Инвариантные подпространства некоторых операторов, самосопряженных в пространстве с индефинитной метрикой

Инвариантные подпространства некоторых операторов,
самосопряженных в пространстве с индефинитной метрикой

Нижневартовский государственный гуманитарный университет, г. Нижневартовск

Введение и постановка задачи. Пусть H - комплексное гильбертово пространство и - его ненулевые взаимно ортогональные подпространства, = H, - соответствующие ортогональные проекторы. Эрмитова форма называется индефинитным скалярным произведением (индефинитной метрикой). Если dimH=n, 0<n<, то в пространстве H имеем - метрику,
число n называется рангом индефинитности, а H называют пространством Понтрягина. Если же
dimH= dimH= , то получаем пространство с - метрикой, его называют также пространством Крейна.

Линейный оператор A с плотной областью определения D(A) в H называется J - симметрическим (симметрическим относительно индефинитной метрики), если [Ax,y] = [x,Ay]; такой оператор допускает замыкание [1]. Другие необходимые сведения о пространствах с индефинитной метрикой и линейных операторах в них можно найти в монографии [2].

В ряде работ изучались дифференциальные операторы в пространствах с индефинитной метрикой (см. статьи [4]-[6], а также монографию , , [3], содержащую обзор и далеко продвинутое дальнейшее развитие этой тематики). В этих работах индефинитная метрика в функциональных пространствах задаётся равенством

Здесь D - область в Rn, - вещественная знакопеременная функция.

Ясно, что ранг индефинитности бесконечен, таким образом, в этом случае мы имеем пространство Крейна.

В предлагаемой работе рассматривается индефинитная метрика, задаваемая ядром (функцией от пары точек) и обладающая конечным рангом индефинитности. Мы ограничимся пространством периодических функций одной переменой. Упомянутое ядро зависит от разности переменных. Таким образом, мы рассматриваем - пространства и возникающие в них симметрические дифференциальные операторы второго порядка. Кратко поясним, почему подобное исследование представляется целесообразным.

Как показано в работах [7], [8], симметрические дифференциальные операторы в пространствах с индефинитной метрикой возникают при изучении тензорных произведений представлений группы матриц второго порядка (в настоящей работе мы не касаемся теории представлений групп). Ещё одной мотивировкой предпринятого исследования служит то, что некоторые классические операторы также входят в указанный класс. Спектральному анализу классического гипергеометрического оператора посвящена работа [9].

Переходим к постановке задачи.

Обозначим через D - пространство 2- периодических комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций, а через - пространство непрерывных линейных функционалов (обобщенных функций) на D. Значение функционала на элементе u записываем в виде

Элементы из разлагаются в ряды Фурье по системе

Пусть и тогда для всех Будем считать, что знакопеременные.

Введём в индефинитную и дефинитную формы

(1)

. (2)

Пополнение пространства по норме обозначим через H. Форма (1) продолжается Ъ
на H; таким образом, H превращается в пространство с индефинитной метрикой. Элементы пространства H естественным образом отождествляются с обобщенными функциями

.

Ранг индефинитности совпадает с числом тех k, для которых ; это число обозначим через
r(q) = r.

Рассмотрим оператор L с областью определения

(3)

Пару назовём элементарной, если оператор является - симметрическим в и функции , , имеют наименьший общий период равный . Замыкание оператора обозначим через .

Полное описание всех элементарных пар с конечным рангом индефинитности анонсировано в [10].

Для линейного оператора , имеющего плотную область определения , сопряженный относительно индефинитной метрики (- сопряженный) оператор определяется по аналогии с определением в обычном гильбертовом пространстве. Поэтому - симметричность оператора равносильно условию . Оператор называется - самосопряженным, если .

Следующий результат Понтрягина есть основное положение теории линейных операторов в пространствах с конечным рангом индефинитности: любой оператор, самосопряженный по отношению
к - метрике, имеет n - мерное неположительное инвариантное подпространство [1]. Это инвариантное подпространство назовем понтрягинским.

Наша цель - описать некоторые понтрягинские подпространства операторов элементарных пар для случая, когда supp.

Поэтому приведем список этих элементарных пар c указанием конкретных значений ранга индефинитности . Очевидно, что оператор вида

симметричен при любом выборе обобщенной функции . Таким образом, любая элементарная пара содержится в классе пар , где пробегает все операторы указанного вида. Для сокращения изложения мы укажем лишь какой либо элемент из каждого класса. Добавим, что определяется с точностью до положительного множителя, который мы опускаем.

1. (здесь и ниже через мы обозначаем целую часть числа ), .

При получаем пару , где оператор задается формулой ,

2. 

, .

3.  - гипергеометрическая функция, ,

.

4.

5. 

.

Инвариантные подпространства операторов элементарных пар. Обозначим через замыкание операторов Мы изучим понтрягинские подпространства этих операторов при условии .

Оператор вида изучен в работе , а для , очевидно, линейная оболочка - понтрягинское подпространство.

Теорема 1. Пусть - метрика в пространстве Н задается функцией при . Тогда обобщенные функции удовлетворяют условиям

а) если 0 < у < 1/2, то ;

б) если , то , а если, кроме того,
то , т. е. - кососвязанные собственные векторы оператора .

Таким образом, в случае а) имеем отрицательное понтрягинское подпространство с базисом ,
а в случае б) каждое из нейтральных подпространств с базисами и есть понтрягинские подпространства.

Теорема 2. Пусть  - метрика в Н задается функцией при . Тогда линейная оболочка обобщенных функций образует понтрягинское инвариантное подпространство оператора тогда и только тогда, когда либо либо .

Линейная оболочка обобщенных функций является понтрягинским инвариантным подпространством для оператора в пространстве Н и - метрикой, задаваемой функцией при .

Доказательство теорем 1 и 2. Коэффициенты Фурье обобщённых функций определяются формулами

Для функции коэффициенты Фурье имеют соответственно следующие асимптотики при :

Отсюда и из формулы (2) для нормы получаем, что обобщенные функции определяют элементы пространства Н с метрикой, задаваемой при .

Если метрика в Н задается функцией то , если индефинитная метрика в задается функцией . В пространстве H с  - метрикой, определяемой , при четные и нечетные функции ортогональны относительно форм , т. к. , поэтому . Легко проверяются равенства - четное число. Отсюда вытекает нейтральность (неположительность) подпространства , а его инвариантность относительно оператора проверяется при помощи формулы

Утверждения теорем для операторов доказываются непосредственными вычислениями.

В работе была дана классификация операторов самосопряженных в - метрике.

Из теоремы 1 вытекает, что оператор при оператор типа один, а оператор при относятся к типу два.

Наконец для оператора при дополнительном условии и (случай  -метрики) обобщенные функции - кососвязанные собственные векторы, т. е. оператор в этом случае является оператором типа два.

Примечание

1.  Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Изв. АН СССРТ. 8. - № 1. - С.243-280.

2.  , Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.

3.  , , Неклассические дифференциально-операторные уравнения. - Новосибирск: Наука, 2000.

4.  Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness // J. Diff. EquationsV.56. -
№ 3. - P.391-408.

5.  Curgus B., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. Diff. EquationsV.79. - № 1. - P.31-61.

6.  Curgus B., Langer H. A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weight // Diff. Inteq. EqV.7. - № 56. - P.1241-1252.

7.  О тензорных произведениях представлений группы SL(2, R) // Функцион. анализ и его прилож. – 1976. - Т. 10. - № 2. - С.90-92.

8.  Разложение тензорных произведений двух неприводимых унитарных в - метрике представлений группы SL (2, R) // Сиб. матем. журналТ. ХХIХ. - № 1. - С.179-191.

9.  , О спектральном анализе некоторых дифференциальных операторов, самосопряженных в пространстве с индефинитной метрикой // Матем. заметкиТ.70. - № 4. -
С.568-580.

10. Классы симметрических относительно индефинитной метрики дифференциальных операторов второго порядка // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. - Уфа: Иизд-во «Гилем», 2003. - С.61-66.