К уроку 19 мая
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вариант 4Последовательно получаем:
Ответ: −1.
Ответ: -1
338480
-1
Решение.
Упростим выражение:
Найдем значение выражения при 
Ответ: 4.
Ответ: 4
311317
4
Решение.
Решим систему:
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
311905
3
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.
9. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Решение.
Пусть катеты имеют длины 
и 
а гипотенуза — длину 
Пусть длина высоты, проведённой к гипотенузе равна 
Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов или как половина произведения высоты, проведённой к гипотенузе на гипотенузу:
Ответ: 33,6.
Ответ: 33,6
322819
33,6
10. 
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Решение.
Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен 5 см.
Ответ: 5.
Ответ: 5
311681
5
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.
11. 
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
Решение.
Проведём высоту 
Средняя линия равна полусумме оснований: 
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Поскольку 
— средняя линия, 
поэтому 
Отрезки 
и 
равны, 
по теореме Фаллеса получаем, что 
Найдём площадь трапеции 
Ответ: 11.
Ответ: 11
340197
11
12.. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите пло
щадь получившейся фигуры.
Решение.
Площадь получившейся фигуры равна разности площадей квадрата и прямоугольника: 8 · 8 − 6 · 1 = 58.
Ответ: 58.
Ответ: 58
333119
58
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605
13. Какие из следующих утверждений верны?
1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Пусть x голосов приходится на одну часть, тогда 5x приходится на второго кандидата, а 3x - на первого. Зная, что в голосовании участвовало 120 человек составим уравнение:
Таким образом, победитель получил:
.
Ответ: 75.
Ответ: 75
137262
75
17. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
Решение.
Пусть x — искомое расстояние. Треугольники СDE и СAO подобны, поэтому
Имеем:
Ответ: 500.
Ответ: 500
311688
500
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.
Решение.
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, разложим на множители:
Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:
Ответ: 
Источник: Банк заданий ФИПИ
Решение.
Построим график функции y = x +1 при x < 1 и график функции y = x2 − 4x + 5 при x ≥ 1.
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы или через точку (1; 2). Получаем, что m =1 или m = 2.
Ответ: 1; 2.
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.
24. 
Сторона ромба равна 24, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Решение.
Введём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник ABH — прямоугольный, в нём угол A равен 60°. Тогда отрезок AH можно найти по формуле:
Найдём отрезок HD:
Ответ: 12,12.
Источник: Банк заданий ФИПИ
25. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Решение.
Проведём высоты 
и 
они равны. Площадь треугольника 
равна 
Площадь треугольника 
равна 
Поскольку высоты и 
равны, равны и площади треугольников и 
Покажем, что площади треугольников 
и 
равны:
26. В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание трапеции равны 
см и 
см.
