A1B1 треугольника A1CB1.

Решение. Пусть ÐA =ÐA1= α, тогда ÐB = ÐB1 = β = 90º–α. Так как CM – медиана, проведенная из вершины прямого угла, то CM = BM, ÐA1CM = ÐB= 90º–α, и из суммы углов ∆ ACD получаем, что CM перпендикулярно A1B1.

5.  Каждая девочка в классе дружит с 3 одноклассниками-мальчиками, а каждый мальчик, не считая Пети, дружит ровно с 2 одноклассницами-девочками. Петя дружит только с Машей. Сколько всего учеников в классе, если там 11 девочек?

Ответ: 28 учеников. Решение. Назовем «дружбой» дружащих между собой одного мальчика и одну девочку. Каждая девочка участвует в трех таких «дружбах», следовательно, всего различных «дружб» 33. Петя участвует только в одной паре, а остальные – ровно в двух, следовательно, мальчиков (кроме Пети) в классе (33-1) : 2 = 16. Итого в классе 11+16+1 = 28 учеников.

Выводные задачи

6.  Постройте остроугольный треугольник по стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам.

Решение. На данной стороне AB, как на диаметре, строим окружность, далее проводим окружности с центрами в точках A и B и радиусами, равными высотам и в точках пересечения их с окружностью получаем основания высот A1 и B1. Вершину С треугольника получаем в пересечении прямых AA1 и BB1.

7.  Соревнование по теннису с участием 20 человек продолжалось 3 дня. В каждый из трех дней каждый участник сыграл одну партию (не обязательно с разными соперниками в разные дни). В итоге у турнира оказался единственный победитель (победитель определялся по сумме очков), но никто не проиграл все три партии. Сколько человек выиграло ровно по две партии и сколько человек выиграло ровно по одной?

Ответ: По 2 партии выиграло 8 человек, по одной партии — 11. Решение. Заметим, что победитель выиграл 3 партии (если две, то остальные выиграли не больше, чем по одной партии, и всего партий было сыграно не больше 21, а их 30). Пусть по 2 партии выиграло y человек, по одной партии — x человек. По условию x+y = 19. Кроме того, всего было сыграно 20´3/2 = 30 партий, и из них 27 были выиграны 19 участниками, которые выиграли по одной или две партии. Отсюда x+2y = 27. Решая систему из двух полученных уравнений, находим ответ.

8.  В каждой клетке доски 4´4 стоит по фишке. Каждую фишку переложили на соседнюю по стороне клетку. Какое наибольшее количество пустых клеток могло получиться после такого перекладывания?

Решение. Заметим, что после перекладывания фишки с белых полей попадают на черные и наоборот. Поэтому после перекладывания 8 фишек окажутся на черных полях и 8 – на белых. Заметим, что фишка, стоявшая на угловом поле, окажется на одном из полей, примыкающих к краю доски. На таком поле может собраться не больше трех фишек. Поэтому в компании с двумя угловыми фишками, стоявшими на белых полях, после перекладывания окажутся не больше четырех фишек. Значит, после перекладывания фишки займут не меньше трех черных полей. Аналогично доказывается, что фишки после перекладывания займут не меньше трех белых полей. Таким образом, после перекладывания фишки займут не меньше шести клеток. С другой стороны, шестью клетками можно обойтись, если переложить фишки с клеток a4, b3 и c4 на клетку b4, с с2, d1 и d3 – на d2, с а2 и b1 – на b2, с a1, b2 и c1 – на b1, с с3, d4 и d2 – на d3, с а3 и b4 – на b3. Таким образом, пустыми могли остаться, самое большее, 10 клеток.