XII Международная олимпиада «Эрудит»
2 тур
1. Выполнила: Тихонова Дария Николаевна
2. Математика, 8 академический класс
3. Брянская область, г. Брянск.
4. МБОУ «Брянский городской лицей №1 имени »,
241050, , *****@***ru
5. Учитель:
Задача № 1 (4 балла)
Будет ли результат вычисления выражения 285376 + 373285 +1999 четным числом?
Решение:
Итак, начнем с числа 285376. На конце стоит число 5, значит при возведении в любую степень числа на конце будет 5. Далее 373285;
…32= …9
…33= …7
…34= …1
…35= …3 (и так далее)
То есть в любой степени число с 3 на конце будет иметь нечетное число на конце.
Теперь 1999;
..92 = …1
..93= …9 (и т. д.)
Получим, что в четных степенях на конце 1, в нечетных будетздесь на конце будет 9. Получаем:
…5 + …9 + …н/ч= …4+ н\ч; при сложении любого нечетного числа с 4 получим нечетное число ( 4+1=5; 4+3=7 продолжать можно до бесконечности)
В и тоге получаем, что в сумме 285376 + 373285 +1999 получается число нечетное.
Ответ: нет, не будет.
Задача № 2 (4 балла)
Постройте график функции у = 2|х – 3| + 2|х + 6| – 1. Укажите область определения и область значений данной функции.
Решение:
Итак, построим график функции:
х | 3 | 4 |
у | 17 | 21 |
То есть: Д(у) э R
Е(у) - [17;∞)
Определим знак подмодульных выражений
1) Х< -6, то
У=-2(х-3)
У = -2х + 6 – 2х – 12 – 1
У =-4х – 7, то есть график – прямая
Х | -6 | -7 |
у | 17 | 21 |
2) -6 <=х<= 3 (>= больше или равно)
У = -2(х – 3) + 2(х +6) – 1
У = -2х+ 6 + 2х + 12 – 1
У= 17 это постоянная функция, график || оси Ох
3) Х > 3, значит
У = 2(х-3) + 2(х + 6) – 1
У=2х – 6 + 2х+ 12 – 1
У = 4х + 5, график - прямая
Задача № 3 (6 баллов)
Канарейкин, Дроздов и Филинов окончили медицинский институт, но получили разные специальности. Один из них – стоматолог, другой – хирург, третий – ветеринар. Недавно хирург хотел попросить своего знакомого стоматолога вылечить ему зуб, но ему сказали, что стоматолог сейчас со своей собакой ушел к ветеринару. Известно так же, что Филинов ни когда не слышал о Дроздове. Определите, кто какую специализацию получил в институте?
Решение:
Для решения этой задачи начертим таблицу:
Канарейкин | Дроздов | Филинов | |
стоматолог | |||
хирург | |||
ветеринар | |||
По условию видим, что Филинов и Дроздов никогда не знали друг друга. Получаем следующих два варианта решения:
I
Канарейкин | Дроздов | Филинов | |
стоматолог | • | ||
хирург | • | ||
ветеринар | • | ||
II
Канарейкин | Дроздов | Филинов | |
стоматолог | • | ||
хирург | • | ||
ветеринар | • | ||
По условию сказано, что хирург знаком со стоматологом, из чего делаем вывод, что хирург не знает ветеринара. То есть Канарейкин в любом случае стоматолог, и либо Дорздов – хирург, Филинов – ветеринар, либо наоборот.
Ответ: 1) Канарейкин - стоматолог, Дорздов – хирург, Филинов – ветеринар
2) Канарейкин - стоматолог, Дорздов – ветеринар, Филинов – хирург
Задача № 4 (6 баллов)
Специальная подготовка конькобежцев отличается большим объемом бега на коньках с невысокой скоростью. На очередной тренировке Иванов и Сидоров одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек катка, который имеет форму круга. Они бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Время от времени Иванов обгоняет Сидорова. Третий обгон произошел через 1 час. Через сколько минут после третьего произойдет четвертый обгон?
Решение:
Начертим таблицу:
u | t | s | |
I | U1 | t | U1t |
II | U2 | t | U2t |
Первый обгон: (U1 – U2) t1 = 1\2s
Второй обгон: (U1 – U2)t2 = s
Третий обгон: (U1 – U2)t3 = s
t1 + t2 = t3
t1= s\ 2(U1 – U2)
t2= s\(U1 – U2)
t3= s\(U1 – U2)
s\ 2(U1 – U2) + s\(U1 – U2) = 60 t=x
2,5x = 60
x= 24
Ответ: 24 минуты
Задача № 5 (10 баллов)
При подготовке к олимпиаде по математике Павел и Виктор получили задание на дом. Причем Виктору было дано в четыре раза больше задач, чем Павлу. При проверке домашнего задания оказалось, что Павел и Виктор решили поровну задач, и процент задач, решенных Виктором, равен проценту задач, не решенных Павлом. Сколько процентов задач решил Павел?
Решение:
Представим условие в виде таблицы:
Павел | Виктор | |
Задано | х | 4х |
Решил | а | а |
Не решил | х-а |
Теперь мы можем составить уравнение:
(х – а: х)*100% = (а:4х)*100%
400х2 – 400ах – 100ах=0
400х2 – 500ах=0
х*(4х – 5а) = 0
х=0 (не подходит) 4х - 5а = 0
4х = 5а
х\а = 4\5
Следовательно, Задач решил Павел :
4\5*100%=80%
Ответ: 80%
