ОПТИМАЛЬНОЕ ИНВЕСТИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХНЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НЕВОЗМОЖНОСТИ
СТРАХОВАНИЯ

Научный руководитель – к. э.н.

Введение

Мотивом для написания данной работы послужили размышления автора над рациональностью обыденного языка и, в частности, над устойчивостью речевых оборотов, языковых клише, и просто отдельных мыслей, заключенных в пословицах и поговорках разных стран и народов. При всем разнообразии экономик, культур и традиций, определенные темы с поразительным постоянством повторяются и воспроизводятся в самых разных языках. Это позволяет предполагать, что за пословицами и поговорками нередко стоят некоторые общие принципы, описывающие рациональность определенного типа поведения. Эта рациональность не зависит от конкретной культуры, и как таковая может служить предметом экономического анализа.

Возьмем к примеру идею преодоления неопределенности с помощью траты ресурсов, отраженную, например, в русской пословице «Семь раз отмерь, один раз отрежь»[1]. Эта пословица и предписываемый ей тип рационального поведения допускает следующую интерпретацию. Индивид тратит дополнительные ресурсы (время, усилия на отмеривания), т. е. осуществляет инвестиции, для того, чтобы повысить вероятность благоприятного исхода («отрезания в нужном месте»). Иначе говоря, индивид отмеривает не один и не два раза, потому что каждое следующее отмеривание повышает точность измерения, а, значит, вероятность благоприятного исхода. Так как каждое следующее отмеривание имеет положительные предельные издержки, при определенных технических предположениях можно найти оптимальное количество инвестиций (отмериваний). Таким образом, в данной задаче семь отмериваний являются оптимальным объемом инвестиций.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

На основе предложенной интерпретации данной поговорки была построена теоретическая модель. В качестве базового инструментария использовался подход ожидаемой полезности, описанный в учебной литературе (Katz and Rosen, 1998; Nicholson, 2002). Отношение к риску в этой классической модели измеряется как отношение второй производной функции полезности к первой, взятое с отрицательным знаком: (Pratt, 1964; Arrow, 1971). Мы дополняем этот базовый подход более общей трактовкой риска в русле моделей полезности с нелинейными вероятностями, обзор которых, содержится в статьях Пола Шумейкера (Shoemaker, 1982), Марка Машины (Machina, 1987) и Криса Стармера (Starmer, 2000).

Отличие нашего подхода состоит в том, что индивид может с помощью траты ресурсов повлиять на вероятностное распределение исходов, а именно увеличить вероятность благоприятного исхода. В модели, представленной в данной работе, используется анализ ожидаемой полезности индивида, что, однако, является техническим упрощением, оставаясь при этом хорошей иллюстрацией идеи модели[2].

Постановка задачи

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть индивид приступает к какому-то действию, где есть неопределенность. Может ли он что-то предпринять для того, чтобы улучшить ожидаемый результат? Рассмотрим следующий экономический пример. Фирма выходит на рынок и хочет остаться в отрасли. Она хочет выявить целевого потребителя своего товара: кто будет покупать её товар, какими свойствами обладает потенциальная аудитория. Для этого фирма проводит исследование рынка, то есть тратит свои ресурсы на маркетинговые исследования. Вопрос состоит в том, сколько ресурсов следует на это потратить, для того чтобы максимизировать ожидаемую прибыль.

Преодоление неопределенности в данной задаче отличается от стандартной модели страхования[3]. В задаче страхования всегда имеется перераспределение рисков между различными агентами. В нашем примере фирма является единственным участником и в случае неблагоприятного исхода, недополучения прибыли за счет неэффективной стратегии, может пенять только на себя.

Экономическая постановка задачи звучит следующим образом: как экономический агент может влиять на вероятность благоприятного исхода, используя только свои собственные ресурсы.

Математическая модель

Экономический агент сталкивается с ситуацией неопределенности. Если он может с помощью затрат своих ресурсов повлиять на вероятность благоприятного исхода, то существует некоторая функция вероятности благоприятного исхода (выигрыша), зависящая от количества инвестиций. Пусть эта функция непрерывна и, по крайней мере, дважды дифференцируема. Обозначим ее и рассмотрим ее возможную форму.

Для того чтобы инвестирование имело смысл, дополнительная единица инвестиций должна увеличивать вероятность выигрыша, поэтому функция вероятности выигрыша является возрастающей[4]. Так как это вероятность, то она ограничена (принимает значения от нуля до единицы). Также введем предпосылку об уменьшающейся предельной отдаче от инвестиций, по крайней мере, в оптимальной точке (формально это означает выпуклую функцию вероятности: ).

Графическое представление одной из возможных функций можно видеть на Рисунке 1.

I
 

Рисунок 1. Возрастающая функция вероятности выигрыша.

Пусть предпочтения индивида представимы функцией следующего вида: , где - некоторая функция полезности от выигрыша и начального запаса ресурсов, а - функция затрат на инвестиции.

Заметим, что в данной модели мы считаем, что инвестиции не составляют значительной доли запасов индивида, поэтому можно разделить функции полезности от выигрыша и затрат на инвестиции. В противном случае, если количество инвестиций существенно влияет на запас индивида, то необходимо включить их в аргумент функции полезности[5]. Однако, такая предпосылка создает определенные сложности при формальном анализе модели.

Пусть также предпочтения индивида описываются ожидаемой полезностью[6]:

, где

- значение функции полезности в точке выигрыша и начальном богатстве;

- значение функции полезности в точке проигрыша и начальном богатстве;

- введенная нами функция вероятности выигрыша для каждого уровня инвестиций; - соответственно, вероятность проигрыша.

Тогда функция ожидаемой полезности записывается как

.

Максимизируем ее, используя условия первого и второго порядка (подразумевается внутренняя точка, то есть индивид всегда выбирает тратить некоторое количество ресурсов: ):

(условие первого порядка);

.

Поэтому критическая точка – локальный максимум [ по предпосылке об уменьшающейся отдаче от инвестиций; , т. к. полезность выигрыша больше полезности проигрыша; – предельные издержки либо возрастают, либо постоянны, это достаточное условие существования максимума]

,

из этого уравнения можно найти оптимальный объем инвестиций.

Сравнительная статика

Рассмотрим, как изменяется оптимальный объем инвестиций в зависимости от различных переменных (частные производные).

По богатству:

[ по предпосылке об уменьшающейся отдаче от инвестиций, из условия максимума] При наших предположениях знак производной совпадает со знаком выражения .

Рассмотрим в связи этим некоторые типы функций полезности:

·  - квазилинейные предпочтения, тогда и - при таких предпочтениях оптимальный размер инвестиций не зависит от начального богатства;

·  - предпочтения Кобба-Дугласа (, ), тогда - чем большим богатством мы обладаем, тем больше готовы потратить на достижение результата (большим «рискнуть»).

По размеру выигрыша:

[ по предпосылке об уменьшающейся отдаче от инвестиций, из условия максимума, (полезность является возрастающей функцией по размеру выигрыша)] - чем больше размер выигрыша, тем больше мы готовы потратить на достижение благоприятного результата (сильнее увеличить вероятность получения выигрыша).

По размеру проигрыша:

[ по предпосылке об уменьшающейся отдаче от инвестиций, из условия максимума, (чем больше размер проигрыша в абсолютном значении, тем ниже полезность)] - чем больше размер проигрыша в абсолютном значении, тем больше мы готовы потратить на достижение благоприятного результата (сильнее увеличить вероятность получения выигрыша).

Области применения

Такая модель может быть использована для моделирования многих реальных поведенческих ситуаций, связанных с выбором при неполной информации. Приведем некоторые примеры.

Покупатель хочет купить подержанный автомобиль (например, по объявлению в газете или в специализированном магазине). Изначально без советов эксперта, без осмотра машины, вероятность купить хороший автомобиль мала, так как продавец, естественно, будет преувеличивать качества продаваемой машины, по возможности скрывать недостатки и т. д. Чем больше покупатель тратит денег на различные экспертизы, времени на осмотр различных машин и т. д., тем больше возрастает вероятность покупки хорошего автомобиля. В то же время избыточно большие расходы на покупку машины могут превысить ожидаемый выигрыш в качестве.

Другой пример. Фирма выходит на рынок и для оценки целевой аудитории проводит некоторое исследование рынка (market research). Например, она хочет выяснить, производство какого товара принесет ей наибольшую прибыль (учитывая и предпочтения покупателей, и конкурентную ситуацию в отрасли). Трата ресурсов на исследование повышает вероятность успеха (в данном случае выигрыш может состоять в получении высокой прибыли или в том, что фирма, например, не обанкротится за какой-то период времени). Такие затраты достаточно сложно проверить эмпирически, но на качественном уровне интуитивно понятно, как и почему они возникают.

Хорошим примером может быть также процесс подготовки студента к экзамену (нахождение оптимального количества дней, потраченных на подготовку). Предположим, что в случае успешной сдачи экзамена студент получает некоторую премию (например, стипендию), а в случае заваливания экзамена – не получает ничего. Чем больше дней он/она готовится, тем больше вероятность успешной сдачи экзамена. В то же время, время, потраченное на подготовку, является издержками (их можно измерить с помощью альтернативных издержек: например, студент мог бы работать в эти дни, получая зарплату).

Теоретическое развитие модели связано с исследованием смешанных стратегий, например, в теории отраслевых рынков. Особенность подхода состоит в том, что в отличие от традиционной игры в смешанных стратегиях, основанной на величинах типа «поток», мы можем рассматривать смешанные стратегии, где заинтересованность игроков описывается величинами типа «запас». При этом участники игры могут влиять на вероятность исхода за счет инвестиций, но с учетом поведения соперника. Такая игра позволяет описать несколько разных стратегий поведения и изменение богатства в многопериодной игре.

Список литературы

1.  Arrow K. J. (1971). Essays in the Theory of Risk-Bearing. Chicago: Markham.

2.  Fishburn P. C. (1977) Mean-risk analysis with risk associated with below-target returns // American Economic Review, v.67, pp.116-126.

3.  Katz M. L. and Rosen H. S. (1998). Microeconomics. McGraw-Hill.

4.  Machina M. J. (1987). Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved // The Journal of Economic Perspectives, Vol.1, pp.121–154.

5.  Nicholson W. (2002). Microeconomic Theory. Basic Principles and Extensions. South-Western Thomson Learning.

6.  Pratt J. W. (1964). Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica, Vol.32, pp.122-136.

7.  Schoemaker P. J.H. (1982) The expected utility model: its variants, purposes, evidence and limitations // Journal of Economic Literature, v. XX, pp.529-563.

8.  Starmer C. (2000). Developments in Non-Expected Utility Theory: The Hunt for a Descriptive Theory of Choice under Risk // Journal of Economic Literature, Vol. XXXVIII, pp.332-382.

9.  (2004). Анализ рационального поведения индивидов в пословицах народов мира. Неопубликованный манускрипт, МИЭФ.

[1] Примеры аналогичных пословиц и поговорок из европейских языков (английский, французский, итальянский, немецкий и др.), интерпретация которых согласуется с предложенной нами, и их подробный анализ приведены в более полной версии работы (Кузьмина, 2004).

[2] Более сложная иллюстрация данной модели (Кузьмина, 2004) учитывает не только ожидаемое значение, но и вариацию исхода. Эта модель обладает некоторым сходством с моделью Питера Фишберна (Fishburn, 1977).

[3] Katz and Rosen (1998).

[4] Теоретически она может, начиная с какого-то количества инвестиций, стать константой или даже уменьшаться, но на рассматриваемом участке, где будет происходить максимизация полезности, этого не происходит.

[5] .

[6] Schoemaker (1982).