О стабилизации неустойчивых колебаний

Работа на конкурс «Свободный полет»

О СТАБИЛИЗАЦИИ НЕУСТОЙЧИВЫХ КОЛЕБАНИЙ

информация о конкурсанте:

ФИО:

дата рождения: 19 сентября 1977 года

электронный адрес: *****@***ru

Введение

Задача стабилизации по состоянию линейного динамического объекта, описываемого дифференциальным уравнением вида

, (1)

где - состояние системы, - управление, состоит в выборе закона управления из класса обратных связей по состоянию вида

, (2)

где -матрица параметров регулятора соответствующего порядка, при котором состояние замкнутой системы (1), (2) является асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Рассмотрим однозвенный перевернутый маятник изображенный на Рисунке 1 со звеном, имеющим длину и с массой на конце звена. Угол отклонения звена маятника от вертикали обозначим . Этот маятник не устойчив – под действием силы тяжести он упадет. Нужно решить следующую задачу - управляя смещением точки опоры в плоскости качания маятника привести и удержать его в вертикальном положении.

Объект описывается уравнением:

,

где величина - ускорение свободного падения, или, ограничиваясь малыми углами :

. (3)

Рисунок 1.

Известно (такие задачи решают студенты на 2 курсе), что в случае, когда обе величины и доступны измерению, уравнение (3) при выборе управления

, (4)

переходит в уравнение осциллятора

,

с устойчивым положением равновесия .

Для того чтобы пояснить задачу, которая решается ниже в конкурсной работе, еще раз отмечу, что мы в данной задаче измеряем угол отклонения и скорость отклонения маятника от вертикального положения. Для того чтобы построить управление (4), стабилизирующее объект, обе эти величины нам должны быть известны.

Рисунок 2.

На Рисунке 2 представлена блок схема взаимодействия объекта, системы измерения и системы управления объектом. Измеренные значения и поступают на систему управления, которое генерирует управление по закону (4) и подает его на объект.

Теперь рассмотрим более сложную задачу. Рассмотрим плоский двухзвенный перевернутый маятник изображенный на Рисунке 3 со звеньями, имеющим одинаковую длину и с равными массами на концах звеньев.

Рисунок 3.

Не уменьшая общности, можем положить . Углы отклонения звеньев маятника от вертикали обозначим и , а горизонтальное смещение точки опоры в плоскости качания маятника .

Составим математическую модель плоского двухзвенного перевернутого маятника.

Обозначим координату -ой массы двухзвенного перевернутого маятника. Непосредственно из Рисунка 3 находим, что

, , , .

Тогда кинетическая и потенциальная энергии маятника будут иметь следующий вид:

.

Ограничиваемся малыми углами , ,. Введем функцию Лагранжа и напишем уравнения Лагранжа , () для нашей системы:

,

.

Отсюда

,

,

или в каноническом виде управляемой линейной системы

, (5)

где

, , , .

Известно (такие задачи решают студенты на 4 курсе), что в случае, когда все 4 величины: углы отклонения звеньев маятника от вертикали , и скорости отклонения , доступны измерению, при выборе управления в виде

, (6)

для того чтобы привести и удержать двухзвенный маятник (оба звена) в вертикальном положении нужно, чтобы все 4 корня характеристического уравнения

имели отрицательные действительные части.

Известен критерий Рауса-Гурвица: для того, чтобы корни полинома

имели отрицательные действительные части, нужно чтобы и для матрицы

все ее главные миноры были положительными .

В нашем случае эти условия будут иметь вид:

, , , , (7)

где

, , , , .

Таким образом, эта задача во много раз сложнее, чем предыдущая. Мы получаем систему из 4-х уравнений, нам надо найти значения , , , удовлетворяющие системе (7), а затем построить управление (6) стабилизирующее двухзвенный перевернутый маятник.

Постановка задачи

В задаче нам были доступны измерению оба угла отклонения звеньев маятника от вертикали , и обе скорости отклонения , . А что, если мы не можем мерить все 4 величины? Что, если мы можем измерить только угол отклонения нижнего звена маятника ? Можно ли зная только привести и удержать оба звена маятника в вертикальном положении? В этом и состоит конкурсная работа.

Стабилизация по выходу

Рассмотрим управляемый объект

, (8)

,

где - состояние системы, - управление, -измеряемый выход системы.

Требуется построить динамический регулятор -го порядка вида

(9)

где - состояние регулятора , обеспечивающего асимптотическую устойчивость замкнутой системы (8), (9).

Представим уравнение замкнутой системы (8), (9) при в виде

, , (10)

где .

Тогда условие разрешимости поставленной задачи сводится к существованию квадратичной функции Ляпунова с матрицей такой, что по любой траектории системы выполнено неравенство . Это условие эквивалентно следующему матричному неравенству

. (11)

Введя параметры регулятора

(12)

представим матрицу замкнутой системы (10) в виде

,

где

, , .

Здесь символ “” обозначает единичную матрицу размера .

Тогда неравенство (11) можно переписать в виде матричного неравенства (элементами неравенства являются матрицы)

. (13)

В этом неравенстве матрицы и неизвестны, поэтому оно не является линейным относительно совокупности переменных и . В настоящее время не существует алгоритмов решения таких матричных неравенств. Но в то же время известны алгоритмы для численного решения линейных матричных неравенств (например, используя пакет для инженерных расчетов Matlab). Если мы зафиксируем , то получим линейное матричное неравенство относительно . Аналогично, фиксируя , получим линейное матричное неравенство относительно неизвестных параметров регулятора .

Известно, что линейное матричное неравенство

где , , - заданные матрицы, причем - симметричная матрица размера (), и - прямоугольные матрицы порядков () и () соответственно, - неизвестная прямоугольная матрица размера () разрешимо тогда и только тогда, когда

, ,

где столбцы матриц и образуют базисы ядер матриц и соответственно, т. е. и .

Тогда обозначив

, и

получим, что разрешимость матричного неравенства (13) сводится к разрешимости системы линейных матричных неравенств относительно матриц и ,

. (14)

в которых (т. е. таких, что ), а столбцы матриц и образуют базисы ядер матриц и соответственно.

Если условия (14) выполнены и такие матрицы найдены, то параметры искомого регулятора (12) находятся как решения линейного матричного неравенства (13) относительно переменной .

Неравенства и являются линейными матричными неравенствами относительно матриц и соответственно. Но есть еще одно условие на матрицы, а именно , которое не является линейным и соответственно не позволяет легко решать эту задачу специальными программными средствами. Обозначим эту задачу поиска взаимнообратных матриц и удовлетворяющих условию (14), как Задача 1.

Для ее решения сначала рассмотрим другую задачу:

Задача 2: найти

где

.

Дополнительное линейное матричное неравенство в силу леммы Шура эквивалентно неравенствам и . Поэтому в случае, когда в Задаче 2 , соответствующие матрицы и являются также решением Задачи 1.

Для решения Задачи 2 требуется минимизировать линейную функцию при ограничениях, одно из которых

(15)

не является выпуклым и, следовательно, не может быть представлено в виде линейного матричного неравенства. Это обстоятельство вновь не позволяет решать Задачу 2 методами выпуклой оптимизации.

В связи с этим рассмотрим еще одну вспомогательную задачу:

Задача 3: найти

где

,

- некоторые заданные матрицы.

В Задаче 3 по сравнению с Задачей 2 вместо неравенства (15) стоит линейное матричное неравенство . Представим функцию в виде

Нетрудно видеть, что в силу неравенства функция , и когда матрицы , и величина , то соответствующие решения и Задачи 3 является и решением Задачи 2.

Тогда алгоритм поиска взаимнообратных матриц можно представить следующим образом:

Алгоритм.

Шаг 1) Полагаем .

Шаг 2) Фиксируем матрицы и .

Шаг 3) Решаем Задачу 3, например, с помощью команды mincx пакета Matlab и находим , , .

Шаг 4) Задаем и .

Шаг 5) Если разность между двумя итерациями , где - некоторое заданное значение, то взаимнообратные матрицы и найдены и Алгоритм останавливается. Иначе полагаем и переходим на Шаг 2).

Сходимость алгоритма доказана ниже в Утверждении 1

Как было получено выше, математическая модель двухзвенного маятника имеет вид (5), т. е. объект описывается уравнением

,

.

т. е. можем измерять только угол отклонения нижнего звена маятника от вертикали. Требуется синтезировать динамический регулятор третьего порядка.

Численное решение в Matlab заняло 6 итераций. Начальное отклонение звеньев маятника в градусах , . Ниже приведен полученный при этом динамический регулятор (12) и полюса замкнутой системы (10) определяющие качество переходного процесса.

Число итераций	Динамический регулятор	Полюса замкнутой системы
6	=

На Рисунке 4 приведен полученный график управления (9).

Рисунок 4.

Рисунок 5 представляет собой графики углов отклонения и 1-го (синий) и 2-го (зеленый) звена двухзвенного маятника (в градусах)

Рисунок 5.

Для этого объекта было проведено 1000 экспериментов, с начальными матрицами и для алгоритма, выбираемыми при помощи генератора случайных чисел. Алгоритм не находил решение в 6 случаях (0.6%).

На Рисунке 6 представлено полученное процентное соотношение числа итераций, необходимых для поиска динамического регулятора третьего порядка алгоритмом.

Рисунок 6.

Из Рисунка 6 видно, что алгоритм находил решение за шесть итерации в 2.3% экспериментов, за семь итерации в 12.7% экспериментов, за восемь итераций 23.3% экспериментов, за девять итераций в 19.5% экспериментов, за десять итераций в 15.0% экспериментов, за одиннадцать итераций в 8.2% экспериментов, в 4.5% экспериментов при количестве итераций больше, чем 17.

Таким образом, в конкурсной работе

1.  была решена задача стабилизации двухзвенного перевернутого маятника при возможности измерения только угла отклонения нижнего звена;

2.  в процессе решения задачи был предложен алгоритм решения Задачи 1.

Где можно применить результаты? Развитие решения этой задачи может позволить моделировать управление, например, в электрических схемах без точного вычисления силы тока или в механических системах без точного вычисления скоростей. Датчики снимают показания в некоторые дискретные моменты времени. Для построения управления вида (6) необходимо знание скоростей отклонения , . Численное вычисление производной несет в себе ошибки вычисления. Отсутствие же необходимости вычислять производную позволит улучшить качество управления и делает систему управления Рисунка 2 без ошибок порожденных ее не точным вычислением.

Утверждение 1.

Для любых начальных матриц и числовая последовательность , генерируемая алгоритмом, является невозрастающей и существуют следующие пределы

, , .

Доказательство.

Рассмотрим изменение спектрального радиуса матрицы по траектории алгоритма. Обозначим .

Представим

в виде

Поскольку на -й итерации принимает минимальное при , , то выражение в первых квадратных скобках неположительно в силу алгоритма.

Рассмотрим разность двух матриц, фигурирующих во вторых квадратных скобках. Используем то, что , , , . Сделаем следующие преобразования:

Поскольку из неравенства следует, что получаем, что , т. е. что последовательность является невозрастающей.

Из неравенства следует, что , следовательно, функция и, следовательно, .

Последовательность является невозрастающей и ограничена снизу, следовательно, она сходится, откуда в силу непрерывности функции спектрального радиуса и следует существование указанных в теореме пределов.

Из Утверждения 1 следует, что при остановке алгоритма возможны две ситуации. Случай, когда . В этом случае и матрицы , являются решениями Задачи 1. Во втором случае, когда - нельзя сделать определенного вывода о разрешимости Задачи 1. В этом случае целесообразно повторить алгоритм поиска взаимнообратных матриц при других начальных условиях и , как это обычно делают в задачах глобальной оптимизации.