Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Stefan’a-Boltzmann’a

Известия Академии наук СССР. 1937

Отделение математических и естественных наук.

Об остывании тел при лучеиспускании,

следующем закону Stefan’a-Boltzmann’a

(Представлено академиком )

В статье подробно изучается задача об остывании равномерно на­гретого полуограниченного слоя в пустоте. При этом прини­мается, что внутри тела температура подчинена уравнению теплопро­водности, а на поверхности имеет место закон Stefan’a-Boltzmann’a. Аналогично трактуются и некоторые другие задачи.

Настоящая статья посвящена вопросу об изменении температуры твердого тела, если на поверхности происходит лучеиспускание, сле­дующее закону Stefan’a-Boltzmann’a. При этом может случиться, что тело не только излучает теплоту, но и само получает ее как извне, так и благодаря источникам тепла, находящимся внутри тела[1].

Мы дадим решение этой задачи для однородных тел одного, двух или трех измерений произвольной формы, считая поток тепла, посту­пающий из внешнего пространства, известной величиной (которая мо­жет меняться от места на поверхности и от времени).

Решение задачи будет получено нами при помощи сведения ее к не­линейному интегральному уравнению типа Volterra, для которого дает­ся метод решения при помощи последовательных приближений.

Однако, чтобы не загромождать основную идею излишними дета­лями, мы приведем в § 1-3, 6 решение простейшей задачи, рассма­тривая остывание однородного, полуограниченного тела в пустоте, а в § 4, 5 рассмотрим более общий случай.

§ 1

Рассмотрим однородное тело, температура которого зависит только от времени и одной геометрической переменной , которую будем считать меняющейся от 0 до (бесконечная полупрямая). Эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности

(1)

где - теплопроводность, - плотность, а - удельная теплоемкость данного тела. Если обозначает абсолютную температуру тела и излучение происходит в пустоту, то на поверхности (при ) поток тепла, , согласно закону Stefan’a-Boltzmann’a пропорцио­нален 4-й степени температуры, т. е.

(2)

Допустим, кроме того, что в некоторый момент времени, назовем его , нам дано распределение температуры внутри тела , равное некоторой постоянной температуре :

(3)

Нашей задачей является найти ограниченное решение 2 уравнения теплопроводности (1) с граничными условиями (2) при и началь­ными данными (3).

Обозначим через термический градиент у поверхности тела

(4)

Всякое ограниченное решение уравнения теплопроводности (1), удо­влетворяющее условию (3) и имеющее , как известно, представляется в виде:

(5)

и нам остается определить функцию так, чтобы удовлетворялось условие (2). Как было отмечено,

Далее,

(6)

Таким образом, для того, чтобы удовлетворялось условие (2), нужно, чтобы функция удовлетворяла соотношению:

(7)

которое является нелинейным интегральным уравнением.

Упростим уравнение (7), вынося за скобку и деля на :

Введем новые переменные , полагая

(8)

при этом уравнение преобразуется к виду3:

Положим

(9)

и выберем

(10)

тогда для определения получаем уравнение:

(11)

Если мы решим это уравнение, то

(12)

Таким образом, процесс остывания (поток у поверхности) всякого равномерно нагретого неограниченно простирающегося в одну сторону тела при выборе соответствующих масштабов времени и температуры определяется одной и той же кривой. Способ нахождения решения уравнения (11) будет дан в § 2.

§ 2

Назовем , функционалом Volterra, если V есть число, зависящее от значения параметра и от значений функции в про­межутке .

Рассмотрим функциональное уравнение 4

(13)

Допустим, что функционал удовлетворяет следующим усло­виям:

1°. Если - непрерывная функция своего аргумента, то определен и является непрерывной функцией переменного z.

2°. Если и - непрерывные функции и

то

для , причем функция

где , а - некоторая константа, зависящая от М и от Z. 5

Теорема. Если функционал удовлетворяет условиям 1° и 2°, то уравнение (13)

имеет единственное решение в некотором промежутке.

Мы докажем эту теорему методом последовательных приближений. Рассмотрим функциональное преобразование

(14)

преобразующее функцию в функцию.Определим такое, чтобы непрерывная функция , для которой при , преобразовывалась в функцию, обладающую тем же свойством. Это можно сделать следующим образом. Пусть - эта функция, по условию, непрерывна; обозначим через maximum этой функции на некотором отрезке . Для функции, для которой, получаем:

или

(15)

Очевидно, что для любого можно найти такое , чтобы

(16)

Таким образом, если на отрезке , то и для пре­образованной функции на этом отрезке. Возьмем какую-нибудь функцию , для которой (на отрезке). Для определенности положим. Определим последовательные приближения, полагая

(17)

В силу определения очевидно, что для всех п. Отсюда следует, что

, (18)

причем константа N(M) для всех п одинакова.

Таким образом 6,

(19) 7

Пользуясь формулой Stirling’a

(20)

получаем

(21)

откуда следует, что последовательность приближений равномерно сходится на отрезке к некоторой функции, для которой .

Очевидно также, что (равномерно на), так как

.

Отсюда следует окончательно 8

§ 3

Обратимся к уравнению (11):

(22)

Отметим еще одно обстоятельство, касающееся последовательных приближений. Допустим, что функционал - монотонно убывающий в следующем смысле: если для , то

(23)

Тогда, если нам известна функция , которая, заведомо, меньше решения нашего уравнения, то последовательные прибли­жения, построенные по закону

(24)

приближаются к решению уравнения

подходя с разных сторон. Действительно, так как

(25)

и т. д., т. е. все с четными номерами меньше, а все с нечетными номерами больше .

Сделанное замечание имеет прямое отношение к нашему уравне­нию (11). Действительно, очевидно, что для функции

(26)

так как , равняясь 4-й степени некоторого числа, всегда. Что касается монотонности нашего оператора

, (27)

то она совершенно очевидна, если только ограничиваться такими функ­циями и такими промежутками , для которых

(28)

Как было отмечено в сноске 3, для решения уравне­ния (11) это неравенство становится ясным в силу физических сообра­жений (более подробно см. § 6). Таким образом, беря , получаем.

(29)

Далее, , но при этом может случиться, что

для , (30)

а при этом монотонность нашего оператора нарушается. Положим

(31)

Очевидно, что для любых значений z . Положим, далее, , при этом .

Рассмотрим функцию ; может случиться, что, начи­ная с некоторого значения

для , (32)

а при этом монотонность нашего оператора также нарушается. Положим

(33)

очевидно, что для любых значений , и т. д.

Вычисления дают следующий результат 8:

(34)

Численные значения последовательных приближений

	0.00005	0.0001	0.0002	0.0003	0.0004	0.0005
	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000
	0.9475	0.9272	0.9006	0.8815	0.8660	0.8532
	0.9475	0.9266	0.9000	0.8806	0.8647	0.8514
						2
	0.9475	0.9266	0.9000	0.8806	0.8547	0.8512
	0.9452	0.9223	0.8919	0.8686	0.8493	0.8325
	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

	0.0006	0.0007	0.0008	0.0009	0.001	0.002
	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000
	0.8427	0.8325	0.8245	0.8160	0.8091	0.7578
	0.8398	0.8296	0.8207	0.8119	0.8046	0.7454
	4	6	8	8	14	18
	0.8394	0.8290	0.8199	0.8111	0.8032	0.7436
	0.8179	0.8043	0.7928	0.7807	0.7702	0.6876
	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

	0.005	0.008	0.01	0.02	0.03
	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000
	0.6891	0.6591	-	0.6332	0.6433
	0.6740	-	-	-	-
	300
	0.6440	0.5779	0.5271	0.2914	-
	0.5335	0.4548	0.4096	0.2646	0.1825
	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Ход этих кривых дается графиком, причем в силу (8)

, (35)

где по (10):

. (36)

Если считать, что; ; , , то и единица по нашей оси равна 12 сек. Вычисления можно было бы выполнить и для большего промежутка времени, но нам не представляется необходимым делать это в данной работе.

§4

Изложенный метод решения задачи применим также и к тому слу­чаю, когда начальная температура тела не постоянна и имеется приток тепла извне.

Допустим, что начальное тепловое состояние определяется некоторой функцией

(37)

и что на границе имеется приток тепла извне, величина которого, от­несенная к единице площади и единице времени, равна. Таким образом, граничное условие будет:

(38)

Как известно,

(39)

представляет решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяю­щее условиям:

(40)

Будем искать решение нашей задачи в виде

(41)

тогда граничное условие (38) принимает вид 10:

(42)

Это есть нелинейное интегральное уравнение типа Volterra, к кото­рому применим метод решения, изложенный в § 2; даже общие сообра­жения § 3 вполне к нему применимы.

В случае остывания сферы радиуса R в предположении, что темпе­ратура меняется только в зависимости от изменения радиуса и времени, уравнение теплопроводности принимает вид:

(43)

и граничные условия:

(44)

Если температура зависит только от то, как известно, введением новой вспомогательной функции

(45)

Уравнение (43) приводится к виду

(46)

а условие (44) переходит в

, (47)

причем, кроме того, при r=0 появляется новое граничное условие:

(48)

Чтобы не усложнять формул, будем считать, что , так как мы видели, что учет переменной начальной температуры не представляет принципиальных затруднений.

Будем искать решение в виде

(49)

Очевидно, что

(50)

а

, (51)

откуда для определения функции приходим к уравнению:

(52)

т. е. опять получаем интегральное уравнение, для которого в § 2 дан метод решения.

§ 5

Пусть нам дано некоторое выпуклое тело Т, ограниченное поверх­ностью S, остывание которого мы изучаем 11, и пусть оно получает извне поток тепла, плотность которого равна . Эта величина может меняться не только с изменением t, но также и с изменением Р точки поверхности нашего тела.

Таким образом, мы должны найти функцию, удовлетворяющую внутри тела уравнению теплопроводности

(53)

на поверхности S – условию

(54)

( - направление внутренней нормали), и, кроме того, условию

(55)

где функция представляет начальное распределение температуры внутри тела T .

Для представления искомого решения опять воспользуемся некото­рыми вспомогательными функциями. Рассмотрим функцию

(56)

где Р' - точка, переменная при интеграции, а - расстояние между точками Р и Р'. Как известно, эта функция удовлетворяет уравнению (53) и условию (55) для точек, лежащих внутри T.

Рассмотрим также функцию

(57)

которая удовлетворяет уравнению теплопроводности. ( n - нормаль к S ) претерпевает разрыв на поверхности, когда изнутри:

(58)

и в начальный момент

(59)

Будем искать решение нашего уравнения в виде

(60)

Очевидно, что как уравнение (53), так и условие (55) удовлетворе­ны. Установим уравнение, которому должна удовлетворять функция для того, чтобы выполнялось условие (54).

Поток тепла через поверхность S в точке равняется

(61)

откуда приходим к уравнению

(62)

которое можно было бы получить в явном виде, вставляя туда выра­жения , но нам не представляется это необходимым выписывать подробно. Заметим только, что полученное уравнение при­надлежит к типу функциональных уравнений

(63)

где - функционал, зависящий от тех значений , ко­торые соответствуют значениям , а есть некоторая точка поверхности S.

Уравнения такого типа можно решать по способу, развитому нами в § 2. Положим равной какой-либо функции при P и t и возьмем последовательные приближения:

(64)

При определенных условиях, налагаемых на , которым удовлетворяет правая часть уравнения (62), эти последовательные при­ближения сходятся к предельной функции , являющейся реше­нием этого уравнения.

Мы не будем проводить подробного доказательства сходимости по­следовательных приближений, отсылая читателя к работе, цитирован­ной в сноске 11.

§ 6

Остановимся более подробно на простейшей задаче об остывании полуограниченного слоя в пустоте, рассмотренной нами в § 1-3. Нами было доказано в § 2, что последовательные приближения сходятся к решению нашего уравнения на некотором достаточно малом отрезке . Покажем, что при помощи указанного процесса можно убе­диться в существовании решения уравнения

(65)

для всех и найти самое решение. Вообще, рассмотрим уравнение

(66)

где F(u) - некоторая непрерывно дифференцируемая, монотонно возра­стающая функция, для которой

(67)

Наша задача получается при , причем поставленные усло­вия для этой функции удовлетворены. К подобной задаче сводится задача об остывании полуограниченного тела при излучении в пустоту по закону

. (68)

Если - непрерывная функция, то условие 1° § 2 удовлетворено. Если , то

, (69)

откуда следует, что функционал из правой части (66) удовлетворяет условию:

(70)

где - некоторое число, заключенное между и, т. е., во всяком случае,

(71)

а

(72)

Таким образом, удовлетворяет также и условию 2° § 2, и, пользуясь теоремой, доказанной в этом параграфе, мы можем утвер­ждать существование решения уравнения (66) на достаточно малом промежутке , которое может быть найдено методом последо­вательных приближений.

Рассмотрим функционал

(73)

стоящий под знаком функции F и пропорциональный , значениям температуры на поверхности нашего тела.

Очевидно, следуя физическому смыслу задачи, что для функции , удовлетворяющей уравнению (66). Мы докажем это нера­венство несколько позже, исходя из самого уравнения (66), а пока, принимая его как гипотезу, докажем, что последовательные приближе­ния сходятся для всех z.

Итак, допустим, что мы нашли функцию, удовлетворяющую уравнению (66) для , причем

(74)

Покажем, что в этом случае существует решение на отрезке , где

; (75)

здесь - некоторая положительная функция u , причем последова­тельные приближения, определявшие функцию для , сходятся также и на . Возьмем постоянное и определим из соотношения , т. е.

. (76)

В этом случае, если мы рассмотрим функцию , совпадающую с на и удовлетворяющую условию

, (77)

то для этого промежутка

(78)

Более того, если хотя и не совпадает с на , но мало отличается от этой функции, то и тогда

(79)

если

(80)

Итак, если мы возьмем какую-либо функцию , отличающуюся от меньше, чем на , на и удовлетворяющую условию (77) на , то на будет удовлетворять условию:

(81)

и, следовательно, будет удовлетворять неравенству

(82)

Таким образом, если последовательность приближений равномерно сходится к на , то, беря номер n, для которого

(83)

и продолжая функцию на отрезке произвольно с един­ственным условием

(84)

получим, что все функции для m>n будут определены на отрезке и равномерно на нем ограничены. Как мы отмечали в сно­ске 8, в этом случае равномерно сходятся на к некоторой функции , которая и является решением уравнения (66) на этом отрезке.

Если мы теперь докажем, что - решение уравнения (66), а тем самым и

(85)

являются монотонно убывающими функциями, которые нигде на конеч­ном расстоянии в нуль не обращаются, то этим и будет доказано, что эти функции существуют для всех и что может быть най­дено методом последовательных приближений в том смысле, как это следует из только что доказанной теоремы.

Допустим, что в некотором промежутке существует решение уравнения (66), определяемое функцией . Покажем, что является монотонно убывающей функцией, нигде не равной нулю.

Покажем, прежде всего, что функциядифференцируема для z>0. Рассмотрим разность:

(86)

Очевидно, что эта разность удовлетворяет уравнению

(87)

Здесь - непрерывная функция, равная

(88)

где - среднее значение между

и , (89)

причем

. (90)

Это равенство можно рассматривать как линейное интегральное уравнение для функции

(91)

Отсюда легко заключить, что существует предел этого отношения , удовлетворяющий уравнению

(92)

Беря резольвенту этого линейного уравнения типа Volterra и пред­ставляя решение при ее помощи, получим

(93)

где - ограниченная функция. Отсюда следует, что отрица­тельна для некоторого промежутка .

Функция связана с функцией соотношением . В силу предположения - монотонно возрастающая функция в области положительных u. Таким образом, в области поло­жительных u это уравнение разрешимо относительно . В частности, если дифференцируема, то и дифференцируема также, и их производные связаны соотношением:

(94)

Возвращаясь к нашей задаче, имеем, что при и по­ложительны; затем они начинают убывать, так как их производные отрицательны.

Рассмотрим некоторый промежуток , на котором . Докажем, что в этом промежутке . Пусть - наименьшее число на отрезке , для которого .

Очевидно, что является также наименьшим числом, для которого , и что в силу (92)

(95)

Рассмотрим вблизи для значений :

(96)

где

(97)

Покажем, что положительна для . Действительно,

(98)

так как для и выражение в квадратных скобках положительно для , то отсюда и следует, что для . Итак,

(99)

Выражая из этого соотношения через при помощи резоль­венты интегрального уравнения (99) получим

(100)

Для значений , близких к , имеем

(101)

в силу сходимости этого интеграла. Кроме того, в любой близости к можно найти такие значения , для которых, кроме усло­вия (101), выполняется неравенство

(102)

Этому последнему неравенству можно удовлетворить, выбирая z так, чтобы , что возможно в силу того, что и непрерывна для и . Итак, найдутся такие , для которых , что противоречит определению .

Если функция во всех точках отрезка , то, в силу доказанной ранее теоремы, она может быть продолжена вне этого от­резка, причем она все время будет монотонно убывать, пока . Если мы покажем теперь, что не может нигде обратиться в нуль, то этим и будет доказано, что и являются монотонно убы­вающими функциями, определенными для всех

Допустим теперь, что первая точка, в которой . Эта точка является также первой точкой, в которой .

Очевидно, что

(103)

и что имеет место равенство

. (104)

Производная функции

(105)

причем правая часть строго больше нуля, так как выражение в квад­ратных скобках строго > 0 для , а в проме­жутке .

Отдел теоретической геофизики И. Г.

Академия Наук СССР.

[1] Например, тепло, возникающее внутри тела (Земли) благодаря радиоактивному распаду.

2 Условие ограниченности необходимо, иначе задача будет иметь несколько решений (см. A. Tychonoff, Sur les theoremes d’unicite... Матем. сборн. 42, 199, 1935). Единственность решения у изучаемой задачи при поставленных условиях следует из самого метода решения.

3 Заметим, что внутри квадратных скобок стоит величина , которая, как то ясно физически, меняется в пределах от 1 до 0.

 

4 Уравнение (11) принадлежит к рассматриваемому нами типу, где

5 Нетрудно видеть, что функция, приведенная в сноске 4, удовлетворяет поставленным условиям. Что условие 1° удовлетворено, - это очевидно. Пока­жем, что условие 2° также удовлетворено. Обозначим через функционал

тогда и

Но еслидля, тои, кроме того,

.

Таким образом,

где

6 Нижеследующие вычисления могут быть сильно упрощены, если т. е. является ограниченной функцией.

В этом случае вычисления выгля­дят так:

т. е. ряд последовательных приближений сходится. Однако, мы не можем ограничиться этим случаем, так как функционал, приведенный выше в сносках 4,5 ,не удовлетворяет этому условию.

7 - эйлеров интеграл 2-го рода. Здесь мы пользуемся формулой:

См., например, Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа (рус. пер. ГТТИ, 1934), глава 12.

8 Ограничение используется нами только для доказательства того, чтодля всех z . Если последовательные приближения окажутся равно­мерно ограниченными на некотором отрезке или для, то они будут сходиться во всей этой области и определят в ней решение уравнения (13).

8 Вычисление выполнено .

10 При и это уравнение превращается в (11).

1 1 В настоящем параграфе мы даем только краткий эскиз решения формулиро­ванной задачи, подробное изложение которой (даже в более общей постановке) мы дадим в другой работе, называемой «О функциональных уравнениях типа Volterra и их приложениях к некоторым задачам математической физики».