Упругие свойства изотропных материалов

РАБОТА I

УПРУГИЕ СВОЙСТВА ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

I.  ИСПЫТАНИЕ НА РАСТЯЖЕНИЕ

Цель работы. Построение зависимости ; определение модуля Юнга, коэффициента Пуассона, модуля объемного сжатия, модуля сдвига; построение диаграмм , .

Общие сведения. В эксперименте по определению механических свойств мы имеем дело всегда с тремя объектами: испытуемый материал в виде образца той или другой формы; нагружающее (силовозбуждающее) устройство; измерительная аппаратура для определения и записи прилагаемых к телу внешних воздействий и возникающих в нем напряжений и деформаций.

Напряжения, являющиеся мерой изменения внутренних сил, связаны с изменением взаимного расположения элементарных частиц, происходящим при наличии внешнего воздействия (внешние силы — объемные и поверхностные, температура). Следовательно, напряжения связаны некоторой зависимостью с деформациями, возникающими при действии внешних сил на тело. Самым простым видом такой зависимости является линейная зависимость между тензорами напряжений и деформаций :

(1)

где - компоненты тензора упругих модулей. Деформируемые твердые тела, для которых справедлива зависимость (1), называются линейно-упругими, а соотношение (1) называется законом Гука. Упругость - это свойство обратимости деформации, означающее, что после снятия нагрузки деформации исчезают. При деформациях, не превосходящих определенного предела, большинство твердых тел проявляют линейно-упругие свойства. Модули обладают следующей симметрией

(2)

Поэтому независимых компонент не более 21. Упругое тело называется изотропным, если его свойства одинаковы по всем направлениям. В этом случае независимых компонент всего 2. Обозначая их и (так называемые параметры Ламе), закон Гука для изотропного тела запишем в виде

(3)

где

Константы ,(имеют размерность напряжений [сила/площадь]. Закон Гука (3) можно разрешить относительно деформаций

, (4)

где , — коэффициент Пуассона (безразмерный), а — модуль Юнга, имеющий размерность напряжений. Из (3),(4) видно, что выражаются через и

, (5)

Закон Гука (3),(4) можно записать отдельно для шаровых и девиаторных частей тензоров напряжений и деформаций

(6)

Здесь— девиаторы тензоров напряжений и деформаций

(7)

— модуль объемного сжатия, причем . Константа называется модулем сдвига, так как согласно (6), определяет упругие свойства при сдвиговых деформациях.

Интенсивностями напряжений и деформаций называются величины

(8)

С их использованием закон Гука может быть записан в виде

(9)

Из формулы (4) следует, что при одноосном напряженном состоянии, когда ,а остальные компоненты равны нулю, закон Гука приобретает простой вид

. (10)

Поэтому константы и проще всего могут быть найдены из опыта на одноосное растяжение цилиндрического образца.

Следует отметить, что в опытах по определению механических свойств материалов измеряются относительные перемещения частиц, расположенных на поверхности исследуемого тела. О величине напряжений судят или по силе, действующей на деформируемое тело, или по измерению некоторых физических свойств материала (поляризационно-оптический метод), или на основе методов аналогии (электрическая, мембранная, гидродинамическая аналогии и др.). Можно также исследовать напряжения путем измерения деформаций атомной решетки (рентгеновский метод исследования напряжений). Формы образцов и внешние нагрузки выбирают так, чтобы с достаточной степенью достоверности можно было считать, что напряженное и деформированное состояние образца является однородным, т. е. что напряженные и деформированные состояния во всех точках исследуемой части тела одинаковы. Тогда по измерениям деформаций на поверхности тела можно судить о деформациях внутри тела, а по измеренным суммарным внешним силам - вычислить напряжения в теле. Например, при растяжении цилиндрического образца и при кручении тонкостенной трубки эти условия соблюдаются, а при кручении сплошных образцов и при испытании на изгиб напряженное состояние является неоднородным.

Растяжение образца. В опытах на растяжение (или сжатие) цилиндрических образцов могут быть обнаружены основные механические свойства материалов. Чтобы исключить различие в трактовке опытных данных, установлены стандартные размеры и формы образцов.

Предполагая однородность напряженно-деформированного состояния в рабочей части образца, измеряем растягивающую силу Р. и вычисляем величину нормального напряжения на площадках, перпендикулярных оси образца (ось Х), делением силы на площадь поперечного сечения в недеформированном состоянии

, причем . (11)

Ось образца является главной осью напряженно-деформированного состояния. Остальные две главные оси лежат в плоскости сечения, перпендикулярного оси образца. Из закона Гука (10) и соотношений (11) следует

, (12)

где — абсолютное удлинение расчетной дайны .

Предел пропорциональности (точка А на рис.1) — то наибольшее напряжение, при котором еще имеет место линейная зависимость между напряжениями и деформациями.

Определение констант и .

Для определения констант и необходимо измерить силу, растягивающую образец; удлинение расчетной длины , площадь поперечного сечения до деформации и удлинение диаметра образца в рабочей части. По определению напряжение , а относительная продольная деформация .

Тогда модуль Юнга определяем по формуле , где —растягивающая сила, — расчетная длина образца; — абсолютное удлинение; — площадь поперечного сечения.

Полезно знать значения модулей упругости некоторых материалов. Так, для стали МПА, для меди МПа, для алюминия Е=МПа.

Если в ходе испытания измерять изменения размеров поперечного сечения, то при растяжении размеры поперечного сечения уменьшаются, а при сжатии — увеличиваются. Коэффициент определяется по формуле

Для многих металлов близко к 0,3. Вообще же для всех материалов

Значение =0 соответствует материалу, поперечное сечение которого не меняется при растяжении — сжатии, это —пробка. Значением близким к =0,5 обладает резина. Значение =0,5 соответствует несжимаемому материалу, объем которого не меняется при деформации, т. е. =0.

Порядок выполнения работы. Опыт на растяжение проводится на испытательной машине кинематического типа (см. введение). Для измерения деформаций используются зеркальные тензометры Мартенса и тензорезисторы. Диаметр образца замеряют в трех точках микрометром и берут среднее, данные записывают в таблицу I; далее образец закладывается в захваты машины, закрепляется. На образец устанавливаются четыре зеркальных тензометра Мартенса; два — для замера продольных и два — для замера поперечных деформаций. Приборы устанавливаются по одному на противоположных гранях образца, чтобы исключить влияние неравномерного растяжения образца. На образец наклеены электрические тензодатчики, подключенные к измерителю деформаций. Наличие тензодатчиков и приборов Мартенса позволяет произвести тарировку тензодатчиков.

Так как испытательные машины при нагрузках близких к нулю, имеют недостаточную точность показаний, то образцам сообщается предварительное начальное нагружение. Начальное напряжение берется 100 МПа для стали и 30 МПа для цветных металлов. Снимаются отсчеты по всем приборам и записываются в протокол испытания (табл.1).

Таблица 1

Материал

Диаметр образца

Длина рабочей части

Расчетная длина (база прибора)

Расстояние от зеркала до шкалы

Длина большей диагонали ромбической призмы =

Диаметр валика =

P Кг

Продольные тензометры

Поперечные тензометры

см

см

см

см

см

см

см

см

см

см

1000 2000 3000 4000 5000 4000 …..

Показания тензорезистров записываются в табл.2.

Tаблица 2.

Р кг

Продольные тензорезисторы

Поперечные тензорезисторы

прод

попер

1000 2000-3000- 4000 ……

После проведения эксперимента и заполнения таблиц 1,2 по значениям величин А и вычисляются деформации и

,

и на миллиметровке строятся экспериментальные зависимости

~, ~ , ~ , ~ .

Затем по этим экспериментальным значениям методом наименьших квадратов определяются модули и коэффициент .

Метод наименьших квадратов состоит в том, что, например, коэффициенты и прямой определяем из условия минимума величины

(13)

где - число экспериментальных точек , . Дифференцируя no и , получим систему уравнений для их определения. В результате имеем

, (14)

Аналогично находятся величины .

По вычисленным продольным деформациям и показаниям тензорезисторов прод. методом наименьших квадратов находим тарировочный коэффициент ( прод.) По показаниям поперечных и продольных тензорезисторов вычисляем коэффициент Пуассона (=).

1.  , Ленский материалов. М. Физматгиз, 1959.

2.  ,,, Скорый практикум по сопротивлению материалов деформированию. М. Изд-во Моск. Ун-та, 1961.