Глава 6. Исследование функций - 6 ч

Глава 6. Исследование функций - 6 ч.

§ 20. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя).

Говорят, что выражение - при представляет неопределенность «», если и при .

Теорема 20правило Лопиталя). Пусть - определены и дифференцируемы в , причем и при и . Пусть , тогда существует , т. е.

Доказательство:

Пусть - произвольная последовательность, сходящаяся к а, причем , доопределим , так, чтобы эти функции стали непрерывными в . Рассмотрим отрезок I с концами и , - непрерывны и дифференцируемы внутри I, и . Применим теорему 19.5.(обобщенная формула Коши):

, где xn расположено между a и xn, или , устремим , так как Þ по определению предела функции по Гейне Þ и .

Замечание 1. Предел отношения функций может существовать и в случае, когда отношений производных нет.

Пример: ,

,

не существует.

Замечание 2. Если - непрерывны в точке и то

Замечание 3. Если удовлетворяют тем же условиям, что и , то правило Лопиталя можно применить повторно, т. е. .

Пример:

Замечание 4. Аналогичные результаты остаются справедливы для случая односторонних пределов в точке , а так же при .

Говорят, что неопределенность вида «», если .

Теорема 20.2. Пусть дифференцируемые в и , . Пусть и существует , тогда существует .

Доказательство: не приводится.

Раскрытие других неопределенностей: , сводится к рассмотренным.

, , , при .

, , следовательно .

Пример: , .

Пример: , .

, а

§ 21. Формула Тейлора.

Пусть значения и совпадают в точке , насколько хорошо эти функции аппроксимируют друг друга в некоторой окрестности этой точки? Оказывается, чем больше производных у них в этой точке совпадает, тем лучше.

Рассмотрим вопрос о приближение функции в окрестности некоторой точки x0 помощью многочлена: . Легко заметить, что, т. е. .

Таким образом, если имеется функция имеющая в точке все производные до порядка - включительно, то можно немедленно вычислить полином.

, (1)

причем все производные до порядка n полинома будут совпадать с производными в точке .

Определение 3. Алгебраический полином, заданный соотношением (1) называется полиномом Тейлора порядка функции в точке .

Величину (2) - будем называть - остаточным членом формулы Тейлора. Т. о. , т. е.

. (3)

Далее будем изучать поведение функции ?

Теорема 21.1: (теорема Тейлора)

Пусть:

1) (x) - непрерывна вместе с производными до порядка включительно на отрезке I с концами $

2) на .

Тогда для любой , непрерывной на отрезке I и , на указанном промежутке найдется точка , такая, что ,

где (4)

Доказательство:

Обозначим - отрезок с концами . Рассмотрим , т. е. . Очевидно, что - непрерывна и дифференцируема внутри , причем Применим формулу Коши (т.19.5) к (x) и (x) на : .

Заметив, что , получаем требуемое, т. е. формулу (4).

Следствие 1: Положим в (4) , тогда называется остаточным членом в форме Коши.

Следствие 2: Полагаем , тогда - называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание: Формула Тейлора (3) при называют формулой Маклорена.

Пример. Пусть , , тогда ,

, где ,

, таким образом, переходя к пределу при получаем или

Часто важна асимптотическая оценка приближения функции многочленом при .

Теорема 21.2. (Локальная теорема Тейлора)

Пусть имеет в точке все производные до порядка включительно, тогда:

при .

Доказательство:

Обозначим полином Тейлора для f(x). Рассмотрим , заметим, что , это означает, что .

Докажем, что :

: .

Пусть , заметим, что , предположим существование в некоторой окрестности точки .

.

Таким образом, по предположению:

при . По теореме Лагранжа:

при этом лежит между и , т. е.

, .

Функцию называют остаточным членом в форме Пеано.

Локальная формула Тейлора применяется при вычислении пределов и описании асимтотики при

Пример 1:

, в точке .

, причем , где .

Заметим, что при , т. о.

Пример 2:

, учтем, что

, при .

, .

Пример 3:

, , при

.

,

, при .

Пример 4:

, ,

возьмем остаточный член в форме Коши:

,

, поэтому , Þ при .

Таким образом, .

Пример 5. , , в точке

возьмем остаточный член в форме Коши

, .

, при увеличении на единицу, правая часть умножается на , для ,

, если , ,

если , .

Пусть , ,

.

§ 22. Локальный экстремум. Направление выпуклости, точки перегиба, асимптоты графика функции. Построения эскиза графика функции.

Учитывая т. Ферма можно говорить:

Теорема 22.1. (необходимое условие экстремума)

Для того, что бы точка была точкой экстремума функции необходимо выполнение одного из двух условий:

либо , либо - не дифференцируема в точке .

Доказательство: вытекает из теоремы 19.2.

Условия т.22.1 являются необходимыми, но недостаточными.

Теорема 22.2. (1 достаточное условие)

Пусть - непрерывна в точке , дифференцируема в окрестности . Пусть, тогда:

если для , и , Þ экстремума в точке нет;

если для , и , Þ - локальный минимум;

если для , и , Þ - локальный максимум;

если для , и , Þ экстремума нет.

Замечание. Т. е. если, при переходе через точку, производная меняет знак, то экстремум есть, а если знак при этом не меняется, то экстремума нет. – это достаточное условие.

, , минимум в точке = 0.

Но при этом - не сохраняет знак, ни в какой окрестности точки 0.

Доказательство:

1). Из следствия 1 к теоремы Лагранжа следует, что строго убывает для . Т. к. непрерывна, то , следовательно, при , аналогично при . Т. е. - убывает на поэтому не является точкой экстремума.

2). В этом случае для Þ , Þ , аналогично остальные случаи.

Теорема 22.3. (2 достаточное условие)

Пусть имеет в окрестности производные до включительно. В самой точке существует производная .

Если и , то при - нечетном в экстремума нет, а при - четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если , и строгий локальный максимум, если .

Доказательство:

, где при .

, сумма в скобках имеет тот же знак, что и . Если нечетно, то скобка меняет знак при переходе через Þ изменит знак вся правая часть Þ и левая часть Þ экстремума нет, и т. д.

Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a, b), тогда в любой точке интервала существует касательная к графику функции y=f(x), причем касательная не параллельна оси OY.

Определение. Функция f(x называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (a, b), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Теорема 22.4.

Пусть имеет на вторую производную. Если , , то выпукла вниз (вверх) на .

Доказательство:

Пусть , . Пусть .

Проведем касательную к графику в точке . Обозначим текущую координату касательной через .

Надо доказать .

, , - лежит между и , .

Þ .

Следствие:

Пусть , () – непрерывна. Тогда , что , - выпуклая вниз (вверх).

Доказательство: Из свойств непрерывных функций следует, что найдется , что Þ выпукла вниз.

Т. о. направления выпуклости функции характеризуется знаком второй производной.

Точка перегиба:

Определение:

Пусть , точка называется точкой перегиба графика функции , если существует , в пределах которой функция слева и справа от имеет разные направления выпуклости.

Получим достаточное условие точки перегиба.

Теорема 22.5: (необходимое условие перегиба)

Пусть , точка - является точкой перегиба функции , тогда .

Доказательство:

- уравнение касательной в точке .

Рассмотрим ,

.

Так как М точка перегиба, то график функции лежит по обе стороны от касательной, проведенной в точке x0 Þ - имеет разные знаки по разные стороны от Þ в точке нет локальных экстремумов . С другой стороны, предположим .

Þ по теореме 22.3.точка - точка локального экстремума Þ противоречие

Теорема 22.6. Пусть имеет вторую производную в и , тогда если в имеет разные знаки справа и слева от , в , то график имеет перегиб в точке .

Доказательство: Опираемся на теорему 22.4. По этой теореме слева от и справа от разные направления выпуклостиÞ точка перегиба. Заметим, что - существует Þ есть касательная.

Объединим достаточные условия экстремума и точки перегиба в следующей теореме.

Теорема22.7. Пусть имеет производные порядка в и существует . Пусть и , тогда если - нечетное в точке - перегиб, если , то при - четном в точке - локальный экстремум.

Доказательство:

Если - четное – доказательство в теореме 22.3.. Рассмотрим - нечетное,

- т. е. знак левой части, и, следовательно, направление выпуклости меняется при переходе через точку x0. Это означает, что x0 точка перегиба. Ч. т.д.

Итак дифференциальное исчисление дает широкие возможности для исследования функций и построения их графиков.

Рассмотрим еще одно понятие:

Асимптоты графика функции.

Определение:

- называется вертикальной асимптотой функции если либо либо .

Определение:

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при, если при , где при .

Теорема 21.7.

Горизонтальная асимптота существуют когда и . Доказательство: Пусть при и и т. д.

Общие рекомендации построения эскиза графика функции:

Область определения. Промежутки знакопостоянства. Нули. Особенности функции: четность, периодичность и т. д. Асимптоты графика, поведение функции в концевых точках области определения. Промежутки монотонности и локальные экстремумы. Направление выпуклости, точки перегиба. Характерные точки, пересечения с осями координат.