УДК 621.3
, д-р техн. наук, профессор.
, канд. техн. наук, доцент.
Уравнения линии с распределенными параметрами при заданном входном напряжении и сопротивлении на выходе.
Проведен анализ линии с распределенными параметрами при заданном входном напряжении и сопротивлении на выходе. Определены зависимости связывающие ток и напряжение в любой точке линии при воздействии как постоянного, так переменного напряжений.
При практическом применении теории линии с распределенными параметрами часто встречается задача, когда заданными величинами являются напряжение на входе и сопротивление на выходе (сопротивление нагрузки). В этом случае применение традиционных формул [1-3]. Для анализа линии с распределенными параметрами вызывает существенное затруднение, т. к. они используют в качестве заданных граничных условий напряжение и ток в начале линии или напряжение и ток в конце линии. Если заданными являются напряжение на входе линии и сопротивление нагрузки, то граничные заданные условия изменятся, что приводит к видоизменению основных формул, используемых при анализе работы линии с распределенными параметрами.
Рассмотрим действие на входе линии источника синусоидального напряжения 
. Дальнейшие рассуждения будут относиться к установившемуся режиму работы линии. Используя символический метод, запишем:
(1)
(2)
где 
– комплекс напряжения на поперечных ветвях линии;
– комплекс тока в продольных ветвях линии;
, 
– комплексные постоянные интегрирования;
– расстояние от начала линии;
– постоянная распространения
или 
– волновое сопротивление;
первичные параметры линии;
– коэффициент затухания;
– коэффициент фазы.
Для определения постоянных и воспользуемся граничными условиями (см. рис.1):
при х = 0 
(1’)
при x = L 
(2’)
здесь: L – длина линии.
- нагрузка в конце линии.
 | |||
 | |||
 | | ||
|
|
|
|
|
Рис.1. Расчетная схема линии с распределенными параметрами.
На основании (1), (2) и граничных условий запишем
(3)
(4)
Решая систему (3), (4) и обозначая 
через «k», получим
(5)
(6)
Подставив полученные значения постоянных интегрирования в (1) и (2) и выполнив необходимые преобразования, найдем окончательно напряжение и ток в линии в зависимости от расстояния «х»:
(7)
(8)
Полученные формулы (7) и (8) позволяют определить напряжение на поперечных участках линии и ток в ее продольных участках при заданных ЭДС на входе линий и нагрузке в ее конце. Как уже было отмечено, для удобства анализа введен коэффициент «k», равный отношению нагрузки к волновому сопротивлению.
Если сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению, т. е. k=1, то 
, 
из выражений (5) и (6).
Тогда формула (1) примет вид:
(9)
А формула (2):
, (10)
где 
- ток в начале линии.
Формулы (9) и (10) отражают согласованный режим работы линии. Они следуют как из (1) и (2) при 
, так и из (7) и (8) при k=1.
Следует отметить, что согласованный режим обычно описывается уравнениями, связывающими ток и напряжение в любой точке линии соответственно с током и напряжением в конце линии. Формулы (9) и (10) связывают ток и напряжение в любой точке с напряжением – 
.
Из формул (9) и (10) можно получить известные формулы 
и 
, используя тот факт, что при x =L U =U2 и I =I2 (переменная y=L-x).
Рассмотрим линию без потерь. Как известно, chjx=cosx, а shjx=jsinx. Исходя из этого и используя уравнения (7) и (8), получим:
(11)
(12)
где 
.
Входное сопротивление линии в общем случае определяется из (7) и (8) как отношение напряжения к току при x=0:
, (13)
откуда после соответствующих преобразований можно получить известную формулу
(14)
Если на входе линии действует постоянная ЭДС, то в выведенных раньше формулах необходимо произвести обычные для такого случая замены комплексных величин на действительные.
Так как 
, то коэффициент распространения 
или вырождается в коэффициент затухания 
.
Волновое сопротивление 
и 
.
Сопротивление нагрузки 
и, следовательно, 
.
Напряжение и ток в линии при действии на входе постоянной ЭДС можно будет определить по следующим выражениям:
(15)
(16)
Для качественного анализа различных случаев работы линии были выполнены соответствующие расчеты линии постоянного тока с распределенными параметрами (R0=0,08 Ом/м, G0=1·10-5 Сим/м), результаты которых представлены на рис.2.
Рассмотрим режим холостого хода (хх) и короткого замыкания (кз) линии переменного тока. В режиме хх 
и 
, откуда
(17)
Решая полученную систему (17), найдем 
и 
, подстановка которых в (1) и (2) дает
(18)
. (19)
При коротком замыкании граничными условиями будут , 
, откуда
(20)
Решая полученную систему (20), найдем и , подставив которые в (1) и (2), получим
,
.
Полученные аналитические зависимости позволяют провести анализ работы линии с распределенными параметрами при заданных входном напряжении и сопротивлении нагрузки. Применение этих зависимостей или традиционных формул, определяющих состояние линии с распределенными параметрами и режимы ее работы, будет определяться заданными величинами, целями исследований и удобством анализа. Выведенные формулы и предложенная методика их использования можно считать обоснованным и в ряде случаев практики востребованным дополнением к существующей традиционной теории линий с распределенными параметрами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. – 591 с.
2. и др. Основы теоретической электротехники. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. – 592 с.
3. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Гардарика, 1999. – 637 с.
Рис. 2. Зависимость тока в конце линии от величины нагрузки RH при различных значениях постоянного напряжения источника питания U1:
1 – при U1 = 512 В; 2 – при U1 = 300 В; 3 – при U1 = 200 В.
Рис. 3. Зависимость тока в линии от расстояния до источника постоянного напряжения U1 =512В при различных значениях сопротивления нагрузки RH : 1–при RH=5 Ом; 2–при RH= 50 Ом; 3 – при RH = 100 Ом; 4 – при RH = 1000 Ом
